Компьютерное моделирование

Лабораторная работа № 1 "Движение тел в среде с учетом трения" Элементы теории.

Второй закон Ньютона. Ускорение , с которым движется тело, прямо пропорционально векторной сумме действующих на него сили обратно пропорционально его массеm:

,

где - скорость,- перемещение,t – время.

Так как имеет место:

,

то второй закон Ньютона сводится к системе двух векторных дифференциальных уравнений:

.

При решении конкретных задач конкретизируются соотношения для действующих сил и массы тела и производится проецирование векторных уравнений на координатные оси. В результате получают систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которая может быть решена каким-либо численным методом. Ниже в инструкции изложен и применен на конкретном примере метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности.

2. Сила сопротивления. При реальных физических движениях тел в газовой или жидкостной среде трение сильно влияет на характер движения. При относительно малых скоростях величина силы сопротивления пропорциональна скорости и имеет место соотношение:

,

где k₁ определяется свойствами среды и формой тела. Например, для шара имеет место формула Стокса:

,

где  - динамическая вязкость воздуха, r – радиус шара. Так для воздуха при t=20C и давлении 1 атм  = 0,0182 Нс/м², для воды -  = 1,002 Нс/м², для глицерина -  = 1480 Нс/м².

При более высоких скоростях сила сопротивления становится пропорциональной квадрату скорости:

,

где ,

S – площадь поперечного сечения тела,

с – коэффициент лобового (аэродинамического) сопротивления,

 - плотность среды.

При достаточно больших скоростях можно принимать следующие значения коэффициента лобового сопротивления для некоторых тел:

- диск с = 1,11;

- полусфера с = 0,55;

- шар с = 0,4;

- каплевидное тело с = 0,045.

3. Свободное падение тела. Математическая модель свободного падения тела – уравнение второго закона Ньютона с учетом двух сил, действующих на тело – силы тяжести и силы сопротивления среды. Движение является одномерным. В скалярной форме получим:

.

Входные параметры модели:

- начальная скорость тела;

- начальная высота тела;

- величины, определяющие коэффициенты сопротивления среды k₁ и k₂ .

4. Взлет ракеты. Рассмотрим простейшую модель вертикального взлета ракеты с учетом уменьшения ее массы во время взлета по линейному закону:

.

Сила тяги двигателя считается постоянной на всем участке взлета.

Будем учитывать, что плотность воздуха , входящая в коэффициент k₂ , убывает по мере подъема ракеты по закону , гдеh – высота,  = 5,610 ^-5м ^-1. Тогда модель имеет вид:

.

Входные параметры модели:

m₀ – начальная масса ракеты, заправленной топливом;

m_кон – остаточная масса после полного выгорания топлива;

 - расход топлива;

величины, определяющие k₂ – коэффициент сопротивления воздуха (линейной составляющей силы сопротивления можно заведомо пренебречь);

F_тяги – сила тяги двигателя.

5. Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Дифференциальные уравнения модели получаются из второго закона Ньютона проецированием на вертикальную и горизонтальную оси координат:

.

Входные параметры модели:

m – масса тела;

v – начальная скорость;

 - угол начального наклона скорости к горизонту;

величины, определяющие коэффициенты сопротивления среды k₁ и k₂ .