Математика для заочников

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ

ИНСТИТУТ АГРОЭКОЛОГИИ

– ФИЛИАЛ ФГБОУ ВПО «ЧЕЛЯБИНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ АГРОИНЖЕНЕРНОЙ АКАДЕМИИ»

КАФЕДРА ―МЕХАНИЗАЦИЯ И ЭЛЕКТРИФИКАЦИЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННОГО ПРОИЗВОДСТВА‖

МАТЕМАТИКА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению контрольных работ для студентов заочного отделения

Челябинск

2011

Методические указания предназначены для студентовзаочников агрономических специальностей. Указания содержат вопросы к экзамену, образцы решаемых задач, контрольные задания.

Составители:

Жаббарова М.Ж. – ассистент (кафедра «Механизация и электрификация сельскохозяйственного производства» (ГОУ Институт агроэкологии – филиал ФГОУ ВПО «ЧГАУ»))

Севостьянова Н.Н. – ст. преподаватель (кафедра «Механизация и электрификация сельскохозяйственного производства» (ГОУ Институт агроэкологии – филиал ФГБОУ ВПО «ЧГАУ»))

Рецензенты:

Рекомендованы к изданию учебно-методической комиссией Института агроэкологии – филиал ФГБОУ ВПО «ЧГАА» (протокол №__ от «___» ______2011 г.)

©Челябинская государственная агроинженерная академия,

©Институт агроэкологии, 2011

2

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................	4
Решение типовых примеров для контрольной работы № 1 ..................	5
Задания к контрольной работе № 1 ........................................................	11
Решение типовых примеров для контрольной работы № 2. ...............	22
Задания к контрольной работе № 2 ........................................................	25
Вопросы к экзамену .................................................................................	30
ПРИЛОЖЕНИЕ ........................................................................................	30
ЛИТЕРАТУРА ..........................................................................................	35

3

ВВЕДЕНИЕ

Настоящее пособие предназначено для студентов заочного отделения. Пособие содержит образцы решения задач, задания для контрольных работ, вопросы к экзамену и список литературы.

При выполнении контрольных работ следует руководствоваться следующими указаниями.

1.Каждую работу следует выполнять в отдельной тетради,

на обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы студентов, полный шифр, номер контрольной работы. Решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. Все вычисления (в том числе и вспомогательные) необходимо делать полностью. Чертежи и графики должны быть выполнены аккуратно и четко с указанием масштаба, координатных осей и других элементов чертежа. Объяснения к задачам должны соответствовать тем обозначениям, которые даны на чертеже.

2. После получения работы (как зачтенной, так и незачтенной) студент должен исправить в ней все отмеченные рецензентом недостатки. В случае незачета студент обязан в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить работу на повторное рецензирование, приложив при этом первоначально выполненную работу.

4. Студент выполняет тот вариант контрольных работ, который совпадает с двумя последними цифрами его учебного шифра.

4

Решение типовых примеров для контрольной работы № 1

Задание № 1 Вычислить пределы

1) lim

x2

8x 2

;

2)

lim

2x2

3x 9

,

3x2

x 9

x2

x 6

x 2

x 3

3)

lim

2x2

x

4

,

4) lim

x sin 3x

.

3x2

2x 5

tg2

5x

x

x 0

Решение.

1) lim

x2

8x 2 22

8 2 2

10

2.

3x2

x 9 3 22

2 9

5

x 2

2) lim

2x2

3x

9

2 32

3 3 9

0

,

при подстановке вместо

x2

x 6

32

3 6

0

x 3

переменной

х

ее

предельного

значения

3 получается

неопределенность вида 00 . Для избавления от этого типа

неопределенности в нашем случае представим квадратные трехчлены числителя и знаменателя в виде произведения

линейных множителей, воспользовавшись известной формулой ax2 + bx + c = a(x – x1)∙(x – x1),

где х1, х2 – корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c.

	У нас 2x2	3x 9 2	x	3	x	3	, так	как	дискриминант
						2
	квадратного	трехчлена	D	9	4 2		9	81 а	следовательно,

х1 = 3, x2 32 . Аналогично x2 – x – 6 = (x - 3)∙(x + 2).

Теперь условие примера можно переписать в другом виде и продолжить решение:

2 x 3 x

3

2x2

3x 9

2 3 3

9

lim

lim

2

lim

2x 3

;

x2

x 6

x 3 x 2

x 2

3 2

5

x 3

x 3

x 3

3) lim	2x2	x	4			.
	3x2	2x	5
x

5

Здесь сталкиваемся с неопределенностью , избавиться

от которой можно вынесением за скобки в числителе и знаменателе дроби старшей степени переменной:

								x3	4		2	6
			4x3		2x2
	lim					6	lim				x x3			4			;
				3	2						7	4
	x		5x		7x	4	x	x2	5					5
											x		x3
4) lim	x sin 3x
	tg2 5x
x 0

В данном случае для освобождения от неопределенности будем использовать первый замечательный предел и одно из его очевидных следствий:

lim	sin	1; lim	tg	1.
0		0

Решение примера будет выглядеть следующим образом:

lim

x sin 3x

lim

x sin 3x

lim

1

5x sin 3x 5x 3x

3

5

tg5x 3x tg5x 5x

25

x 0 tg2 5x

x 0 tg5x tg5x

x 0

Задание № 2 Найти производные функций

1 8

sin 5x

1)

y

3x6

2 x5

u8 ; 2)

y

;

1 2x6

3)

y

2tgx

cos 4x ;

4)

y

ln arccos8x .

При решении всех последующих примеров на нахождение производных будут использованы известные правила дифференцирования суммы, разности, произведения, дроби и теорема о производной сложной функции:

а) f		x	x		f x		x ;
б) f x			x		f x	x	f x		x ;
в)	f	x		f x	x	f	x	x
		x			x	2
							6

г) если задана сложная функция y = f(u),

где u =

(x),

то

есть

y = f(

(х));

если

каждая

из

функций

y = f(u) и

u =

(x)

дифференцируема по своему аргументу, то

dy

dy

du

dx

du

dx

Решение.

1 8

1) y 3x6

2 x5

u8 , u 3x6

2 x5

1

dy

7 du

5

7

3

6

5

8u

8 3x

2x2

1

18x

5x2

dx

dx

1 7 18x5

8 3x6

2 x5

5 x3

2) y

sin 5x

sin 5x

1

2x6

sin 5x

1

2x6

2

1

2x6

1

2x6

1

cos5x

5x

1

2x6

sin 5x

1

2x6

2 1 2x6

2

1

2x6

sin 5x

5cos5x

1

2x6

12x5

2 1 2x6

1

2x6

5cos5x

1

2x6

6x5

sin 5x

;

1

2x6

1

2x6

3) y

2tgx

cos 4x

2tgx

cos 4x

2tgx

cos 4x

2tgx

ln 2

1

cos 4x

4 2tgx

sin 4x;

cos2 x

4) y

ln arccos8x

1

arccos8x

arccos8x

1

1

8x

1

8

.

arccos8x

1

8x 2

arccos8x

1

64x2

7

Задание № 3

Исследовать функцию и построить график

	y	1	(x3	9x 2	15x 9).
		4

Решение.

1) Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х, то есть

D(y): x ( ; )а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных асимптот. 2) Исследуем функцию на интервалы монотонности и экстремумы. С этой целью найдем ее производную и приравняем нулю:

	y'	1	(3x2	18x 15); x2	6x 5 0.
		4

Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки 1 рода х1= - 5,

х2= - 1. Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению знака производной в них выявляем промежутки монотонности и наличие экстремума:

				х		(		; 5)								-5	(-5, -1)		-1			( 1;		)
			f	x				+								0	—			0			+
			f(x)												max					min
	ymax			y(	5)					1		(	5)3			9(	5)2	15(		5)	9		4
								4																.
									1
	ymin			y(	1)							(	1)3			9(	1)2	15(		1)	9		4
								4
																	8

3) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:

	y' '		1	(6x	18);	x 3 0 x	3 .
		4
	Итак, функция	имеет			одну	критическую	точку 2 рода

х = -3;. разобьем область определения полученной точкой на части, в каждой из которых установим знак второй производной:

	x		( ; 3)	-3	( 3; )
	f x		—	0	+
	f(x)			т.п.

Значение х = - 3 является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки

	y( 3)	1	( 3)3	9( 3)2	15( 3) 9 0 .
		4

4) Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты

y = kx+b воспользуемся формулами

k

lim

f (x)

b

lim ( f (x)

kx) .

x

x

x

1

(x3

9x2

15x

9)

1

9

k lim

4

lim

(x2

9x

15

)

.

x

4

x

x

x

Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.

9

5)Для построения графика изобразим точки максимума

А1( - 5; 4), минимума А2( - 1 - 4), перегиба А3(-3; 0) и точку

	А4(0;	9	).пересечения графика с осью Оу .
		4

С учетом результатов предыдущих исследований построим кривую (см. рис. 2).

Рисунок2

10