Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

zamechatelnye_predely

.pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
01.04.2015
Размер:
42.05 Кб
Скачать

Замечательные пределы и эквивалентности ● Высшая математика для заочников и не только

Замечательные пределы

Наиболее часто на практике можно встретить два замечательных предела:

первый замечательный предел и второй замечательный предел.

Первый замечательный предел:

lim sin 1

0

В качестве параметра может выступать не только буква x , но и сложная функция, важно только, чтобы она стремилась к нулю.

Пример:

lim

sin(x3 2x2 )

 

1, здесь всё нормально, так как x

3

2x

2

0

x3

2x2

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А вот в этом случае: lim sin(2x 3)

первый замечательный предел использовать

 

 

 

 

 

 

x 0

2x 3

 

 

 

 

 

нельзя, так как 2x 3 3 0

 

 

 

 

 

 

 

Следует отметить, что если поменять числитель и знаменатель местами, то от этого

ничего не изменится: lim

 

 

1 – тот же самый первый замечательный предел.

 

 

 

 

 

0 sin

 

 

 

 

 

 

 

Второй замечательный предел:

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim 1

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e – это иррациональное число: e 2,7....

Нередко можно встретить модификацию второго замечательного предела:

1

lim 1 e

0

В практических задачах для общего случая (когда «икс» стремится к произвольному числу a ) удобно использовать формулу, которая представляет собой следствие второго замечательного предела:

Неопределенность вида

limu(x)v( x) elim (u( x) 1) v( x

x a

x a

1 можно устранить с помощью формулы:

)

© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!

Приветствуется свободное распространение данного материала, пожалуйста, не убирайте копирайты

Замечательные пределы и эквивалентности ● Высшая математика для заочников и не только

Намного реже встречаются другие замечательные пределы:

lim logb (1 )

 

1

, ( b 0, b 1), в частности: lim ln(1 )

1

 

0

 

 

 

 

ln b

 

0

 

 

lim b 1

ln b , ( b 0, b 1), в частности: lim e 1

1

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

lim

(1 )k 1

k , где k

– любое действительное число.

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Опять же: в качестве параметра может выступать не только буква x , но и сложная функция, важно только, чтобы она стремилась к нулю.

Внимание! Перестановка числителя и знаменателя в данных пределах в общем случае не обходится без последствий:

lim

 

 

 

ln b , ( b 0, b 1)

 

 

)

0 logb (1

 

 

lim

 

 

 

1

 

, ( b 0, b 1)

 

 

 

ln b

0 b 1

 

 

lim

 

 

 

1 , где k – любое действительное число, отличное от нуля.

(1 )k 1

0

 

k

НО распространенные частные случаи перестановочны числителем и знаменателем без изменения значения предела (что логично):

lim

 

1

 

)

0 ln(1

 

lim e 1 1

0

© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!

Приветствуется свободное распространение данного материала, пожалуйста, не убирайте копирайты

Замечательные пределы и эквивалентности ● Высшая математика для заочников и не только

Замечательные эквивалентности

Если 0 , то справедливы следующие замечательные эквивалентности:

1)sin ~

2)tg ~

3)arcsin ~

4)arctg ~

5)1 cos ~ 12 2

6) logb (1 ) ~

 

( b 0, b 1), в частности: ln(1 ) ~

ln b

 

 

7)b 1 ~ ln b ( b 0, b 1), в частности: e 1 ~

8)(1 )k 1 ~ k , как вариант: (1 )k ~ k 1

В качестве параметра может выступать и сложная функция, лишь бы она стремилась к нулю.

© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!

Приветствуется свободное распространение данного материала, пожалуйста, не убирайте копирайты

Соседние файлы в предмете Математический анализ