Termekh_2

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

Кафедра механики

Расчетно-графическое задание №2

По дисциплине: Теоретическая механика

(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)

Тема: Применение основных теорем динамики к исследованию движения материальной точки

Вариант № 8

Выполнил: студент гр. _____________ Козлов В.Ю.

^{(подпись) (Ф.И.О.)}

Руководитель: доцент _____________ Платовских М.Ю.

^{(подпись) (Ф.И.О.)}

Санкт-Петербург,

2014

Задание: Твердое тело, принимаемое за материальную точку, движется из положения А внутри трубки, ось которой расположена в вертикальной плоскости (рис. 1).

1. Найти скорость тела в положениях В, С и D, давление тела на стенку трубки в положении С. Трением на криволинейных участках траектории пренебречь.

2. Пройдя трубку, в точке D твердое тело встречается с пружиной жесткости с₁ (ненапряженной в этом положении) и закрепляется на её конце, после чего начинаются свободные незатухающие (силы сопротивления не учитываются) колебания тела. Составить дифференциальное уравнение колебаний, получить закон колебаний, а также определить их параметры: круговую частоту, амплитуду и период.

Дано: m=0,2 кг; v_A= 1 м/с; =0,5 с (время движения на участке AВ); R=2 м; f=0,2; =30^o; =60^o; ₀=0; c₁ =1000 H/м, (рис. 1). Определить v_B, v_C, v_D – скорости шарика в положениях B, C и D; N_C- сила давления шарика на стенку трубки в точке С.

Р ис. 1.

Решение

1) Скорость шарика в положении B найдем, применив на участке AB теорему об изменении количества движения материальной точки:

;

К точке приложены сила тяжести и сила трения :

;

Подставив данные и сократив на , получим:

.

Для определения и применим теорему об изменении кинетической энергии материальной точки. Движение шарика на участках BС и CD траектории происходит под действием силы тяжести G (силы трения на криволинейных участках не учитываем):

;

Подставив данные и сократив на , получим:

.

Определим давление тела на стенку канала в положении С. Для этого запишем уравнение метода кинетостатики для тела: геометрическая сумма сил, приложенных к шарику (- реакция трубки в положении С) и его силы инерции равна нулю:

Силу инерции тела можно разложить на нормальную и касательные составляющие:

;

Модуль нормальной составляющей силы инерции:

;

Спроецируем уравнение на ось y :

= -Gsin=

2) Для определения cкорости в точке D воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии материальной точки:

;

Для определения максимального сжатия пружины воспользуемся на участке DE теоремой об изменении кинетической энергии материальной точки:

=0,081м

Составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось х (силу тяжести не учитываем):

По известным массе груза m и жесткости пружины на конце трубки с₁ определим частоту колебаний:

с^-1.

Соответственно, период колебаний:

Т=0,087 с.

Общее решение уравнения имеет вид:

.

Постоянные интегрирования определяем из начальных условий (в точке D):

,

т.е. С₁=0,

Таким образом, закон колебаний имеет вид:

, м.

Амплитуда колебаний:

а = 0,081 м.