Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
математика умк часть 2.doc
Скачиваний:
90
Добавлен:
02.04.2015
Размер:
4.39 Mб
Скачать

2.1. Описание случайных величин

2.1.1. Определение и способы задания случайной величины Одним из основных понятий теории вероятности является понятие случайной величины. Рассмотрим некоторые примеры случайных величин:

  1. число попаданий в цель при трех выстрелах.

Возможные результаты таковы: 0,1,2 или 3 раза попадания.

  1. число вызовов, поступивших на телефонную станцию за сутки. Значениями может быть любое число от 1, 2, 3,….

Случайной величинойназывается такая величина, которая в результате опыта может принимать различные значения, причем заранее неизвестно, какое именно, и известны вероятности, с которыми случайная величина принимает каждое конкретное значение.

Определение.Любое соотношение, устанавливающее связь между всеми возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называетсязаконом распределенияслучайной величины.

Чтобы задать случайную величину, надо указать ее закон распределения. Случайные величины принято обозначать греческими буквами ,,, а их возможные значения – латинскими буквами с индексамиxi,yi,zi.

Пример 2.1. Обозначим буквойчисло гербов, выпавших при подбрасывании монеты три раза. Это число зависит от случайных результатов подбрасывания и поэтому будет случайной величиной. В этом примере случайная величинаможет принять четыре значения 0,1,2,3, но невозможно предсказать какое из них. Найдем вероятности этих значений. Пространство элементарных событийв этом примере состоит из восьми упорядоченных троек

={ω1= ГГГ, ω2= ГГЦ, ω3= ГЦГ, ω4= ЦГГ, ω5= ГЦЦ, ω6= ЦГЦ, ω7= ЦЦГ, ω8= ЦЦЦ},

где Г обозначает выпадение герба при одном подбрасывании, аЦ – выпадение цифры.

Обозначим через Аi событие, в котором при подбрасывании монеты появилисьi гербов (i=0,1,2,3). Каждое событие Аiявляется составным событием и содержит все элементарные события ωi , которые привели к появлениюi гербов:

Аi={}.

Следовательно,

A0={}={ЦЦЦ}, A1={}={ГЦЦ, ЦГЦ, ЦЦГ},

A2={}={ГГЦ, ГЦГ, ЦГГ}, A3={}={ЦЦЦ}.

Дополнительно предположим, что подбрасывают правильную монету. Тогда из независимости испытаний следует, что вероятность каждого элементарного события ωi равна**=. Из классического определения вероятности событияAiимеют вероятности, равные

p0 =P(A0)= P{ЦЦЦ}=, p1=P(A1)=P{ГЦЦ,ЦГЦ, ЦЦГ} = ,

p2=P(A2)=P{ГГЦ,ГЦГ,ЦГГ}=, p3=P(A3)=P{ЦЦЦ}= .

Отметим, что все события Aiнесовместны и составляют пространство элементарных несовместных событий, т.е.

 = A0+A1+A2+A3.

Из аксиом вероятности следует равенство

р(  ) = р(A0+A1+A2+A3) = p(A0)+ p(A1)+ p(A2)+ p(A3)=1.

Составим таблицу из полученных возможных значений этой случайной величины и соответствующих вероятностей :

ξ

0

1

2

3

Пример 2.2. Производится один выстрел по плоской круглой мишени радиуса R. Учитываются только выстрелы, которые приводят к попаданию в мишень. В качестве случайной величины рассмотрим расстояние  от точки попадания до центра мишени. Тогда множество возможных значений случайной величины образует числовой интервал  R]. Предположим, что любая точка мишени может быть поражена с одинаковой вероятностью. Отсюда следует, что с одинаковой вероятностью случайная величина  принимает любое значение из интервала  R]. В этом случае вероятность того, что расстояние  не превзойдет числа x (0≤ x R), можно найти из геометрического определения вероятности по формуле (  x) x/R. Очевидно, что при x>R вероятность (  x)1, а при x<0 вероятность (  x)0.

Из приведенных примеров видно, что случайной величиной является функция f, которая каждому элементарному событию ставит в соответствие число . Эти числа  называют возможными значениями случайной величины.

В зависимости от множества возможных значений случайной величины выделяют два типа случайных величин:

а) дискретная случайная величина – это величина, значения которой можно (пересчитать ) перенумеровать;

б) непрерывная случайная величина – это такая величина, значения которой заполняют целиком некоторый промежуток числовой оси или всю числовую ось.

Определение. Функция распределения F(x) случайной величины определяется равенством

F (x)=P(   x), (2.1)

для всех действительных чисел x.

В примере 2.2 функция распределения определяется формулой

.

      1. Дискретные случайные величины

Определение.Случайную величинуназываютдискретной, если множество ее возможных значений образует конечную или бесконечную последовательность чисел, т.е. конечно или счетно.

Пусть возможные значения дискретной случайной величины  упорядочены по возрастанию

x 1x2≤≤ x n ≤. .

Соседние файлы в предмете Математика