Понятие интервальной оценки

Точечная оценка является случайной величиной и для возможных реализаций выборки принимает значения лишь приближенно равные истинному значению параметра. Чем меньше разность, тем точнее оценка. Таким образом, положительное число, для которого, характеризует точность оценки и называетсяошибкой оценки(или предельной ошибкой).

Доверительной вероятностью (или надежностью)называется вероятностьβ, с которой осуществляется неравенство, т. е.

. (3.20)

Заменив неравенство равносильным ему двойным неравенством, или, получим

. (3.21)

Интервал , накрывающий с вероятностьюβ,, неизвестный параметр, называетсядоверительным интервалом (или интервальной оценкой),соответствующим доверительной вероятностиβ.

Случайной величиной является не только оценка , но и ошибка: ее значение зависит от вероятностиβи, как правило, от выборки. Поэтому доверительный интервал случаен и выражение (3.21) следует читать так: “Интервалнакроет параметрс вероятностьюβ”, а не так: “Параметрпопадет в интервалс вероятностьюβ”.

Смысл доверительного интервала состоит в том, что при многократном повторении выборки объема в относительной доле случаев, равнойβ, доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятностиβ, накрывает истинное значение оцениваемого параметра. Таким образом, доверительная вероятностьβхарактеризуетнадежностьдоверительного оценивания: чем большеβ, тем вероятнее, что реализация доверительного интервала содержит неизвестный параметр.

Следует, однако, иметь в виду, что с ростом доверительной вероятности βв среднем растет длина доверительного интервала, то есть уменьшается точность доверительного оценивания. Выбор доверительной вероятности определяется конкретными условиями; обычно используются значенияβ, равные 0,90; 0,95; 0,99.

Вероятность (3.22)

называется уровнем значимостии характеризует относительное число ошибочных заключений в общем числе заключений.

В формуле (3.21) границы доверительного интервала симметричны относительно точечной оценки. Однако не всегда удается построить интервал, обладающий таким свойством. Более общим является следующее определение.

Доверительным интервалом(илиинтервальной оценкой) параметрас доверительной вероятностьюβ, 0< β <1, называется интервал со случайными границами,, накрывающий с вероятностьюβнеизвестный параметр, т. е.

. (3.23)

Иногда вместо двусторонних доверительных интервалов рассматривают односторонние доверительные интервалы, полагая или.

Построение интервальных оценок

Доверительный интервал задается своими концами и. Однако найти функцииииз условия (3.23) невозможно, поскольку закон распределения этих функций зависит от закона распределенияξи, следовательно, зависит от неизвестного параметра. Используют следующий прием, позволяющий в ряде случаев построить доверительный интервал. Подбирается такая функция, чтобы:

- ее закон распределения был известен и не зависел от неизвестного

параметра ;

- функция была непрерывной и строго монотонной по.

Тогда для любого βможно выбрать два числаитак, чтобы выполнялось равенство

. (3.24)

Отсюда находят икак квантили функции распределения. Границы искомого доверительного интервала выражают через найденные квантили и выборочные данные, используя для этого соотношения, связывающие новую и старую случайные величины.

Если плотность распределения случайной величины симметрична, то доверительный интервал симметричен относительно точечной оценки , и для нахождения границ доверительного интервала вместо условия (3.23) можно использовать соотношение (3.21).