Раздел 1. Случайные события

Данный раздел курса «Теория вероятностей и элементы математической статистики»содержит краткое изложение теоретического материала для изучения понятия случайного события, классификации событий.

Кроме того, приводится классическое и геометрическое определение вероятности, сформулированы аксиомы о вероятностях и следствия из них. Рассматриваются несовместные и независимые события и приводятся формулы, по которым можно вычислить вероятность суммы и произведения различных событий, а также формула для вычисления вероятности по схеме Бернулли, формула полной вероятности и формула Байеса.

Каждое понятие или приводимая формула обязательно поясняется примером, решение которого позволяет увидеть, в каких случаях следует использовать конкретную формулу, что в большой степени определяется формулировкой поставленной задачи.

Изучив материал раздела, студент может проверить свои знания по вопросам для самопроверки, которые даются в конце каждой темы, а также разобрать репетиционный тест № 1, приведенный в блоке контроля освоения дисциплины. После того, как эта часть работы проделана, студент может приступить к выполнению задачи № 1 из методических указаний к выполнению контрольной работы по вычислительной математике, основам теории вероятностей и элементам математической статистики [ 8 ].

1.1. Понятие случайного события

1.1.1. Сведения из теории множеств

Понятие множества относится к фундаментальным понятиям математики. Под множеством понимают некоторую совокупность объектов, называемых элементами множества. Для задания множества можно или перечислить все элементы, в него входящие, или определить свойства, которыми они обладают. Множества обозначают прописными буквамиA, B, …, а их элементы– строчными буквамиa, b,… и заключают в фигурные скобки.

Пример 1.1.ОбозначимA -множество положительных целых чисел, меньших 6

A = { 1,2,3,4,5}.

Пример 1.2.ОбозначимB– множество всех действительных чисел

B = {x: }.

Пример 1.3.ОбозначимCмножество всех жителей некоторого города, которые старше 90 лет. Еслиxобозначает возраст жителя этого города, то все элементы множестваCможно определить

C= {x: x>90}.

Выражение "элемент a принадлежит множеству A"будем символически записыватьaA, а записьaAбудет означать "элемент a не принадлежит множеству A".

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называют конечными, в противном случае –бесконечными.В примерах1.1и1.3определены конечные множества, а примером бесконечного множества является множество из

примера 1.2.

Символом Øбудем обозначать множество, не содержащее элементов. Это множество называютпустым множеством. Например, для некоторого города множествоCв примере1.3 может оказаться пустым.

Множество BназываютподмножествоммножестваA,если все элементыBпринадлежат множествуA,и символически записываютили.

1.1.2. Пространство элементарных событий

Теория вероятностей изучает математические модели случайных явлений. Предположим, что производится некоторый эксперимент, исход (результат) которого непредсказуем. Множество тех исходов данного эксперимента, которые не могут происходить одновременно и появление одного и только одного из них обязательно произойдет, называют пространством элементарных событий, а сами исходы называютэлементарными событиями.Пространство элементарных событий обозначают, а элементарное событие -.Пространство элементарных событий называют конечным, если множество элементарных событий конечно и - бесконечным в противном случае.

Рассмотрим некоторые примеры пространств элементарных событий.

Пример 1.4.Игральный кубик, имеющий шесть граней с изображением на каждой числа точек (1,2,3,4,5,6), подбрасывают один раз. Результатами этого эксперимента будем считать число очков, выпавшее на верхней грани кубика. Следовательно, пространство элементарных событий состоит из множества= {₁ , ₂ ,₃ ,₄ ,₅ , ₆}, где элементарное событие_iобозначает число очковi, выпавшее на верхней грани кубика.

Пример 1.5.Эксперимент состоит в наблюдении числа автомобилей, обслуживаемых автозаправочной станцией с 12 до 15 часов. В этом случае элементарные события можно выразить числами 0,1,2…. Очевидно, что число обслуживаемых автомобилей в течение рассматриваемого промежутка времени конечно, но точно предсказать их число невозможно. Поэтому будем считать, что пространство элементарных событий состоит из бесконечного множества

 = {0,1,2,…}.

Пример 1.6.Игральный кубик подбрасывают один раз. Рассмотрим следующие события:A = {выпало четное число},

B= {выпало нечетное число},

C = {выпало число3}.

Каждое из этих событий отождествим с множеством всех исходов, при которых они наступают. Тогда события

A={ ₂ ,₄ ,₆ }, B ={ ₁,₃,₅ }, C={ ₁,₂,₃ }.

Отсюда видно, что все эти события являются подмножествами пространства элементарных событий.