Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
математика умк часть 2.doc
Скачиваний:
90
Добавлен:
02.04.2015
Размер:
4.39 Mб
Скачать

1.1.3. Классификация событий

Для конечных пространств элементарных событий отождествим событие и множество всех исходов, при которых данное событие наступает. Эти исходы называют элементарными событиями, благоприятствующими данному событию. Для конечных пространств элементарных событийсобытие– это множество всех исходов ему благоприятствующих. Такой подход к определению случайного события позволяет применять теорию множеств.

Определение. Невозможным событиемназывается событие, которое не может наступить в условиях данного эксперимента, т.е. это событие имеет пустое множество благоприятствующих исходов.

Например, пусть событие D ={на верхней грани кубика выпало число > 7}. Это событие является невозможным и ему соответствует пустое множество благоприятствующих исходов. Будем невозможное событие обозначать символом.

Определение. Достоверным называется событие, которое всегда наступает в условиях данного эксперимента. Множество благоприятствующих исходов достоверного события совпадает с пространством элементарных событий.

Пусть событие E= {на верхней грани кубика выпало число <= 7}. Это событие является достоверным и множество благоприятствующих ему исходов совпадает с пространством элементарных событий.

Определение. Если при каждом осуществлении событияAпроисходит событиеB, то говорят, чтособытие A влечет событие B. В этом случае множество благоприятствующих исходов событияAсодержится в множестве благоприятствующих исходов событияB, т.е..

Определение. СобытияА и В называются эквивалентными, если событиеА влечет событие В, а событие В влечет А.

Определение. Событие =-A называется противоположным событиюA. Множество благоприятствующих исходов событияявляется дополнением до пространства элементарных событиймножества благоприятствующих исходов событияA( или появление события -это непоявление событияА ).

Определение. События A и B называются несовместными,если они не могут произойти вместе.

1.1.4. Сумма и произведение событий

Определение. Суммой (объединением) событий A и Bназывается событие, которое наступает, когда происходит хотя бы одно из этих событий, и обозначаетсяA+B. При сложении событий множества благоприятствующих исходов складываются (объединяются).

Например, для событий примера 1.6 суммой событий AиC будет событиеA+C ={1 ,2 ,3 ,4 ,6}, а суммой событийAиB будет событиеA+B = {1,2,3,4,5,6}=, т. е. достоверное событие.

Операцию сложения определяют и для бесконечной последовательности событий.

Определение. Суммой (объединением)последовательности событий A1, A2, … An,.. называется событие, которое наступает, когда происходит хотя бы одно из событий последовательности и обозначается.

Пусть событие A состоит из благоприятствующих исходов.

Тогда событие Aпо определению суммы можно представить в виде

.

Определение. Произведением событий A и B называется событие, которое происходит при одновременном наступлении этих событий и обозначаетсяAB. При умножении событий множества благоприятствующих исходов умножаются (пересекаются).

Например, для событий примера 1.6 произведением событий A иCбудет событиеAC = {1 ,3}, а произведением событийAиBбудет невозможное событиеAB =.

Определение.Произведением последовательности событий A1,A2,…An,..называется событие, которое происходит при одновременном наступлении всех событий последовательности и обозначается.

Определение. Разность событий A и Bпроисходит, когда событиеAнаступает, а событиеB -не наступает, и обозначаетсяA-B.

Используя определения действий над событиями, можно доказать следующие свойства

1) A+B=B+A 2) AB=BA 3) A+(B+C)=(A+B)+C

4) A(B+C)=AB+AC 5) A+=A 6) A=

7) A=A 8) A+A=A 9) AA=A

10) A+= 11) A=A 12) A+=

13) A= 14) =A 15) = 16) =.

Первые семь свойств аналогичны свойствам алгебры, таким как перестановка, сочетание и распределение, при этом невозможное событие можно считать как 0, а достоверное событие– как 1. Остальные свойства не имеют аналогов в алгебре.

Для событий Аи Всправедливы формулы, называемые соотношениями двойственности:

.

Определение. Класс событий U образует алгебру событий, если

1) достоверное событие содержится в этом классе, т.е.  U ;

2) для любых событий A U,B U из этого класса их сумма и произведение также принадлежат этому классу: AB U, A+B U ;

3) если событие A из этого класса A U , то и противоположное событие также принадлежит этому классу: А U.

Пример 1.7.Подбрасывают две монеты различного достоинства. Пространство элементарных событий состоит из четырех элементов

= {ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ }.

Здесь Гозначает, что монета выпала гербом вверх, аЦ –цифрой вверх.

Построим все подмножества пространства элементарных событий :

 , ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ, { ГГ, ГЦ }, { ГГ, ЦГ}, {ГГ, ЦЦ}, { ГЦ, ЦГ }

{ ГЦ, ЦЦ }, { ЦГ, ЦЦ }, {ГГ, ГЦ, ЦГ}, {ГГ, ГЦ, ЦЦ }, {ГГ, ЦГ, ЦЦ },

{ГЦ, ЦГ, ЦЦ }, {ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ }=.

Нетрудно проверить, что все 16 событий образуют алгебру событий.

Для точного определения события в произвольном пространстве элементарных событий рассмотрим следующее определение.

Определение. Алгебра событий U образует -алгебру событий, если для бесконечной последовательности событий Ai из -алгебры событий их объединение и пересечение принадлежат -алгебре

U , U.

Если задано пространство элементарных событий  и -алгебра событий U, то говорят, что задано измеримое пространство { , U }.

В случае произвольного пространства элементарных событий , событиями называют только такие подмножества пространства элементарных событий , которые образуют -алгебру событий U. Все остальные подмножества , не входящие в -алгебру событий U, событиями не являются.

Вопросы для самопроверки

  1. При подбрасывании монеты выпала сторона с изображением герба (условно обозначим это событие буквой А). Какое событие будет являться противоположным событию А?

  2. Подбрасываются две монеты, в результате чего видим изображение двух гербов. Что будет являться противоположным событием в этом случае?

  3. Написать действие, соответствующее тому факту, что при подбрасывании двух монет на одной будет изображен герб (событие А), а на другой монете – цифра (событие В).

Соседние файлы в предмете Математика