2.2. Плоское напряжённое состояние и плоская деформация

Рассмотрим тело, у которого поперечные размеры много больше, чем длина вдоль оси z (рис. 2.3, а), а по контуру приложены силы, равномерно расположенные вдоль z. В этом случае напряжения σ_z, τ_zx, τ_yz, равны нулю на обеих свободных плоскостях. При малой толщине тела можно принять, что они равны нулю и во всем объеме. Поскольку нагрузка применена рав­номерно по контуру, можно принять, что напряжения σ_x, τ_y, τ_xy не зависят от координаты z, т. е. неизменны по толщине пластины. Размеры тела вдоль z несущественны, и их принимают равными единице.

а)

Рис. 2.3. Схемы плоского напряженного состояния (а) и плоской деформации (б)

Подобный характер распределения напряжений называют плоским напряженным состоянием (ПНС). Оно характерно для тонких пластин, на­пример, при правке тонких листов растяжением.

Если размеры тела вдоль оси z значительно превышают размеры его поперечного сечения, а по контуру оно нагружено равномерно распреде­ленными силами, перпендикулярными к оси z, то в средней части этого тела деформация во всех точках происходит в плоскостях действия сил, т. е. перпендикулярно к оси z. Это означает, что два смежных сечения, дос­таточно удаленных от концов тела, остаются плоскими в течение всего процесса деформации (рис. 2.3,6).

Подобное состояние деформированного тела получило название плоской деформации (ПД). В этом случае размер выбранного элемента вдоль z не имеет существенного значения и его принимают равным единице.

2.3. Главные напряжения и их основные схемы

Пусть в некоторой точке твердого тела N действует полное напряжение P_n. Этот вектор можно рассматривать как сумму трех взаимно перпендикулярных векторов P_x, P_y и P_z (рис. 2.4.)

В окрестностях точки N проведем три взаимно перпендикулярные площадки, нормалями которых являются оси координат x, y и z. Для каждой из этих площадок векторы P_x, P_y и P_z можно считать напряжениями, действующими на этих площадках. Каждый из векторов P_x, P_y и P_z можно представить как геометрическую сумму проекций на оси координат: одну нормальную и две касательные (например P_x = σ_x + τ_xy + τ_xz).

а)

б)

Рис. 2.4. Схема напряженного состояния: а – в обычных осях; б – в главных осях

Попробуем изменить (повернуть) направление осей координат и нормальных к ним площадок таким образом, чтобы направление осей, например N_x, совмещалось с направлением полного вектора напряжения Р_х. При этом касательные составляющие полного напряжения Р_x обозначенные на чертеже τ_xy, τ_xz обратятся в нуль. Согласно закону парности напряжений τ_xy = τ_yx = 0; τ_xz = τ_zx = 0; τ_yz = τ_zy = 0

Для случая, когда Р_х = σ_x, Р_y = σ_y, Р_z = σ_z, τ_xy = τ_xz = τ_yz = 0, введены обозначения нормальных напряжений σ₁, σ₂, σ₃, которые названы главными. Направления, по которым действуют главные напряжения, называют главными и главными осями.

Существуют девять основных схем главных напряжений: две линейные, три плоские и четыре объемные (рис. 2.5.). Схема нагружений сильно влияет на основное свойство деформируемого металла – пластичность, т. е. на его способность подчиняться пластическим деформациям без признаков нарушения

Рис 2.5. Основные схемы главных напряжений