Лабораторный экземпляр Лабораторная работа № 1 01.09.2011

h

Санкт- Петербургский государственный горный институт им. Г.В. Плеханова

(технический университет)

Кафедра общей и технической физики.

Механика

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

Оценка точности прямых и косвенных измерений

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2011г.

Цель работы - обработать данные прямых и косвенных измерений физических величин.

Общие сведения

Сила тока I, текущего по металлическому проводнику (при отсутствии сторонних сил), пропорциональна падению напряженияUна проводнике:

I = U/R.

Величина R называется сопротивлением проводника и зависит от его формы, размеров, а также свойств материала, из которого он изготовлен. Сопротивление однородного цилиндрического проводника

,                                        (1)

где - длина проводника;S - площадь его поперечного сечения;  - удельное сопротивление.

В системе СИ измеряется в ом-метрах (Омм). Удельное сопротивление характеризует способность вещества проводить электрический ток и зависит от химической природы вещества и условий, в которых находится проводник.

Из формулы (1) очевидно, что

Площадь поперечного сечения Sрассчитывается по измеренному значению диаметраd:СопротивлениеRвычисляется по измеренным значениям напряженияUи токаIв цепи согласно закону Ома:R = U/I.

Таким образом, значения величин l, d, U, I можно получить в результате прямых измерений, а удельное сопротивление можно вычислить по формуле

(2)

Чтобы определить величину удельного сопротивления, необходимо знать длину , диаметр проволокиd, напряжениеUи силу токаI. Каждую из этих физических величин можно измерить непосредственно соответствующими приборами (прямыеизмерения). Величина удельного сопротивлениянепосредственно не измеряется, а вычисляется по формуле (косвенные измерения).

Величины , d, U иIизмеряются соответствующими приборами с определенной точностью. В общем случае результат любого измерения величиныхпредставляют в виде

где - погрешность или ошибка в измеренияхх.

Для однократных измерений за величину ошибки принимается систематическая погрешность, которую вносит сам прибор, а средним считается измеренное значение физической величины.

Измерения длины и диаметраdпроволоки проводится с использованием маркированных шкал линейки, штангенциркуля и микрометра. Погрешность измерения линейкой определяется как половина цены наименьшего деления. Погрешность измерения штангенциркулем и микрометром указана на приборах.

В наших измерениях диаметра исследуемого куска проволоки возможна неоднозначная ситуация. Вполне вероятно, что диаметр не одинаков по всей длине проволоки. Если измерения проводятся штангенциркулем или более грубо линейкой, то может показаться, что он везде одинаков. Это понятно, так как погрешность указанных приборов достаточно велика, чтобы почувствовать незначительные изменения диаметра проволоки. В этом случае величину dследует воспринимать, как результат однократного измерения со средней величинойи с поправкойd, принятой за точность прибора.

Измеряя диаметр прибором более точным, например микрометром, получим серию результатов: , гдеn- число измерений. Как величина случайная диаметр варьирует около некоторого среднего значения, которое определяется как среднее арифметическое:

.

Величина средней абсолютной ошибки

.                                 (3)

В случае, если она меньше точности используемого прибора, то за величину абсолютной ошибки следует принять последнюю.

Измерения величины тока Iи напряженияUпроводят с помощью электроизмерительных приборов (амперметра и вольтметра). Точность этих приборов характеризуют приведенной погрешностью

где х_пр - наибольшее значение величины, которое может быть измерено по шкале прибора.

Приведенная погрешность, измеренная в процентах, определяет класс точности прибора (указан на шкале).

Абсолютная погрешность прибора в любом месте шкалы

(4)

где К - класс точности прибора.

Какова же будет погрешность косвенногоопределения удельного сопротивления по результатампрямыхизмерений величин, входящих в формулу (2)?

Известно, что для нахождения среднего значения функции, например y = f(x, z),нужно вычислить ее значение в точкахС учетом этого, используя среднее значение удельного сопротивления в виденайдем относительную погрешность

(5)

Отсюда

.               (6)

Погрешности в определении , определенные формулами (5) и (6), представляют собой верхний предел систематических и случайных ошибок. Но погрешности, рассчитанные на основании указанных правил, могут быть неоправданно завышенными.

Считается, что если погрешности прямых измерений каждой из определяемых величин (в нашем случае I, U, и d) независимы, случайны и подчиняются нормальному закону распределения, то более реалистичной (и меньшей) оценкой окончательной погрешности результата измерения является средняя квадратичная ошибка.

В нашем случае при прямых однократных измерениях I, U иза среднюю квадратичную ошибку принимается погрешность прибора. Результаты прямых многократных измерений диаметра проволоки будут иметь среднюю квадратичную ошибку

. (7)

При косвенных измерениях (в нашем случае измерение ) средняя квадратичная погрешность вычисляется по формуле:

.      (8)

где - частная производная функции(I, U, , d) по каждой из переменных, рассчитанная по средним значениям прямых измерений:

 (9)

Несложно убедиться, что в результате подстановки выражений (9) в уравнение (8) получим

          (10)