Механика Лабораторная работа № 11

Министерство образования РФ

Санкт- Петербургский государственный горный институт им. Г.В. Плеханова

(технический университет)

Кафедра общей и технической физики.

Механика

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 11

Определение отношения теплоёмкости при постоянном давлении к теплоёмкости при постоянном объёме для воздуха методом стоячей волны

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2003 г.

Цель работы - определить  = C_p/C_V методом стоячей звуковой волны.

Общие сведения

Рассмотрим, как распространяется звуковая волна в закрытой цилиндрической трубе, заполненной воздухом. В момент времени t = 0 мембрана телефона T (рис.1) начинает двигаться вправо с постоянной скоростью . Молекулы воздуха вблизи мембраны придут в движение и тоже будут перемещаться вправо со скоростью . Непосредственно около мембраны возникнет область сжатия, давление внутри которой р = р₀ + р, где р₀ - первоначальное давление воздуха. Сжатый слой воздуха передаст импульс молекулам, расположенным справа, приводя таким образом в движение соседний слой. В течение второй части периода мембрана движется влево, создавая справа от себя область разрежения, в которую устремляются молекулы из сжатого слоя. Таким образом, молекулы воздуха совершают колебательное движение в направлении колебаний мембраны. В среде при этом распространяются, чередуясь, области сжатия и разрежения воздуха (области повышенного и пониженного давления), что и представляет собой бегущую звуковую волну. Звук является продольной волной, т.к. частицы среды совершают колебания вдоль направления распространения. Будем описывать распространение волны с помощью фазовой скорости - скорости распространения в пространстве поверхностей, образованных частицами, совершающими колебания в одинаковой фазе.

Импульс силы , с которой мембрана в течение времени t давит на газ

,                       (1)

где S - площадь мембраны, p – избыточное давление, обусловленное силой .

С другой стороны, импульс внешней силы равен приращению импульса (количества движения), которое получил газ:

,                              (2)

где - плотность сжатого воздуха; - плотность воздуха в начальный момент времени; - масса сжатого воздуха; - длина столба воздуха (путь, который прошла волна за время ). Объединяя равенства (1) и (2), получим

.                           (3)

До движения мембраны масса воздуха m в отрезке трубы длиной составляла ₀. При смещении мембраны на ut плотность воздуха меняется, и в этом случае его массу можно представить (рис. 1)

,

или

,

После простых алгебраических преобразований получим

.                   (4)

Подставив равенство (3) в формулу (4), можно записать

.                                       (5)

Если изменения плотности и давления малы ( << ₀ и p << p₀), то скорость распространения волны

.                                     (6)

С точки зрения термодинамики процесс распространения звуковой волны в газе можно рассматривать как адиабатический, так как изменение давления происходит так быстро, что смежные области среды не успевают обмениваться теплом.

Адиабатический процесс описывается уравнением pV^ = const. Так как V = M/ (здесь М - масса газа), то p(M/)^ = const. Продифференцировав это равенство с учётом изменения давления и плотности, получим

,

откуда

,

т.е. в соответствии с формулой (6)

,                                           (7)

где  - плотность газа при данном давлении и температуре,  = p/RT;  - молярная масса газа; R - универсальная газовая постоянная; T - абсолютная температура.

Подставив  в уравнение (7), получим

,

откуда

.                                         (8)

Таким образом, для вычисления  необходимо определить скорость распространения звуковых колебаний. В работе эта скорость определяется методом стоячей волны.

Если в трубе, один конец которой закрыт, возбудить звуковые колебания, в ней в результате наложения двух встречных волн (прямой и отражённой) с одинаковыми частотами и амплитудами будут возникать стоячие волны. В определенных точках амплитуда стоячей волны равна сумме амплитуд обоих колебаний и имеет максимальное значение; такие точки называются пучностями. В других точках результирующая амплитуда равна нулю, такие точки называются узлами. Расстояние между ближайшим узлом и пучностью равно /4, где  - длина бегущей звуковой волны. Таким образом, измерив расстояние между узлом и пучностью или между двумя ближайшими пучностями (/2), можно найти длину бегущей звуковой волны . Фазовая скорость волны рассчитывается через длину волны по соотношению

 = ,                                               (9)

где  - частота колебаний.