ФИЗИКА3 БОЛЬШЕ ГОТОВОГО1 / 1-st / Механика / 9 / №9 / Работа 9

работа 9. определение моментов инерции параллелепипеда методом крутильных колебаний

Цель работы - определить моменты инерции прямоугольного параллелепипеда относительно трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр масс, с помощью крутильных колебаний.

Общие сведения

Момент инерции тела является мерой инертности тела при вращательном движении, подобно тому как масса тела является мерой инертности тела при поступательном движении. Момент инерции тела зависит от распределения массы тела относительно оси вращения (см. таблицу). Для вычисления момента инерции твердого тела относительно данной оси разобьем мысленно тело на большое число весьма малых элементов - материальных точек (рис.1). Тогда момент инерции тела

или

,

где m_i - масса элемента; r_i - расстояние от элемента до оси вращения;  - плотность вещества в элементе объема dV, находящегося на расстоянии r от оси вращения. Таким образом, задача нахождения момента инерции сводится к интегрированию.

Так как у тела может быть сколько угодно осей вращения, то и моментов инерции может быть бесконечное множество. Наибольший интерес для практики представляют моменты инерции тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей Оx , Оy , Оz, проходящих через центр масс. Моменты инерции тела относительно этих осей называются главными моментами инерции:

Момент инерции однородных тел простейшей формы

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр	Совмещена с осью цилиндра	mR^2
Сплошной цилиндр (диск)	- « -	1/2 mR^2
Шар	Проходит через центр шара	2/5 mR^2
Тонкостенная сфера	Проходит через центр сферы	2/3 mR^2
Прямой тонкий стержень	Перпендикулярна к стержню и проходит через его середину	1/12 ml^2
	Перпендикулярна к стержню и проходит через его конец	1/3 ml^2

Примечание. m-масса тела; R- радиус тела; l- длина тела.

Если тело представляет собой однородный прямоугольный параллелепипед со сторонами а, в, с (рис.2), моменты инерции тела

З десь оси х, у и z проходят через центр масс перпендикулярно граням со сторонами соответственно bс, ас и аb.

Рис.2

Если тело имеет форму куба, то a = b = c и

.

В общем случае расчет момента инерции представляет собой достаточно сложную задачу, и часто он определяется экспериментально с помощью основного уравнения динамики вращательного движения, методом крутильных колебаний и др.

В данной работе момент инерции определяется методом крутильных колебаний.

Если тело, висящее на нерастяжимой нити (так, что направление нити проходит через центр тяжести тела), повернуть в горизонтальной плоскости на некоторый угол , то в результате деформации нити возникнет упругая сила. Она создаст крутящий момент (момент силы) М , возвращающий систему в исходное состояние. В результате возникнут крутильные колебания.

Известно, что при небольших отклонениях от равновесия момент М пропорционален углу . Введя коэффициент пропорциональности D - модуль кручения, зависящий от упругих свойств нити, получим

М = -D.

Если пренебречь силами сопротивления, то основной закон динамики вращательного движения можно записать в виде

М = -D = J .                                (1)

Учитывая, что

уравнение (1) можно привести к виду

.                                  (2)

Решением уравнения (2) являются функции синуса или косинуса

(здесь - амплитудное значение угла отклонения;  - круговая частота; - начальная фаза), дифференцируя которые два раза по времени, получим

.                                    (3)

Уравнение (3) тождественно уравнению (2), если

.                                  (4)

Так как , где T - период колебаний, то уравнение (4) можно записать в виде

.                             (5)

Так как D неизвестен, для его исключения из формулы (5) следует провести измерения периода колебаний с телом, момент инерции которого относительно оси вращения или легко рассчитывается, или известен. Таким телом может быть, например, куб, момент инерции которого

где m - масса куба, в данном случае m = 0,962 кг; а - длина ребра куба, а = 5,0 см.

В установке, используемой для измерений, имеется рамка, конструкция которой позволяет закреплять в ней различные тела, отличающиеся по массе и размерам.

Пусть J₀ - момент инерции куба; J_р - момент инерции рамки; J - момент инерции параллелепипеда относительно некоторой оси. Тогда на основании формулы (5) получим

           (6)

где Т_р - период колебаний рамки; Т₀ - период колебаний рамки и куба; Т - период колебаний рамки и параллелепипеда.

Исключая из уравнений (6) D и J_р, запишем

                                 (7)

Порядок выполнения работы

Установка состоит из массивного основания со штативом. Кронштейны на штативе служат для закрепления стальной проволоки, на которой подвешена рамка. На среднем кронштейне закреплена стальная плита, являющаяся основанием для фотоэлектрического датчика, электромагнита и шкалы. Положение электромагнита относительно фотоэлектрического датчика указано стрелкой на шкале. Во время колебаний крутильного маятника стрела рамки прерывает световой поток, в результате чего в электронной схеме генерируются импульсы, которые после усиления подаются на электронный милли­секундомер.

Последовательность измерений следующая:

1) включить установку в сеть нажатием красной клавиши прибора с надписью «Сеть» (на индикаторах секундомера высвечивается «0»);

2) поворачивая рамку прибора, приблизить ее стрелу к электромагниту так, чтобы магнитная сила удерживала рамку;

3) нажать клавиши «Сброс» и затем «Пуск»;

4) после совершения 10 колебаний нажать кнопку «Стоп» (на левом табло считывается число колебаний, на правом - время t в секундах); вычислить период колебания Т = t/N, где N - число колебаний;

5) отжать клавишу «Пуск», приблизить сторону рамки к электромагниту, сбросить результаты измерений с табло нажатием клавиши «Сброс»;

6) снова запустить установку нажатием клавиши «Пуск»;

7) повторить не менее 10 раз пп.2-6;

8) установить в рамку куб и повторить пп.2-6 не менее 10 раз;

9) установить в рамку параллелепипед и повторить пп.2-6 не менее 10 раз (период колебаний параллелепипеда измерить для трех взаимно перпендикулярных осей).

Результаты, полученные в опыте, следует представить в виде таблицы.

Так как в работе производятся многократные измерения, то целесообразно рассчитать средние квадратические ошибки для моментов инерции параллелепипеда относительно осей х, у, z. Удобно сначала рассчитать относительную ошибку , а затем абсолютную. На основании формул теории погрешности (необходимо уметь выводить это соотношение)

  (8)

где - средние квадратические ошибки,

n - число измерений; - среднее значение соответствующего периода колебаний; - период, найденный в каждом опыте.

Так как , то формулу (4) можно записать в виде

,                         (9)

где - средняя квадратическая ошибка момента инерции куба,

где - ошибка при измерении массы, = 2 г; - приборная ошибка, = 1 мм.

Расчеты погрешностей следует делать для всех трех моментов инерции, а окончательные результаты представить в виде

Средние , и рассчитать по формуле (7).

Контрольные вопросы

1. В чем заключается физический смысл момента инерции? От чего зависит момент инерции?

2. Как рассчитывается момент инерции? Выведите формулу (5).

3. В чем состоит сущность метода крутильных колебаний?

4. Какими уравнениями описываются крутильные колебания?

5. Какие величины влияют на период колебаний?

6. Почему Т и Т₀ много больше периода рамки?

7. Как рассчитать J₀?

8. Почему у параллелепипеда J_x  J_y  J_z,, а у куба J_x = J_y = J_z?

9. Почему формулу погрешности можно представить в более простом виде (9)?