задачник гальперин и др / Микроэкономика_Гальперин, Игнатьев, Моргунов_Задачник_2007 -160с
.PDFОбщее равновесие и общественное благосостояние. |
131 |
|
|
После перемножения получаем:
10Y1 − Y1X1 = 10X1 – X1Y1 X1 = Y1.
Отсюда: U1 = X10.5X10.5 = X1 U1 = 10 − X2.
Аналогично можно показать, что U2 = X2. В результате получаем уравнение границы возможных полезностей:
U1 = 10 − U2
Эта граница представлена на рис. 8.1
Рис. 8.1. Граница возможных полезностей
8.2. U10 = 20.5 20.5 = 2; U20 = 80.5 80.5 = 8.
Легко догадаться, что уравнение контрактной кривой
есть X1 = Y1, или, что то же самое, X2 = Y2.
См. рис. 8.2. Диагональ квадрата (коробки Эджуорта) 0102 есть контрактная кривая. Точка А — точка изначального размещения благ.
|
1 |
2 |
|
Y1 |
|
Y2 |
|
PX |
|
* |
|
8.3. |
MRSXY |
= MRSXY |
= |
|
= |
|
= |
|
= p |
|
= 1. |
X |
X |
P |
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
Y |
|
|
|
Следовательно, относительная равновесная цена (p*) есть
любой луч, пересекающий контрактную кривую под прямым углом. На рис. 8.2 эти лучи проведены через точку А и точку желаемого «секретарем рынка» размещения (точку В), где индивид 1 имеет X1 = 6, Y1 = 6; индивид 2, в свою очередь, обладает X2 = 4, Y2 = 4. Исходя из заданных нам функций полезностей индивидов можно заметить, что в точке В U1 = 6, U2 = 4 (что и нужно «секретарю рынка»).
132 |
Часть VI. |
|
|
Используя рис. 8.2, нетрудно заметить, что для достижения нового распределения полезностей между индивидами «секретарю рынка» надо передать индивиду 2 от индивида 1 либо 8 единиц Y1, либо 8 единиц X1. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно из точки А провести прямые горизонтальную и вертикальную линии до соединения с лучом, представляющим относительную равновесную цену и пересекающему под прямым углом контрактную кривую в точке В. После указанного перераспределения относительная равновесная цена (р*) обеспечит автоматический переход в точку В — к желаемому «секретарем рынка» распределению полезностей.
Рис. 8.2. Коробка Эджуорта и перераспределение
Решение задачи № 9
9.1.См. рис. 9.1.
9.2.a) Точка I не является точкой оптимума, так как она не является точкой касания изоквант. Напротив, изокванты
X1 и Y3 пересекаются в точке I. В точках касания изоквант соблюдается условие парето-эффективности для производства
|(MRTSXLK = MRTSYLK ).
б) 22.5 + 25 = 47.5. Отсюда ∆K = 70 − 47.5 = 22.5 50LY отвечает 10LX. Следовательно, ∆L = 55 − 10 = 45.
Общее равновесие и общественное благосостояние. |
133 |
|
|
MRTSX |
= |
∆K |
= |
22.5 |
= 0.5. |
|
∆L |
45 |
|||||
LK |
|
|
|
|||
9.3. Соединяем указанные точки кривой (см. рис. 9.1). |
||||||
9.4. а) См. рис. 9.2. |
|
|
|
|
|
б)См.рис.9.2.КоординатыточкиI(X1 = 40,Y1 = 30).НахождениевточкеIозначаетнеэффективность,посколькуонанаходится слева от кривой продуктовой трансформации (границы производственныхвозможностей).Приимеющихсявданнойэкономике ресурсах можно достичь более высокого объема выпуска.
в) См. рис. 9.2. Нет, не будет. Переход из точки I в точку F сокращает выпуск блага X. Поэтому, несмотря на то что он переводит экономику из неэффективного состояния
вэффективное, парето-улучшения не происходит.
9.5.MRSXY = MRPTXY = ∆∆XY = 100125 = 0.8.
9.6.Нет, не обеспечат: MRPTXY = PX PX = 4. Отсюда PX = 3.2. PY 4 5
Рис. 9.1. Коробка Эджуорта для производства
134 |
Часть VI. |
|
|
Рис. 9.2. Кривая продуктовой трансформации
Решение задачи № 10
10.1. |
|
MRTSX |
= |
KX |
; |
MRTSY |
= |
KY |
; |
|
|||||||||
|
L |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
LK |
|
|
|
|
|
|
|
|
LK |
|
L |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
KX |
= |
|
2KY |
; |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
KX |
|
2(100 − KX ) |
|
|
|
X |
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
200K |
= 200L − L K |
|
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
LX |
|
200 − LX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
X X |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
LX(200 |
− KX) = 200KX. |
|
||||||||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
200KX |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
L |
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
200 − K |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
Определяем значения LX при KX = 0, 25, 50, 75 и 100 По имеющимся в условии задачи данным строим короб-
ку Эджуорта для производства, проводим в ней диагональ и по данным таблицы строим контрактную кривую для производства.
Общее равновесие и общественное благосостояние. |
135 |
|
|
10.2. Производство блага X капиталоинтенсивно, так как
KX > KT , где KT и LT — общие количества капитала и труда. В
LX LT
коробке Эджуорта этот факт отражен расположением вогнутой контрактной кривой для производства выше диагонали.
Капиталоинтенсивность производства блага X вдвое выше |
|||||||||||||
капиталоинтенсивности производства блага Y. В этом легко |
|||||||||||||
убедиться, рассчитав соответствующие значения LY и KY (см. |
|||||||||||||
таблицу) и сопоставив |
KX |
|
и |
|
KY |
в любых точках (кроме |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
LX |
|
|
|
|
LY |
|||||
крайних). Например, |
|
75 |
|
: |
25 |
|
= 2. |
||||||
120 |
|
80 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение задачи № 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11.1. Преобразуем уравнение кривой продуктовой транс- |
|||||||||||||
формации: |
9Y2 = 100 − X2; |
||||||||||||
|
|
Y2 = |
|
100 − X2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||
|
|
|
|
|
9 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y = 13 (100 − X2)0.5.
Теперь находим предельную норму продуктовой транс-
формации:
MRPTXY = dXdY = 16(100− X2)−0.5(−2X) = − X3 (100− X2)−0.5. 11.2. Для вогнутой по отношению к началу координат
кривой продуктовой трансформации должны соблюдаться
условия: dY < 0; d2Y > 0. dX dX2
136 |
|
|
|
|
Часть VI. |
|
|
|
|
|
|
|
d2Y |
= |
1 |
(100 − X2)−1.5 |
> 0, |
|
dX2 |
6 |
|||
|
|
|
|
так как по условиям задачи X < 10 во всех точках кривой, кроме точки ее соединения с осью 0Y.
Кривая продуктовой трансформации вогнута, если а) имеет место убывающая отдача от масштаба в производстве обоих благ; б) если нарушается допущение об однородности факторов (например, один из факторов производства имеет убывающую производительность в производстве какого-либо блага); в) при допущении об однородности факторов и постоянной отдаче от масштаба выпуск благ требует использования факторов в различных пропорциях (например, производство одного блага — трудоинтенсивное, другого — капиталоин-
тенсивное, скажем, KX < KY ).
LX LY
11.3.− X3 (100 − X2)−0.5 = − 74;
|
X2 |
(100 − X2)−1 = |
|
16 |
(100 − X2)−1 |
= |
144 |
|
|||
9 |
49 |
49X2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
100 − X2 = |
49X2 |
193X2 = 14 400 |
X* = 8.64; |
||||||||
144 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y* = 13 (100 − X2)0.5 = 13 (100 − 8.642)0.5 = 1.68.
Решение задачи № 12
12.1 Выражаем LX и LY через X и Y соответственно и получаем уравнение для кривой продуктовой трансформации:
X2 + 4Y2 = 100.
Крайние точки данной кривой: X = 10, Y = 0; X = 0, Y = 5. Затем находим общий дифференциал данного уравнения:
2XdX + 8YdY = 0,
или
− dXdY = MRPTXY = 4XY .
Общее равновесие и общественное благосостояние. |
137 |
|
|
12.2 Условия оптимума (парето-эффективности) предпо-
лагают, что MRPTXY = MRSXY.
MRS |
|
|
= |
|
MUX |
|
= |
Y |
. |
|
|||
XY |
MU |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
X |
||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= |
; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
4Y |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
||||
|
X2 = 4Y2; |
|
|
|
|
||||||||
X2 + 4Y2 = 2X2 = 10. |
|||||||||||||
В результате получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
X* = 50 = 7.07; |
|
|
Y* |
= |
|
12.5 |
= 3.535. |
Общественная полезность:
U= 7.07 3.535 ≈ 5.66.
12.3.Поскольку:
|
|
|
= |
|
Y* |
= |
P* |
= MRPT , |
|||||||||
MRS |
|
|
|
|
X |
|
|
||||||||||
XY |
X* |
P* |
|||||||||||||||
следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
XY |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
||||
|
|
|
P* |
= |
|
12.5 |
|
|
= |
1 |
|
||||||
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
PY* |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
50 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Таким образом, предложенные «аукционистом» цены |
|||||||||||||||||
обеспечат парето-эффективность. |
|
|
|
||||||||||||||
Ценность выпуска составит |
|
|
|
||||||||||||||
P*X* |
+ P*Y = 1 7.07 + 2 3.535 = 14.14. |
||||||||||||||||
X |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.4. В таком случае из уравнения X2 + 4Y2 = 100 полу- |
|||||||||||||||||
чаем, что Y2 = 9 Y = 3. При таких значениях: |
|||||||||||||||||
|
|
|
U = |
8 3 ≈ 4.9; |
|||||||||||||
P*X* |
+ P*Y = 1 8 + 2 3 = 14.0. |
||||||||||||||||
|
X |
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Легко заметить, что в результате отклонения от паретоэффективной комбинации благ общественная полезность и ценность выпуска снизились.
12.5. От подготовки к войне ресурсов не прибавляется, следовательно, граница производственных возможностей и MRPTXY остаются прежними. С ростом «оборонного сознания» меняется только MRSXY.
MRSXY = MUX = 3Y .
MUY X
138 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть VI. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
= |
3Y |
|
; |
|
12Y2 = X2. |
||
|
4Y |
X |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12Y2 + 4Y2 = 100; |
|||||||
|
Y* |
= 2.5; |
|
|
X* = 8.66. |
||||
Соотношение цен: |
|
|
|
||||||
|
|
|
P* |
|
X |
|
|||
|
|
|
|
X |
= |
|
= 0.866. |
||
|
|
|
|
|
4Y |
||||
|
|
|
P* |
|
|
||||
|
|
|
Y |
|
|
|
Оно говорит нам о росте относительной цены пушки
(если раньше 1 пушка стоила 0.5 одной единицы масла, то теперь приблизительно 7/8 той же единицы масла).
Определим занятость до возникновения напряженности между страной Дураков и страной Баранов. Из условий задачи
находим, что L |
= X2; L = 0.5Y2. Из полученных в п. 6.2 зна- |
||||||||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
||
чений X*, Y* получаем L |
|
|
≈ 50, L ≈ 6.25. В условиях подготовки |
||||||||||||
к войне LW ≈ 75, |
|
LW |
≈ |
X |
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|||
|
|
6.25. Таким образом, изменение заня- |
|||||||||||||
X |
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тости в производстве пушек ∆LX |
= 75 − 50 = 25, а изменение |
||||||||||||||
занятости в производстве масла |
∆LY = 6.25 − 12.5 = −6.25. |
||||||||||||||
12.6. Теперь MRS |
|
|
|
|
|
= |
|
Y |
. Отсюда: |
||||||
XY |
|
3X |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
X |
= |
|
|
Y |
; |
|
|
4Y2 = 3X2. |
|||||
|
|
4Y |
|
3X |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
X2 + 3X2 = 100; |
|||||||||||
|
|
X* |
= 5; |
|
|
|
|
|
Y* ≈ 4.33; |
||||||
|
|
|
|
P* |
|
|
= |
|
X |
≈ 0.289. |
|||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
P* |
|
|
|
4Y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что цена пушки относительно единицы масла
ниже, чем в предыдущих ситуациях (0.289 < 0.5 < 0.866). В условиях долгосрочного мира занятость распределяется следующим образом: LРX = 25, LРY ≈ 18.75. Таким образом, изменение занятости в производстве пушек ∆LX = 25 − − 75 = −50, а изменение занятости в производстве масла
∆LY = 18.75 − 6.25 = 12.5.
Общее равновесие и общественное благосостояние. |
139 |
|
|
Решение задачи № 13
13.1.См. ответ на вопрос 13.6.
13.2.UA = 200, UB = 0.
13.3.Оптимальные значения UA и UB находятся в точке пересечения луча, выходящего под углом 45о из начала
координат (его уравнение UA = UB), с границей возможных полезностей (UA + 2UB = 200). Совместное решение этих двух уравнений дает нам UA = 662/3, UB = 662/3.
13.4.Заметим, что UA + UB достигает максимума в пределах области достижимых полезностей тогда, когда она соединяется с границей возможных полезностей в точке ницшеанского оптимума. Следовательно, UA = 200, UB = 0.
13.5.«Творец политики» находит следующее решение:
L = UА0.5 UB0.5 + λ(200 −UA − 2UB);
|
|
∂L |
= 0.5 |
|
U0.5 |
|
− λ = 0 λ = 0.5 |
U0.5 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
B |
|
|
B |
; |
|
|
||||||||||||||||
|
|
∂U |
|
|
U0.5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U0.5 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
||||||
|
|
∂L |
= 0.5 |
U0.5 |
|
− 2λ = 0 2λ = 0.5 |
U0.5 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
B |
; |
|
|||||||||||||||||
|
|
∂U |
B |
U0.5 |
|
U0.5 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|||||
|
|
∂L |
= 200 −U |
|
|
− 2U |
|
= 0 U |
|
= 200 − 2U |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
A |
B |
A |
||||||||||||||||||||||
|
|
∂λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда: |
|
U0.5 |
|
|
|
|
|
|
U0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
B |
= 0.5 |
|
|
A |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
U0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
U0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
U0.5 |
|
|
|
|
|
= 0.5 |
(200 −U |
)0.5 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
(200 − 2U |
|
|
)0.5 |
|
|
U0.5 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
= 200 − 2UB |
|
|
B |
|
|
= 200 |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2UB |
|
|
4UB |
|
UB = 50, UA = 100. |
||||||||||||||||||||||
13.6. См. ниже рис. 13.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи № 14
14.1. «Творец политики» находит следующее решение
L = YA0.5 + YB0.5 + λ(100 − YA − YB);
140 |
Часть VI. |
|
|
Рис. 13.1. Социальные оптимумы:
() 1 — ницшеанский и утилитаристский оптимумы, () 2 — роулсианский оптимум, () 3 — оптимум Бернулли–Нэша.
∂L |
= |
|
0.5 |
− λ = 0 |
0.5 |
= λ; |
||
∂Y |
Y0.5 |
Y0.5 |
||||||
|
|
|
|
|
||||
A |
|
|
A |
|
|
A |
|
|
∂L |
= |
|
0.5 |
− λ = 0 |
|
0.5 |
= λ. |
|
∂Y |
|
Y0.5 |
|
Y0.5 |
||||
|
|
|
|
|
||||
B |
|
|
B |
|
|
B |
|
Отсюда YA = YB = 50.
14.2. Теперь «творец политики» находит следующее решение
|
|
L = Y0.5 |
+ Y0.5 + λ(100 − 2Y − Y ); |
|
|
||||||||||||
∂L |
|
|
|
A |
B |
|
|
|
|
A |
|
|
B |
|
|
||
= |
|
0.5 |
− 2λ = 0 |
0.5 |
= 2λ |
|
1 |
|
= 4λ2 |
; |
|||||||
∂Y |
|
Y0.5 |
Y0.5 |
4Y |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
A |
|
|
A |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
A |
|
|
||
∂L |
= |
0.5 |
− λ = 0 |
0.5 |
= λ |
1 |
|
= λ2. |
|
||||||||
∂Y |
|
Y0.5 |
|
|
4Y |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Y0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
B |
|
|
B |
|
|
|
B |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|