Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ОЗО Логопеды / теория вероятности.doc
Скачиваний:
32
Добавлен:
08.04.2015
Размер:
186.88 Кб
Скачать

Министерство образования

Российской Федерации

Шуйский государственный педагогический университет

С.А. Зайцева Теория вероятности Основные понятия

Лекционный материал

Шуя  2003

В большой советской энциклопедии теория вероятностейопределяется как математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми.

В теории вероятностей изучаются закономерности массовых случайных событий. Рассмотрим простейший пример. Если подбросить монету, то нельзя точно сказать, какой стороной она ляжет вверх — гербом или цифрой. Здесь результат действия броска монеты — не определен однозначно. Может показаться, что в подобных задачах вообще ничего определенного сказать нельзя. Однако даже обычная игровая практика показывает обратное: при большом числе бросков примерно в половине случаев выпадет герб, а в половине — цифра. И это уже некоторая закономерность. Именно такие закономерности и изучаются в теории вероятностей. При этом нас будет интересовать не результат отдельного опыта, а результат, полученный после многократного его повторения.

Еще один пример вероятностной задачи. Представьте себе, что в школе организовано соревнование между классами и вы хотите определить, какой класс написал городскую контрольную работу по алгебре лучше. Для этого достаточно вывести для каждого класса среднюю оценку (подсчитав среднее арифметическое из полученных классом оценок) и сравнить их. Тогда места в соревновании распределятся в соответствии с полученными средними оценками. Спрашивается, сколько знаков после запятой правомерно учитывать при таком сравнении? Оказывается, что для классов в 30—40 человек правомерно учитывать только десятые, т. е. средние по классу оценки надо брать с точностью до 0,1. Ну а если аналогичное сравнение захотят сделать по школам, т. е. сравнить, какая школа написала городскую контрольную по математике лучше, опираясь на средний балл за контрольную по школе? Сколько тогда правомерно брать знаков при вычислении среднего балла? Оказывается, что, для того чтобы можно было учитывать уже и сотые доли, необходимо, чтобы число принимаемых во внимание контрольных работ доходило до 2500.

Случайные события.

В теории вероятностей (как и в любой другой науке) жизнь изучается не во всей ее сложности, а только с одной определенной стороны. При этом строится некоторая схема (или модель), которая более или менее полно отражает интересующую нас сторону жизни. Эта схема и изучается. Например, в геометрии изучаются свойства фигур: точек, прямых и т. п. В реальной жизни таких фигур нет. Поэтому мы имеем дело с моделями, полученными как результат моделирования, схематизирования, абстрагирования определенной стороны реальной жизни.

В теории вероятностей рассматривается следующая модель изучаемых явлений реальной жизни: делается опыт (испытание),в результате происходят случайныесобытия(часто говорят просто —события).

Например, бросили монету и посмотрели, что выпало, — это опыт. В результате этого опыта может выпасть герб — это одно событие, а может выпасть цифра — это другое событие. Поскольку выпадение герба зависит от случая, то это случайное событие. События принято обозначать большими буквами: А, В, С и т. п. Например, в опыте с броском монеты событие «выпал герб» естественно обозначить буквой Г. При этом пишут: Г == «выпал герб». Аналогично событие «выпала цифра» обозначают буквой Ц.

Рассмотрим еще один опыт, несколько более богатый событиями, чем опыт с бросанием монеты, — бросание игральной кости. Этот опыт состоит в следующем. Игральную кость (кубик, на сторонах которого указаны точки: 1, 2, 3, 4, 5 и 6, соответствующие количеству очков) бросают на стол и смотрят (на верхней грани), сколько выпало очков. При этом могут произойти следующие события:

Q1= «выпало 1 очко», Q2= «выпало 2 очка», Q3= «выпало 3 очка»,

Q4= «выпало 4 очка», Q5= «выпало 5 очков», Q6= «выпало 6 очков».

Q7=«число выпавших очков простое», Q8= «число выпавших очков делится на З»,

Q9= «число выпавших очков четно», Q10= «число выпавших очков нечетно»

На этих простых опытах мы можем заметить, что события Q1 и Q2 не могут произойти одновременно. Такие события называются несовместными.

Два события называются несовместными, если они в рассматриваемом опыте не могут произойти одновременно. События, которые в рассматриваемом опыте могут произойти одновременно, называются совместными. Например, в опыте с броском игральной кости события Q2и Q9 и Q9 совместны. Действительно, пусть выпало 2 очка. Число 2 четное, следовательно, произошло событие Q9.

Событие А благоприятствует событию В (пишут А В), если из того, что произошло событие А, следует, что произошло событие В. Если же из того, что произошло событие А, еще не следует, что произошло событие В, то событие А не благоприятствует событию В (пишут А В).Так, в опыте с броском игральной кости Q2благоприятствует Q9

Множество событий рассматриваемого опыта, одно из которых в результате опыта обязательно происходит, а любые два из них несовместны, называется множеством элементарных событий (или исходов) этого опыта, а каждое событие из этого множества называется элементарным событием рассматриваемого опыта или его исходом.Так, в опыте с броском игральной кости события Q1,Q2, Q3, Q4, Q5и Q6 образуют множество исходов этого опыта. Подчеркнем, что для одного и того же опыта можно рассматривать разные множества исходов. Например, для опыта с броском игральной кости можно рассматривать множество из двух исходов — Q10и Q9. В самом деле, эти события несовместны, и в результате опыта (броска игральной кости) одно из них обязательно происходит. От того, как выбрано множество элементарных событий опыта, зависит большая или меньшая сложность решения поставленной вероятностной задачи: при удачном выборе решение сильно упрощается, а при неудачном или усложняется, или вообще не может быть найдено.

Классическое определение вероятности события.

«Вероятность математическая, числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях». (Колмогоров А. Н

Обратим внимание на одно место в определении: опыт (т. е. определенные условия, в которых появляется рассматриваемое событие) может повторяться неограниченное число раз (по крайней мере теоретически). В том случае, если опыт не может быть повторен неограниченное число раз, нельзя говорить о вероятностях событий, происходящих в этом опыте.

Пусть множество исходов опыта состоит из п равновероятных исходов. Если т из них благоприятствуют событию А, то вероятностью события А называется число

Пример. Какова вероятность того, что при броске игральной кости выпадет четное число очков?

Решение. В опыте «бросок игральной кости» мы имеем 6 равновероятных исходов: события Q1,Q2, Q3, Q4, Q5и Q6. Нас интересует вероятность события Q8. Этому событию благоприятствуют три исхода опыта: события Q2, Q4, и Q6.. Следовательно,п=6,т= 3, а искомая вероятность

Пример. Бросили две монеты. Какова вероятность того, что на каждой монете выпал герб?

Решение. Сразу напрашивается множество исходов, состоящее из трех событий (здесь опыт — бросок двух монет): «на обеих монетах выпал герб» = Г,«на обеих монетах выпала цифра» =Ц и «на одной монете выпал герб, а на другой монете выпала цифра» =А. Но интуитивно ясно, что это не равновероятные события — событиеАимеет больше шансов появиться. Чтобы получить равновероятные исходы, внесем в этот опыт некоторое дополнение, которое не изменит вероятностной структуры задачи. Именно, возьмем одну монету медную, а другую серебряную. Это добавление позволит выделить равновероятные исходы испытания. Ими будут события Г,Ц, А1, == «на серебряной монете выпал герб, на медной монете выпала цифра» и А2== «на серебряной монете выпала цифра, на медной монете выпал герб». Эти четыре события уже равновероятны, поскольку условия опыта относительно них симметричны. Они также образуют множество исходов рассматриваемого опыта. Теперь все подготовлено для того, чтобы можно было обратиться к теории вероятностей (до сих пор мы пользовались условиями задачи для выяснения некоторых основных, исходных вероятностей: в нашем случае это сводилось к выявлению равновероятных исходов испытания). Равновероятных исходов испытания 4, т. е.п=4. Нас интересует вероятность события Г. Ему благоприятствует только один исход, т. е. от == 1. Следовательно, искомая вероятность

Пример.В ящике лежат 20 одинаковых на ощупь шаров. Из них 12 белых и 8 черных. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что он окажется белым?

Решение. В этой задаче рассматривается следующий опыт: из ящика наугад вынимают шар и смотрят его цвет. Сразу напрашивается множество исходов, состоящее из двух событий: Ч= «вынутый шар черный» иБ= «вынутый шар белый». Но эти исходы неравновероятны, так как белых шаров больше и шансов вынуть белый шар больше. Для выявления в этом опыте множества равновероятных исходов внесем в опыт дополнительный элемент, не нарушающий вероятностной структуры задачи, а именно, перенумеруем все шары. Белым шарам поставим в соответствие номера с 1 по 12, а черным — номера с 13 по 20. События «вынут шар с определенным номером уже равновероятны, так как шары на ощупь неотличимы и вынимаются наугад. Кроме того, эти 20 событий образуют множество исходов нашего опыта. Следовательно,п= 20, а интересующему нас событиюВблагоприятствуют первые 12 исходов, т. е.т= 12. Следовательно,

Алгебра событий.

С каждым опытом мы связывали множество его исходов — события £1, £2, ...,£n. Каждому событиюА вэтом опыте благоприятствует некоторое подмножество множества исходов данного опыта. Таким образом, событиеАмы можем рассматривать как некоторое подмножество в множестве элементарных событий данного опыта. Это подмножество мы тоже будем обозначать буквойАи изображать обычным образом.

Тогда все связи между событиями можно изобразить наглядно. Например, если события А иВнесовместны, то это значит, что нет исхода опыта, благоприятствующего и событиюА,и событиюВ,т. е. соответствующие множества А и В не пересекаются.

Если событие Аблагоприятствует событиюВ,то это значит, что каждый исход опыта, благоприятствующий событиюА,благоприятствует и событиюВ,т. е. соответствующее множествоАесть подмножество множестваВ .

Если события Л и В совместны, то это значит, что существуют исходы опыта, благоприятствующие как событию А,так и событиюВ,т. е. соответствующие множестваАи В пересекаются. На этом рисунке изображены совместные события, но ни одно из них не благоприятствует другому.

Операции над событиями

Объединение событий.Рассмотрим два события А и В. Это некоторые подмножества исходов опыта. Рассмотрим их объединениеab. Оно является некоторым подмножеством исходов опыта, т. е. некоторым событием в этом опыте. Это событие называется объединением событий А и В и заштриховано как

Событию abблагоприятствуют исходы опыта, которые благоприятствуют хотя бы одному из рассматриваемых событий. Следовательно, событиеabсостоит в том, что произошло хотя бы одно из указанных событий (илиА, илиВ,или А и В одновременно). Ясно, что аналогично рассматривается объединение трех, четырех и вообще любого числа событий.

Объединением событий А, В, С, ... называется событие, состоящее в том, что в результате опыта произошло хотя бы одно из указанных событий А, В, С,... .Это событие обозначается так: АВС...

Из этого определения непосредственно следуют равенства: АВ =ВА.

Пример. Бросили игральную кость. Событие Q9состоит в том, что выпало или 1 очко, или 2 очка, или 3 очка, или 5 очков. Можно также записать, чтоQ9=Q1Q2Q3Q5.

Пересечение событий.Рассмотрим два событияАиВ.Они являются подмножествами исходов опыта (обозначим их тоже А и В). Рассмотрим пересечениеABоно составляет некоторое подмножество исходов опыта.

Событию ABблагоприятствуют исходы опыта, которые благоприятствуют и событию А, и событию В. Следовательно, событиеABсостоит в том, что в результате опыта произошли и событие А, и событиеВодновременно. Аналогично рассматривается пересечение трех, четырех и вообще любого числа событий.

Пересечением событийА,В,С, ...называется событие, состоящее в том, что в результате опыта произошли все указанные события. Это событие обозначается так:

AB С …..

Из этого определения непосредственно следуют формулы: AB=ВА

Пример. Бросили игральную кость. Событие Q7Q10состоит в том, что выпало или 3 очка, или 5 очков. Это можно записать так:Q7Q10=Q7Q5

Пример. В воскресенье Петя и Вася договорились пойти на футбол, если Петя купит в субботу билеты, если Вася исправит неудовлетворительную оценку и если в воскресенье не пойдет дождь. Рассмотрим события: А=«Петя купил в субботу билеты на футбол», В= «Вася исправил неудовлетворительную оценку», С= «в воскресенье нет дождя», D=«Петя и Вася пошли в воскресенье на футбол». Ясно, чтоD=ABC

Замечание.Действия объединения и пересечения обладаютпереместительнымисочетательнымсвойствами и связаныраспределительнымзаконом:

А(ВС) = (АВ)(АС), А (ВС)=(AВ)(АС)

Событие называется невозможным (U), если в результате опыта оно произойти не может. Событие называетсядостоверным (Е), если оно обязательно происходит в результате опыта.

Для несовместных событий, и только для них, А В =U.

Разность событий. СобытиюА \ Вблагоприятствуют исходы опыта, которые благоприятствуют событиюАи не благоприятствуют событиюВ. Следовательно, при изображении события А \ В из события А надо удалить все исходы, которые благоприятствуют событию В

Часто бывает проще вычислить вероятность того, что событие А не произошло, чем то что оно произошло. Поэтому введем следующее определение.

Событие = Е\А называетсяпротивоположным событию А или событием «не А»

Например,= Q10.

Теоремы о вероятности объединения.

Теорема сложения.Если АВ =U, то р (AВ)=р(А)+р(В).

Доказательство. Пусть множество исходов рассматриваемого опыта состоит из правновероятных исходов. Еслитиз них благоприятствуют событию А, то р(А)=, аk

благоприятствуют событию В,тоР(В)=.Поскольку событияАиВнесовместны, то нет исходов, благоприятствующих одновременно и событиюА,инобытиюВ.Следовательно, событиюAB благоприятствуетт + kисходов, и потому р(AB)=р(А)+р(В)

Пример. В ящике лежат 7 белых, 5 красных и 8 синих одинаковых на ощупь шаров. Вынимается наугад один шар. Какова вероятность того, что он цветной?

Решение. Рассмотрим события: К= «вынут красный шар» и С = «вынут синий шар». Это несовместные события, а нас интересует событие «вынут цветной шар» = «вынут красный или синий шар» =КС.Следовательно, по предыдущей теореме

р(КС)= р(К) + р(С)=

Пример. Зачет по стрельбе считается сданным, если курсант получает оценку не ниже 4. Какова вероятность сдачи зачета курсантом, если известно, что он получает за стрельбу оценку 5 с вероятностью 0,3 и оценку 4 с вероятностью 0,5.

Решение. События А= «по стрельбе получена оценка 5» и В= «по стрельбе получена оценка 4» несовместны. Поскольку события нас интересует событие «зачет сдан» =АВ,то р(АВ)=р(А) +р(В) = 0,3 + 0,5 = 0,8.

Может возникнуть вопрос: откуда известны вероятности Получения оценок по стрельбе? Ответ — из опыта предыдущих стрельб.

Теорема можно обобщить на любое число попарно несовместных событий. Если события А1, А2, ..., Аnпопарно несовместны, то

р(А1А2... Аn)=р(А1)+р(А2)+…+р(Аn).

Теоремавероятности противоположного события. р(А)=1-р()

Доказательство. Так как А =Uи А= Е, а Р (Е) = 1, то

1 = р(Е) = р(А)=р(А)+р(). Отсюда следует формула.

Пример. Наудачу берется трехзначное число. Какова вероятность того, что хотя бы две его цифры будут различны?

Решение. Исход этого опыта — получение натурального числа от 100 до 999. Так как числа выбираются наугад, то эти исходы равновероятны. Их числоп= 900. Нас интересует событиеА= «у выбранного числа совпадают хотя бы две цифры». Но проще подсчитать вероятность события=«у выбранного числа все цифры различны». Каждое такое число есть упорядоченное подмножество из трех цифр в множестве из десяти цифр. При этом на первом месте не может быть нуля. Следовательно, число таких чиселт= 9 • 9 • 8.

р()=Интересующая же нас вероятность Р (Л) =1 — р(А) = 0,28.

Теоремао вероятности объединения двух любых событий. р(АВ)=Р(А +Р(В)- Р(АВ).

Независимость событий.

В обиходе часто говорят о независимых событиях. При этом нередко приходят к разногласию: одни считают какие-то два события независимыми, а другие — зависимыми. Чтобы этого положения избежать, в теории вероятностей дано следующее определение независимости двух событий.

События А и В называются независимыми, если р(АВ)= р(А)р{В).

Теперь можно разобраться в том, как это определение согласуется с нашей интуицией.

Пример. Бросили монету и игральную кость. Какова вероятность того, что выпадет герб и четное число очков.

Здесь опыт состоит в том, что брошена монета и игральная кость, и мы смотрим, что выпало на монете и сколько очков выпало на кости. Наша интуиция подсказывает, что число выпавших очков не зависит от того, что выпало на монете, т. е. события Г= «на монете выпал герб» и Q=«на кости выпало четное число очков» независимы. Подсчитаем теперь вероятности этих событии в нашем опыте и вероятность их пересечения ГQ, и проверим, согласуется ли это с определением независимых событий.

Для подсчета вероятностей выделим множество равновероятных исходов нашего опыта. Очевидно, что события ГQkи Ц Qk= «на монете выпала цифра»),k= 1, 2, ..., 6, есть множество исходов нашего опыта. Эти события равновероятны, поскольку условия опыта симметричны относительно них, шансы произойти у этих событий равны. Число ихп= 12. Шесть из них благоприятствуют тому, что выпал герб. Это события ГQk, k=1, 2, ..., 6. Следовательно, р(Г)=. СобытиюQблагоприятствуют тоже шесть исходов: ГQk,k =2, 4, 6. Следовательно, р(Q)=. Пересечению ГQблагоприятствует три исхода: ГQk, k= 2, 4, 6. Следовательно, р(ГQ)=. Посколькур(Г)р(Q), то мы видим, что в этом примере интуитивное представление о независимости двух событий и данное выше определение согласованы.

Пример. Два охотника стреляют одновременно и независимо друг от друга по зайцу. Заяц подстрелен, если попал хоть один охотник. Вычислить вероятность того, что заяц подстрелен, если вероятности попаданий для охотников равны 0,8 и 0,75.

Решение. Подсчитаем вероятность противоположного события — «заяц не подстрелен» = Ā. Обозначим события: В= «попадание первого охотника», С = «попадание второго охотника». Из условия примера следует, что эти события независимы и их вероятности таковы: р(В) = 0,8, р(С)= 0,75. Поскольку Ā =и события эти тоже независимы, то р(Ā)=р()==0,20,25=0,05 и потому

р(А)=1- р(Ā)= 0,95.

Как видите, несмотря на то что охотники не очень меткие, совместные их действия должны быть более удачными.

Можно рассматривать несколько независимых событий или опытов.

События А, В, С, ... называются независимыми если вероятность пересечения равна произведению вероятностей для любого подмножества указанных событий.

Обратите внимание на то, что это определение не сводится к попарной независимости перечисленных событий. Для того чтобы, например, три события были бы независимыми, надо чтобы для любой пары событий вероятность пересечения равнялась произведению вероятностей и чтобы пересечение всех трех событий имело вероятность, равную произведению вероятностей событий.

Геометрические вероятности.

До сих пор мы рассматривали вероятностные задачи, в которых опыты имеют конечное множество исходов. Но гораздо чаще приходится иметь дело с опытами, в которых множество исходов бесконечно.Дадим некоторое представление о таких ситуациях на простейших геометрических задачах теории вероятностей — они приводят к так называемому геометрическому определению вероятности события.

Пример 1. Пусть на отрезок длиной Iбросают наудачу точку. Какова вероятность того, что эта точка попадет на отрезок длинойs,являющийся частью отрезка длиныI

Наглядные представления о вероятности события наталкивают нас на такие соображения. Если s=, то естественно искомую вероятность положить равной , еслиs=,то равной — и т. д. В общем случае для событияА= «точка попала на отрезок длиной s» естественно положить р(А)=

Это равенство раскрывает смысл выражения «точка брошена наудачу». В этом примере рассматриваемый опыт — бросок точки на отрезок — имел бесконечное множество исходов: точка может попасть о любую точку отрезка. Поэтому классический подход, рассмотренный в предыдущих пунктах, тут уже неприемлем.

Пример. Пусть на тот же отрезок длиной lбросают одновременно (независимо одну от другой) две точки. Какова вероятность того, что обе эти точки попадут на отрезок[а, b]длиной s, являющийся частью отрезка длинойl?

Рассмотрим координатную прямую и отрезок длиной lна ней. Пустьх —координата первой брошенной точки,у —координата второй брошенной точки. СобытиеА=«первая точка попала на отрезок[a;b]» по условию не зависит от событияВ= «вторая точка попала на отрезок[a;b]» Поэтому в силу определения независимости событийАиВвероятность того, что обе точки попали на отрезок[a;b],равна:

р(АВ)==

Посмотрим теперь на это решение немного с другой стороны. Bрезультате проделанного опыта нами получена упорядоченная пара чисел(х; у) —координаты первой и второй точек. Но тогда можно говорить о точке на плоскости с этими координатами. Событие, состоящее в том, что обе брошенные точки попали на отрезок[a;b],равносильно тому, что точка с координатами (х; у)

попала в заштрихованный квадрат.

Вероятность же этого события, подсчитанная выше, есть отношение площадей двух квадратов — заштрихованного площадью s2и большогоквадрата площадью /2, куда вообще может попасть точка с координатами(х; у)

Сделанное замечание подводит к такому определению вероятности события. Пусть на плоскости имеется некоторая фигураG. В ней выделена фигураg. В фигуруGнаугад бросают точку. Тогда вероятность событияА= «точка попала в фигуру g» равна отношению, площадей фигур G иg, т. е. р(А)=

Пример. Два человека договорились о встрече. Условия встречи следующие: в условленное место они приходят независимо друг от друга в произвольный момент времени между 13.00 и 14.00. Придя, каждый ожидает не более получаса и уходит не позднее 14.00. Какова вероятность того, что они встретятся?

Решение. Пусть время (в часах) прихода одного 13 + х, а второго — 13 +y. Это событие изобразим точкой на плоскости с координатами(х;у).

Так как время прихода каждого произвольно, то (х; у)есть точка, наудачу брошенная в квадрат, поскольку в соответствии с принятыми обозначениями 0х .1 и 0у .1 Какую же фигуру заполняют точки, соответствующие событию А = «встреча состоялась»? Для встречи необходимо и достаточно, чтобы:

или

Заштрихуем интересующую нас фигуру.

Так как площадь квадрата (это в нашей задаче есть фигура G) равна 1, то искомая вероятность равна площади заштрихованной фигуры (это в нашей задаче фигура g), т. е. равна . Итак, вероятность встречи равна.

16

1

2

15

3

14

4

13

5

12

6

11

7

10

8

9

Соседние файлы в папке ОЗО Логопеды