Кольца и модули / модули

III. Модули.

1. Основные определения.

Пусть R – кольцо с 1. Абелева группа (M,+) называется левым (правым) R-модулем, если на

M определена операция умножения элементов группы M на элементы кольца R слева

(соответственно, справа), причем выполняются следующие условия:

1.x,y R a M (x y)a = x(ya) (соответственно, a(x y) = (ax)y);

2.a M 1a = a (соответственно, a1 = a);

3.x,y R a M (x+y)a = xa+ya (соответственно, a(x+y) = ax+ay);

4.x R a,b M x(a+b) = xa+xb (соответственно, (a+b)x = ax+bx).

Пусть R1 и R2 – кольца с 1. Абелева группа (M,+) называется (R1,R2)-бимодулем, если M

является левым R1-модулем, правым R2-модулем и x1 R1 x2 R2 a M (x1a)x2 = x1(ax2).

Упражнение 1. Пусть M – левый R-модуль. Докажите, что x,y R a,b M

1. 0a = x0 = 0. 2. x(–a) = (–x)a = –(xa). 3. x(a–b) = xa–xb. 4. (x–y)a = xa–ya.

Примеры:

1. Если R – кольцо с 1, то любой левый (правый) идеал кольца R является левым (правым) R-

модулем относительно умножения на элементы кольца R. В частности, кольцо R является левым и правым R-модулем относительно умножения в R.

2. Пусть (G,+) – абелева группа. Тогда G – левый -модуль: если g G, n , то ng – n-я

степень элемента g.

3.Линейное пространство V над полем P является левым P-модулем. В общем случае, если R

–тело, то левый (правый) R-модуль называется левым (правым) векторным пространством над R.

4.Пусть P – поле. Тогда группа (Pn,+) является левым M(n,P)-модулем относительно

операции матричного умножения векторов-столбцов из Pn на матрицы из M(n,P) слева.

Аналогично если Pn рассматривать как пространство строк, то (Pn,+) является правым M(n,P)-

модулем относительно операции матричного умножения векторов-строк из Pn на матрицы из

M(n,P) справа.

5. Пусть V – линейное пространство над полем P, A L(V). Тогда группа (V,+) является правым P[x]-модулем относительно следующей операции: если v V, f(x) P[x], то vf(x) = vf(A) (если f(x) = a0+a1x+…+anxn, то f(A) = a0 V+a1A +…+anAn).

Упражнение 2. Доказать, что все указанные алгебраические системы являются модулями.

Понятия быть левым и правым R-модулем тесно связаны между собой. А, именно, пусть R –

коммутативное кольцо и M – левый R-модуль. Тогда, определяя операцию умножения на элементы кольца R справа: ax = xa для любых x R, a M, мы получаем, что M является правым R-

модулем. Возможен и обратный переход от «правого» к «левому» случаю.

1

Везде далее под R-модулем мы будем понимать правый R-модуль, а свойства левых R-

модулей Вы можете получить самостоятельно, трансформируя утверждения для «правого» случая.

2. Подмодули.

Пусть M – правый R-модуль. Непустое подмножество N группы M называется подмодулем модуля M, если система (N,+) является подгруппой группы (M,+) и N замкнуто относительно умножения на элементы кольца R, т.е. 1. a,b N (a+b) N; 2. x R a N (ax) N.

Упражнение 3. 1. Докажите, что каждый подмодуль N правого R-модуля M сам является правым R-модулем.

2. Пусть M – правый R-модуль, L N M. Докажите, что если N – подмодуль модуля M и L –

подмодуль модуля N, то L – подмодуль модуля M. Докажите, что если N и L – подмодули модуля

M, то L – подмодуль модуля N.

Примеры:

1.В любом правом R-модуле M подмножества {0} и M являются подмодулями.

2.Если R – кольцо с 1 и R – правый R-модуль, то множество подмодулей модуля R совпадает

смножеством правых идеалов кольца R.

3.Если (G,+) – абелева группа, рассматриваемая как правый -модуль, то множество

подмодулей модуля G совпадает с множеством подгрупп группы G.

4. Пусть V – линейное пространство над полем P (правый P-модуль). Тогда множество подмодулей модуля V совпадает с множеством подпространств пространства V.

Пусть M – правый R-модуль, a1,…,an M. Линейной оболочкой элементов a1,…,an называется множество (a1,…,an) = {a1x1+…+anxn: xi R, i=1,…,n}.

Предложение 1. Пусть M – правый R-модуль, a1,…,an M. Тогда (a1,…,an) – наименьший подмодуль модуля M, содержащий элементы a1,…,an.

Доказательство: 1. Докажем, что (a1,…,an) – подмодуль M. Пусть a1x1+…+anxn, a1y1+…+anyn (a1,…,an). Тогда (a1x1+…+anxn)+(a1y1+…+anyn) = a1(x1+y1)+…+an(xn+yn) (a1,…,an).

Если r R, то (a1x1+…+anxn)r = a1(x1r)+…+an(x1r) (a1,…,an).

2.Для каждого i = 1, .., n ai = a10+…+ai–10+ai1+ai+10+…+an0 (a1,…,an).

3.Пусть N – подмодуль M, содержащий элементы a1,…,an. Тогда для любого

a1x1+…+anxn (a1,…,an) a1x1,…,anxn N и потому a1x1+…+anxn N, т.е. (a1,…,an) N. Предложение

доказано.

Модуль M называется конечно порожденным, если M = (a1,…,an) для некоторых a1,…,an M.

Если M = (a) для некоторого a M, то модуль M называется циклическим.

Примеры:

2

1. В линейном пространстве V над полем P, рассматриваемом как правый P-модуль,

линейная оболочка системы элементов модуля V – это в точности линейная оболочка элементов пространства V. Модуль V является конечно порожденным в точности тогда, когда V –

конечномерное линейное пространство.

2. В абелевой группе (G,+), рассматриваемой как правый -модуль, циклический подмодуль

модуля G – это в точности циклическая подгруппа группы G.

3. В кольце R с 1, рассматриваемом как правый R-модуль, линейная оболочка элементов

модуля R – это в точности правый идеал кольца R, порожденный этими элементами.

Понятие линейной оболочки можно обобщить и на бесконечное множество порождающих элементов. Пусть (ai)i I M. Линейной оболочкой системы элементов (ai)i I называется множество

((ai)i I) = {	aixi : xi R, i I}.
	п.все xi 0
Предложение 2. Пусть M – правый R-модуль, (ai)i I M.		Тогда ((ai)i I) – наименьший
подмодуль модуля M, содержащий подмножество (ai)i I.

Доказательство – упражнение 4.

Система элементов (ai)i I M называется системой порождающих модуля M, если M = ((ai)i I).

Система элементов (ai)i I M называется линейно независимой, если из того, что	aixi = 0
	п.все xi 0

(xi R, i I) следует i I xi = 0. Система элементов (ai)i I M называется базисом модуля M, если она является линейно независимой системой порождающих модуля M.

Предложение 3. Пусть M – правый R-модуль, (ai)i I M. Система (ai)i I является базисом

модуля M любой элемент модуля M однозначно представим в виде	aixi , xi R, i I.
	п.все xi 0

Доказательство – упражнение 5.

Операции над подмодулями:

1) Если (Ni)i I – семейство подмодулей правого R-модуля M, то их пересечение Ni также

i I

является подмодулем модуля M – упражнение 6.

2) Если N1,…,Nk – подмодули правого R-модуля M, то их сумма N1+…+Nk = {a1+…+ak: ai Ni, i=1,…,k} также является подмодулем модуля M.

Действительно, 1. a,b N1+…+Nk a = a1+…+ak, b = b1+…+bk для подходящих ai,bi Ni, i=1,…,k a+b = (a1+b1)+…+(ak+bk) N1+…+Nk, поскольку ai+bi Ni, i=1,…,k.

2. a N1+…+Nk, x R a = a1+…+ak для подходящих ai Ni, i=1,…,k ax = a1x+…+akx N1+…+Nk, поскольку aix Ni, i=1,…,k.

3

3)	Если	(Ni)i I – семейство подмодулей правого R-модуля M, то их
сумма Ni {		ai	:ai Ni,i I} также является подмодулем модуля M.
i I	п.все ai 0

Действительно, a,b (Ni)i I a и b лежат в сумме конечного числа подмодулей из семейства

(Ni)i I a+b лежит в этой сумме и для любого x R ax лежит в этой сумме a+b, ax Ni .

i I

3. Гомоморфизмы модулей. Фактор-модули.

Пусть M1 и M2 – правые R-модули. Отображение : M1 M2 называется гомоморфизмом модулей, если является гомоморфизмом групп (M1,+) и (M2,+) и x R a M1 (ax) = (a )x. Т.о.,

– гомоморфизм модулей, если: 1. a,b M1 (a+b) = a +b . 2. x R a M1 (ax) = (a )x.

Мономорфизм, эпиморфизм, изоморфизм модулей определяются так же, как у колец.

Гомоморфизм правого R-модуля M в себя называется эндоморфизмом модуля M. Биективный эндоморфизм модуля M называется автоморфизмом модуля M.

Упражнение 7. Пусть : M1 M2 – гомоморфизм правых R-модулей. Докажите, что: 1. 0 = 0. 2. a M1 (–a) = –(a ). 3. a,b M1 (a–b) = a –b .

Примеры:

1. Если M – правый R-модуль, то отображение M: M M, определяемое правилом a M = a, a M, является автоморфизмом модуля M.

2. Если M1 и M2 – правые R-модули, то отображение O: M1 M2, определяемое правилом aO= 0, a M1, является гомоморфизмом модулей.

3.Гомоморфизмы правых P-модулей, являющихся линейными пространствами над полем P,

–это в точности линейные отображения этих пространств.

4.Гомоморфизмы абелевых групп, рассматриваемых как правые -модули – это в точности

гомоморфизмы этих групп.

Упражнение 8. Докажите, что

1.При мономорфизме модулей образ линейно независимой системы элементов является линейно независимой системой элементов.

2.При эпиморфизме модулей образ системы порождающих модуля является системой порождающих образа модуля.

3.При изоморфизме модулей образ базиса модуля является базисом образа модуля.

Предложение 4. Образ и прообраз подмодуля относительно гомоморфизма модулей являются подмодулями. Доказательство – упражнение 9.

Пусть : M1 M2 – гомоморфизм правых R-модулей. Ядром гомоморфизма называется множество Ker = {a M1: a = 0} = 0 –1. Образом гомоморфизма называется множество

4

Im = {a : a M1} = M1 . Т.о., ядро и образ гомоморфизма модулей M1 и M2 совпадают соответственно с ядром и образом соответствующего гомоморфизма групп (M1,+) и (M2,+),

поэтому Ker (M1,+) и Im (M2,+). Более того,

Следствие. Ядро гомоморфизма правых R-модулей : M1 M2 является подмодулем модуля

M1. Образ гомоморфизма является подмодулем модуля M2.

Теорема 1 (1-я теорема о гомоморфизмах модулей). Пусть : M1 M2 – гомоморфизм правых

R-модулей. Тогда a,b M1 a = b a–b Ker . В частности, – мономорфизм модулей

Ker = {0}.

Доказательство: следует непосредственно из соответствующей теоремы теории групп.

Теорема 2. Пусть M – правый R-модуль, (ai)i I – базис модуля M. Тогда для любого правого

R-модуля N и любого отображения : (ai)i I N существует, причем единственный, гомоморфизм

модулей : M N, продолжающий отображение . Если при этом (ai )i I

– базис модуля N, то

является изоморфизмом модулей.

Доказательство: пусть a M. Тогда по предложению 3 элемент a однозначно представим в

виде a =

aixi , xi R, i I . Пусть a =

(aiψ)xi . Тогда отображение определено корректно

п.все xi 0

п.все xi 0

и если a =

aixi ,

b =

ai yi

, xi, yi R, i I , x R, то

п.все

xi 0

п.все yi 0

(a+b) = (

ai (xi

yi )) =

(aiψ)(xi

yi)= =

(aiψ)xi

(aiψ)yi = a +b и

п.все xi yi 0

п.все xi yi 0

п.все xi 0

п.все yi 0

(ax) = (

ai(xix) ) =

(aiψ)(xix) = =(

(aiψ)xi)x = (a )x.

п.все xi 0

п.все xi 0

п.все xi 0

Т.о., – гомоморфизм модуля M на модуль N.

При этом если : M N – гомоморфизм

модулей,

продолжающий отображение , то a = (

aixi)σ=

(aiσ)xi =

(aiψ)xi = a и

п.все xi 0

п.все xi 0

п.все xi 0

потому = .

Если теперь (ai )i I – базис модуля N, то a =

aixi Ker a =

(aiψ)xi = 0 i I

п.все xi 0

п.все xi 0

xi = 0 a = 0.

Поэтому Ker = {0} и по теореме

1 – мономорфизм. Более того, для любого

b = (aiψ)xi

N найдется a =

aixi M такой, что a = b. Поэтому – эпиморфизм, а, значит,

п.все xi 0

п.все xi 0

и изоморфизм модулей. Теорема доказана.

Пусть N – подмодуль правого R-модуля M. Тогда (N,+) (M,+) и потому можно рассмотреть фактор-групппу (M/N,+). Определим на множестве M/N операцию умножения на элементы кольца

R: x R, a+N M/N (a+N)x = ax+N.

Корректность: a+N = b+N a–b N ax–bx = (a–b)x N ax+N = bx+N.

Предложение 5. Пусть N – подмодуль правого R-модуля M. Тогда множество M/N по

5

отношению к операциям + и операции умножения на элементы кольца R является правым R-

модулем.

Доказательство: (M/N,+) является абелевой группой, поэтому проверим аксиомы из

определения правого R-модуля:

1.x,y R, a+N M/N (a+N)(x y) = a(x y)+N = (ax)y+N = (ax+N)y = ((a+N)x)y;

2.a+N M/N (a+N)1 = a1+N = a+N;

3.x,y R a+N M/N (a+N)(x+y) = a(x+y)+N = (ax+ay)+N = (ax+N)+(ay+N) = (a+N)x+(a+N)y;

4. x R, a+N, b+N M/N ((a+N)+(b+N))x = ((a+b)+N)x = (a+b)x+N = (ax+bx)+N =

= (ax+N)+(bx+N) = (a+N)x+(b+N)x. Предложение доказано.

Построенный модуль M/N называется фактор-модулем модуля M по подмодулю N.

Предложение 6. Пусть N – подмодуль правого R-модуля M. Отображение : M M/N,

определенное по правилу a = a+N, a M, (естественный гомоморфизм модуля M на фактор-

модуль M/N) является эпиморфизмом модулей, причем Ker = N.

Доказательство – упражнение 10.

Т.о., из предложения 6 и следствия к предложению 4 мы получаем, что подмодули правого R-

модуля M и только они являются ядрами гомоморфизмов модуля M в другие правые R-модули.

Теорема 3 (2-я теорема о гомоморфизмах модулей). Пусть : M1 M2 – гомоморфизм правых

R-модулей. Тогда M1/Ker Im , причем существует такой мономорфизм модулей : M1/N M2,

что = , где – естественный гомоморфизм модуля M на фактор-модуль M/N.

Доказательство: из теории групп известно, что отображение : M1/N M2, определенное по

правилу	(a+N) = a , a+N M/N, является мономорфизмом групп (M1/N,+) и	(M2,+), причем
= .	Поэтому остается проверить только, что является гомоморфизмом	модулей: x R,
a+N M/N ((a+N)x) = (ax+N) = (ax) = (a )x = ((a+N) )x. Теорема доказана.

Пусть N – подмодуль правого R-модуля M. Обозначим через (M,N) множество всех

подмодулей модуля M, содержащих N.

Теорема 4 (3-я теорема о гомоморфизмах модулей). Пусть M – правый R-модуль, N –

подмодуль модуля M. Тогда отображение, сопоставляющее подмодулю L (M,N) подмодуль

L L/ N фактор-модуля M/N является биекцией множества (M,N) на множество подмодулей

фактор-модуля M/N. При этом, если L (M,N), то M/L (M/N)/(L/N).

Доказательство: поскольку любой подмодуль является подгруппой соответствующей абелевой группы, то биективность указанного отображения следует из соответствующей теоремы теории групп. Более того, отображение : M/N M/L, определенное по правилу (a+N) = (a+L), a+N M/N, является эпиморфизмом групп (M/N,+) и (M/L,+) и Ker = L/N. Если x R, a+N M/N, то

((a+N)x) = (ax+N) = ax+L = (a+L)x = ((a+N) )x. Поэтому	– гомоморфизм модулей и
M/L = Im (M/N)/(L/N) (теорема 3). Теорема доказана.
6

Теорема 5 (теорема об изоморфизмах модулей). Пусть M – правый R-модуль, N и L –

подмодули модуля M. Тогда (N+L)/L N/(N L).

Доказательство: как доказано выше сумма N+L является подмодулем модуля M, причем

L N+L и потому L – подмодуль правого R-модуля N+L. Аналогично мы получаем, что N L –

подмодуль правого R-модуля N. Из теории групп известно, что отображение : N (N+L)/L,

определенное по правилу a = a+L, a N, является эпиморфизмом групп (N,+) и ((N+L)/L,+) и Ker = N L. Если x R, a N, то (ax) = ax+L = (a+L)x = (a )x. Поэтому – гомоморфизм модулей и по теореме 3 (N+L)/L = Im N/(N L). Теорема доказана.

4. Прямые суммы модулей. Свободные модули.

Пусть M1, …, Mk – правые R-модули. Тогда можно определить (внешнюю) прямую сумму абелевых групп (M1,+), …, (Mk,+) – (M1 … Mk,+). Введем на этой группе операцию умножения

на элементы кольца R: x R, (a1,…,ak) M1 … Mk (a1,…,ak)x = (a1x,…,akx).

Предложение 7. Пусть M1, …, Mk – правые R-модули. Тогда

1. Множество M1 … Mk по отношению к операциям + и операции умножения на элементы

кольца R является правым R-модулем.
2.	Отображение		i: M1 … Mk Mi,		определяемое	правилом		(a1,…,ak) i = ai,
(a1,…,ak) M1 … Mk, является эпиморфизмом модулей (i=1,…,k).
3.	Отображение i: Mi M1 … Mk, определяемое правилом					a i = (0,…,0,a,0,…,0), a Mi,
является мономорфизмом модулей (i=1,…,k).
Доказательство – упражнение 11.
Образы		модулей	Mi	относительно	отображений	i	будем	обозначать

M i {(0,...,0,a,0,...,0):a Mi}. Тогда по предложению 4 M i – подмодули модуля M1 … Mk, т.е.

внешняя прямая сумма M1 … Mk содержит в качестве подмодулей «изоморфные копии» исходных модулей M1,…,Mk. Более того,

Предложение 8. Пусть M1, …, Mk – правые R-модули, M = M1 … Mk. Тогда любой элемент a M единственным образом представим в виде a = a1+…+ak, где ai M i , i=1,…,k.

Доказательство: пусть a = (a1,…,ak) M. Тогда a = (a1,0,…,0)+(0,a2,0,…)+…+(0,…,0,ak) –

искомое представление. Если a = (b1,0,…,0)+(0,b2,0,…)+…+(0,…,0,bk) (bi Mi, i=1,…,k) – другое

представление элемента a, то a = (b1,…,bk) и потому ai = bi, i=1,..,k, т.е.

(0,…,0,ai,0,…,0) = (0,…,0,bi,0,…,0), i=1,..,k, и представление единственно. Предложение доказано.

Пусть теперь M – правый R-модуль, N1, …, Nk – подмодули модуля M. Модуль M называется

(внутренней) прямой суммой подмодулей N1, …, Nk, если M = N1+…+Nk и любой элемент a M

7

однозначным образом представим в виде a = a1+…+ak, где ai Ni, , i=1,…,k. Обозначение:

M = N1 … Nk.

Предложение 9. Пусть M – правый R-модуль, N1, …, Nk – подмодули модуля M. Следующие утверждения равносильны:

1.M = N1 … Nk.

2.M = N1+…+Nk и ai Ni, i=1,…,k (a1+…+ak = 0 i=1,…,k ai = 0).

3.M = N1+…+Nk и i=1,…,k Ni N j {0}.

j i

Доказательство – упражнение 12.

Из предложения 8 мы получаем, что внешняя прямая сумма модулей M1, …, Mk является

внутренней прямой суммой подмодулей M1, …, M k . Наоборот, если M – внутренняя прямая сумма подмодулей N1, …, Nk, то отображение : M N1 … Nk (внешняя прямая сумма правых R-

модулей N1, …, Nk), определяемое правилом (a1+…+ak) = (a1,…,ak), a1+…+ak M, является изоморфизмом модулей.

k

Теорема 6 (теорема Ремака). Пусть N1, …, Nk – подмодули правого R-модуля M, N Ni .

					i 1
Тогда фактор-модуль M/N изоморфен некоторому подмодулю прямой суммы M/N1 … M/Nk.
	Доказательство: пусть : M M/N1 … M/Nk определено по правилу a = (a+N1,…,a+Nk),
a M.	Тогда a,b M		(a+b) = ((a+b)+N1,…,(a+b)+Nk) = ((a+N1)+(b+N1),…,(a+Nk)+(b+Nk)) =
= (a+N1,…,a+Nk)+(b+N1,…,b+Nk) = a +b ; x R,				a M (ax) = (ax+N1,…,ax+Nk) = ((a+N1)x,…,
(a+Nk)x) = (a+N1,…,a+Nk)x = (a )x. Т.о., – гомоморфизм модулей.
	a Ker a = 0	(a+N1,…,a+Nk) = 0 a+N1 =…= a+Nk = 0			a N1, …, a Nk a N.
Т.о., Ker = N.
	По теореме 3 фактор-модуль M/N изоморфен Im – подмодулю модуля M/N1 … M/Nk.
Теорема доказана.
	Пусть теперь (Ni)i I – семейство подмодулей правого R-модуля M. Модуль M называется
(внутренней) прямой суммой семейства подмодулей (Ni)i I, если M =					Ni и любой элемент a M
					i I
однозначным образом представим в виде a				ai , где ai Ni, , i I. Обозначение: M = Ni .
			п.все ai 0		i I

Предложение 10. Пусть M – правый R-модуль, (Ni)i I – семейство подмодулей модуля M.

Следующие утверждения равносильны:

1. M = Ni .

i I

2. M = Ni	и ai Ni, i I, п.все ai = 0, (	ai	= 0 i I ai = 0).
i I		п.все ai 0

8

3. M = Ni и i I Ni Nj {0}.

i I

j i

Доказательство – упражнение 13.

Пусть (Mi)i I – семейство правых R-модулей. (Внешней) прямой суммой семейства модулей

(Mi)i I называется множество Mi = {(ai)i I: п.все ai = 0, ai Ni, i I}. Введем на множестве Mi

i I i I

операции: если (ai)i I, (bi)i I Mi ,		то (ai)i I+(bi)i I = (ai+bi)i I,	если x R, (ai)i I Mi ,	то
	i I		i I
(ai)i Ix = (aix)i I. Очевидно, что операции введены корректно и
Предложение 11. Пусть (Mi)i I – семейство правых R-модулей. Тогда
1.	Множество Mi по отношению к операциям + и операции умножения на элементы
	i I
кольца R является правым R-модулем.
2.	Отображение i: Mi Mi, определяемое правилом ((ai)i I) i = ai, (ai)i I Mi , является
	i I		i I
эпиморфизмом модулей (i I).
3.	Отображение i: Mi Mi ,	определяемое правилом	a i – последовательность,	все
	i I

элементы которой – 0, кроме элемента на i-м месте, равного a, a Mi, является мономорфизмом модулей (i I).

Доказательство – упражнение 14.

Тогда M i = Mi I – подмодуль модуля Mi , изоморфный модулю Mi (i I) и Mi является

i I

i I

внутренней прямой суммой семейства подмодулей (M i )i I. Наоборот, внутренняя прямая сумма семейства подмодулей (Ni)i I изоморфна внешней прямой сумме семейства модулей (Ni)i I.

Правый R-модуль M называется свободным, если он изоморфен модулю вида R = RI, где

i I

кольцо R рассматривается как правый R-модуль. Если |I| = n, то свободный модуль, изоморфный модулю RI, называется свободным модулем ранга n.

Предложение 12. Пусть M – правый R-модуль. Модуль M является свободным в M

существует базис.

Доказательство: « »: пусть M RI. Обозначим через ei последовательность, i-й элемент

которой равен 1, а остальные – 0 (i I). Тогда (ai)i I RI (ai)i I =	eiai	и eiai = 0 (ai)i I = 0
	i I	i I

ai = 0 (i I). Т.о., система (ei)i I является базисом модуля RI. Поскольку при изоморфизме базис переходит в базис (упражнение 6), то в модуле M также есть базис.

« »: пусть система (ai)i I является базисом модуля M. Тогда сопоставление ai ei элементов модуля RI базисным элементам модуля M продолжаемо по теореме 2 до гомоморфизма модуля M в

9

модуль RI, который является изоморфизмом, поскольку система (ei)i I является базисом модуля RI.

Т.о., M RI. Предложение доказано.

Примеры: 1. Конечномерное линейное пространство над полем P является свободным модулем конечного ранга, причем его ранг совпадает с размерностью пространства.

2. Абелева группа (G,+), рассматриваемая как правый -модуль, является свободным -

модулем G I (G,+) – свободная абелева группа.

Предложение 13. Пусть M – правый R-модуль. Модуль M является свободным в M

существует такая система элементов (ai)i I, что для любого правого R-модуля N и любого

отображения : (ai)i I N существует единственный гомоморфизм модулей : M N,

продолжающий отображение .

Доказательство: « »: пусть M – свободный R-модуль. По предложению 12 в модуле M

существует базис (ai)i I. По теореме 2 система (ai)i I является искомой.

« »: пусть система (ai)i I – из условия. Рассмотрим свободный R-модуль RI и его базис

(ei)i I. По условию существует гомоморфизм : M RI такой, что ai = ei, i I. Поскольку (ei)i I –

базис модуля RI, то по теореме 2 существует гомоморфизм : RI M такой, что ei = ai, i I. Тогда

отображение является эндоморфизмом модуля M, причем ai( ) = ai, i I. По условию

отображение модуля M в себя, при котором ai ai, i I, продолжаемо до единственного эндоморфизма модуля M, который, как легко понять, является тождественным эндоморфизмом

модуля M, и потому = M. Аналогично доказывается, что = εRI . Т.о., – биективное отображение, а потому M RI. Предложение доказано.

Предложение 14. Любой правый R-модуль M изоморфен фактор-модулю некоторого свободного R-модуля.

Доказательство: пусть M – правый R-модуль и (ai)i I – система порождающих модуля M.

Тогда отображение, сопоставляющее базисному элементу ei свободного R-модуля RI элемент

ai M, по теореме 2 продолжаемо до гомоморфизма модулей : RI M, при этом, поскольку любой

элемент модуля M представим в виде	aixi , xi R, i I, то	aixi =(	eixi ) . Т.о., –
	п.все xi 0	п.все xi 0	п.все xi 0

эпиморфизм модулей и M = Im RI/Ker (теорема 3). Предложение доказано.

При этом не любой гомоморфный образ (и, соответственно, фактор-модуль) свободного R-

модуля являются свободными R-модулями. Также дело обстоит и с подмодулями свободного R-

модуля.

Пример. Кольцо 6 как правый 6-модуль является свободным 6-модулем. Его идеал 2 6

является его подмодулем, но при этом не является свободным 6-модулем, поскольку |2 6| = 3, а

10