Кольца и модули / радикалы колец

IV. Радикалы колец.

1. Квазирегулярные и нильпотентные элементы.

Пусть R – кольцо. Введем новую операцию на R: если x,y R, то x y = x+y–x y.

Предложение 1. (R, ) – моноид. Доказательство – упражнение 1.

Элемент x R называется левоквазирегулярным (правоквазирегулярным, квазирегулярным),

если x обратим слева (соответственно, обратим справа, обратим) относительно операции .

Упражнение 2. Докажите что x – квазирегулярный элемент R x – лево- и право-

квазирегулярный элемент R.

Предложение 2. Пусть R – кольцо с 1. Тогда x R

1.x – левоквазирегулярный элемент в R элемент (1–x) обратим слева в R.

2.x – правоквазирегулярный элемент в R элемент (1–x) обратим справа в R.

3.x – квазирегулярный элемент в R элемент (1–x) обратим в R.

Доказательство: 1. « »: пусть x – левоквазирегулярный элемент R существует y R та-

кой, что y x = 0 y+x–y x = 0 1–x–y+y x = 1 (1–y) (1–x) = 1. Т.о., (1–y) – левый обратный для

1–x. « »: пусть (1–x) обратим слева в R существует y R такой, что y (1–x) = 1 1–y+x– x+y x = 0 (1–y) x = 0 x – левоквазирегулярный элемент R.

Утверждения 2 и 3 доказываются аналогично – упражнение 3.

Примеры: 1. В кольце элемент n – квазирегулярный 1–n обратим 1–n = 1 n = 0

или n = 2. Т.о., множество квазирегулярных элементов кольца – {0,2}.

2. В теле R элемент x – квазирегулярный 1–x обратим 1–x 0 x 1. Т.о., множество квазирегулярных элементов тела R – R\{1}.

Кольцо R называется квазирегулярным, если любой его элемент – квазирегулярный. Идеал кольца R называется квазирегулярным, если он является квазирегулярным кольцом.

Элемент x R называется нильпотентным, если n N xn = 0.

Упражнение 4. Пусть R – кольцо с 1. Докажите, что обратимый элемент кольца R не может быть нильпотентным.

Примеры: 1. В кольце нильпотентным является только 0.

2. В кольце Zpk (p – простое число) нильпотентными являются те классы, представители ко-

торых кратны p ((pm)k = 0 для любого m = 1,…, k).

3. В кольце Mn(R) треугольные матрицы, на главной диагонали которых стоят нули, являются нильпотентными элементами, называются такие матрицы нильтреугольными.

1

4.Если R – тело, то единственным нильпотентным элементом в R является 0, поскольку все остальные элементы обратимы.

5.Пусть P – поле. Тогда единственным нильпотентным элементом кольца P[[x]] является 0.

Упражнение 5. Доказать все перечисленные в примерах утверждения.

Предложение 3. Любой нильпотентный элемент кольца является квазирегулярным элемен-

том.

Доказательство: пусть x – нильпотентный элемент кольца R n N xn = 0 x (–x–x2–…–

xn–1) = x–x–x2–…–xn–1–x (–x–x2–…–xn–1) = 0, (–x–x2–…–xn–1) x = –x–x2–…–xn–1+x–(–x–x2–…–

xn–1) x = 0 x – квазирегулярный элемент R. Предложение доказано.

Ниль-кольцом называется кольцо, все элементы которого нильпотентны. Идеал кольца R на-

зывается ниль-идеалом, если он является ниль-кольцом.

Следствие 1. Любое ниль-кольцо является квазирегулярным.

2. Общее определение радикала колец.

Пусть – класс колец, замкнутый относительно взятия изоморфных образов (вместе с лю-

бым кольцом содержит и все изоморфные ему). Класс называется радикальным, если выполня-

ются следующие три условия:

1.замкнут относительно взятия гомоморфных образов, т.е. если R и : R R – гомоморфизм колец, то R .

2.замкнут относительно расширения, т.е. если R – кольцо, J – идеал R и J, R/J , то R .

3.В любом кольце R содержится наибольший идеал J (R), лежащий в , т.е. J (R) и если J –

идеал R и J , то J J (R).

Предложение 4. Пусть – радикальный класс колец. Тогда для любого кольца R J (R/J (R)) = 0.

Доказательство: пусть J/J (R) – идеал кольца R/J (R) и J/J (R) J (J/J (R) и

J (R) , 2-е условие из определения радикального класса) J J (R) (3-е условие из определения радикального класса) J = J (R) J/J (R) = 0. Т.о., в R/J (R) только нулевой идеал содержится в

, т.е. J (R/J (R)) = 0. Предложение доказано.

Пусть R – кольцо. Идеал J (R) называется радикалом кольца R.

2

3. Ниль-радикал.

Теорема 1. Класс всех ниль-колец – радикальный.

Доказательство:

1.Пусть R – ниль-кольцо, : R R – гомоморфизм колец. Тогда y R x R x = y

n N xn = 0 yn = (x )n = (xn) = 0 y – нильпотентный элемент. Т.о., R – ниль-кольцо.

2.Пусть R – кольцо, J – ниль-идеал в R и R/J – ниль-кольцо. Тогда x R x+J – нильпотент-

ный элемент кольца R/J n N (x+J)n = xn+J = 0 xn J, J – ниль-кольцо m N (xn)m = xnm = 0.

Т.о., x – нильпотентный элемент и R – ниль-кольцо.

Лемма. Сумма произвольного семейства ниль-идеалов кольца R является ниль-идеалом.

Доказательство леммы: пусть J1 и J2 – ниль-идеалы кольца R по теореме об изоморфиз-

мах колец (J1+J2)/J2 J1/(J1 J2) и J1/(J1 J2) – образ ниль-кольца J1 относительно естественного гомоморфизма J1/(J1 J2) – ниль-кольцо (J1+J2)/J2 –ниль-кольцо и J2 – ниль-кольцо J1+J2 –

ниль-кольцо.

Методом математической индукции теперь можно доказать, что сумма любого конечного семейства ниль-идеалов кольца R является ниль-идеалом.

Пусть Ji – сумма произвольного семейства ниль-идеалов кольца R (каждый ее элемент

i I

является конечной суммой элементов из идеалов Ji, i I). Пусть x Ji x Ji1+…Jik для подхо-

i I

дящих i1,…,ik I . Ji1+…Jik – ниль-идеал кольца R по доказанному x – нильпотентный элемент.

Т.о., Ji – ниль-идеал. Лемма доказана.

i I

3. Пусть теперь (Ji)i I – семейство всех ниль-идеалов кольца R. Тогда J = Ji – ниль-идеал

i I

кольца R, содержащий все остальные ниль-идеалы кольца R, т.е. J – искомый наибольший ниль-

идеал. Теорема доказана.

Ниль-радикалом кольца R называется наибольший ниль-идеал в R и обозначается Nil(R). Из предложения 4 следует, что Nil(R/Nil(R)) = 0.

Примеры: 1. Если R = ил R – тело, то, как замечено выше, единственным ниль-идеалом в R

является {0}, т.е. Nil(R) = 0. Также, если P – поле, то Nil(P[[x]]) = 0.

2.В кольце Zpk (p – простое число) множество всех нильпотентных элементов образует идеал pZpk , который и является наибольшим, т.е. Nil(Zpk ) = pZpk .

3.Множество нильтреугольных матриц образует идеал NTn(R) в кольце Mn(R), поэтому

Nil(NTn(R)) = NTn(R).

3

4. Радикал Джекобсона.

Теорема 2. Класс всех квазирегулярных колец – радикальный.

Доказательство:

1. Пусть R – квазирегулярное кольцо, : R R – гомоморфизм колец. Заметим, что для лю-

бых x,y R (x y) = (x+y–x y) = x +y –x y = (x y ). Пусть y R x R x = y z R

x z = z x = 0 x z = z x = 0 = 0, z R y = x – квазирегулярный элемент R . Т.о., R –

квазирегулярное кольцо.

2. Пусть R – кольцо, J – квазирегулярный идеал в R и R/J – квазирегулярное кольцо. Тогда x R x+J – квазирегулярный элемент кольца R/J y+J R/J (x+J) (y+J) = (y+J) (x+J) = 0. По-

скольку x+J и y+J – образы x и y относительно естественного гомоморфизма, то

(x+J) (y+J) = x y+J, (y+J) (x+J) = y x+J x y, y x J, J – квазирегулярное кольцо z1,z2 J

(x y) z1 = 0, z2 (y x) = 0 x (y z1) = 0, (z2 y) x = 0, т.е. x – левоквазирегулярный и правоквазире-

гулярный элемент R x – квазирегулярный элемент R и R – квазирегулярное кольцо.

Лемма. Сумма произвольного семейства квазирегулярных идеалов кольца R является квази-

регулярным идеалом.

Доказательство леммы: пусть J1 и J2 – квазирегулярные идеалы кольца R по теореме об изоморфизмах колец (J1+J2)/J2 J1/(J1 J2) и J1/(J1 J2) – образ квазирегулярного кольца J1 относи-

тельно естественного гомоморфизма J1/(J1 J2) – квазирегулярное кольцо (J1+J2)/J2 – квази-

регулярное кольцо и J2 – квазирегулярное кольцо J1+J2 – квазирегулярное кольцо.

Методом математической индукции теперь можно доказать, что сумма любого конечного семейства квазирегулярных идеалов кольца R является квазирегулярным идеалом.

Пусть Ji – сумма произвольного семейства квазирегулярных идеалов кольца R. Пусть

i I

x Ji x Ji1+…Jik для подходящих i1,…,ik I . Ji1+…Jik – квазирегулярный идеал кольца R по

i I

доказанному x – квазирегулярный элемент Ji1+…Jik x – квазирегулярный элемент Ji . Т.о.,

i I

Ji – квазирегулярный идеал. Лемма доказана.

i I

3. Пусть теперь (Ji)i I – семейство всех квазирегулярных идеалов кольца R. Тогда J = Ji –

i I

квазирегулярный идеал кольца R, содержащий все остальные квазирегулярные идеалы кольца R,

т.е. J – искомый наибольший квазирегулярный идеал. Теорема доказана.

Радикалом Джекобсона кольца R называется наибольший квазирегулярный идеал в R и обо-

значается J(R). Кольцо R называется полупростым, если J(R) = 0. Из предложения 4 следует, что

J(R/J(R)) = 0. Поэтому для любого кольца R кольцо R/J(R) – полупростое. 4

Примеры: 1. J( ) = 0, поскольку единственным квазирегулярным идеалом в является {0}. 2. Если R – ниль-кольцо, то R – квазирегулярное кольцо и потому J(R) = R. В частности,

J(NT(n,R)) = NT(n,R).

3. Если R – тело, то единственными идеалами в R являются {0} и R, а поскольку как отмече-

но выше, 1 не является квазирегулярным элементом R, то {0} – единственный квазирегулярный идеал в R. Т.о., J(R) = 0.

Пусть R – кольцо с 1. Рассмотрим другие определения радикала Джекобсона кольца R.

Теорема 3. Пусть R – кольцо с 1. Радикал Джекобсона кольца R совпадает с каждым из сле-

дующих множеств:

1.Пересечение всех максимальных правых идеалов кольца R.

2.Пересечение аннуляторов всех неприводимых правых R-модулей.

3.Пересечение всех максимальных левых идеалов кольца R.

4.Пересечение аннуляторов всех неприводимых левых R-модулей.

Доказательство: совпадение множеств пп. 1 и 2, а также пп. 3 и 4 доказано в предыдущем разделе.

1. Докажем, что J(R) совпадает с множеством, указанном в п.1 теоремы. Обозначим это мно-

жество через L. По доказанному ранее множество п.2 теоремы является идеалом кольца R, а по-

тому L – также идеал R.

J(R) L? Пусть x J(R) и x L существует максимальный правый идеал J кольца R такой,

что x J xR+J – правый идеал кольца R, содержащий в себе J (y J y = x0+y xR+J), но не сов-

падающий с J (x = x1+0 (xR+J)\J). Поскольку J – максимальный правый идеал, то xR+J = R су-

ществует y R, j J такие, что 1 = xy+j. Поскольку x J(R) и J(R) – идеал R, то xy J(R) xy – квази-

регулярный элемент в J(R) (предложение 2) j = 1–xy – обратимый элемент в R, лежащий в J J = R, что противоречит максимальности J

L J(R)? Пусть x L и x не является правоквазирегулярным в R (предложение 2) элемент 1– x не обратим справа (1–x)R R (1 нельзя представить в виде (1–x)y, y R) правый идеал (1–x)R

содержится в некотором максимальном правом идеале J кольца R (1–x) J, x J (x лежит в пере-

сечении всех максимальных правых идеалов R) 1 J J = R, что противоречит максимальности идеала J. Т.о., x – правоквазирегулярный элемент R y R x y = 0 y = x y–x L (по дока-

занному) y – правоквазирегулярный элемент R z R y z = 0 x = x 0 = x (y z) = (x y) z = 0 z

= z x y = y x = 0, y L x – квазирегулярный элемент L L – квазирегулярный идеал кольца

R L J(R).

Т.о., J(R) = L. Совпадение J(R) с множеством п.3 теоремы доказывается аналогично. Доказа-

но.

5

Примеры: 1. Пусть P – поле. В кольце P[[x]] множество рядов с нулевым первым слагаемым является наибольшим идеалом (см. раздел «Кольца») и потому совпадает с любым правым идеа-

лом P[[x]], а потому и с их пересечением, которое по теореме 3 совпадает с J(P[[x]]). Т.о.,

J(P[[x]]) = { i xi : 0 = 0}.

i 0

2.Пусть P – поле. Тогда J(P[x]) = 0.

Действительно, пусть f(x) J(P[x]) и f(x) 0 (теорема 3) f(x) принадлежит любому макси-

мальному правому идеалу J кольца P[x] J = g(x)P[x] (P[x] – кольцо главных идеалов) и g(x) не-

приводим (см. характеризацию максимальных идеалов кольца главных идеалов) для любого неприводимого g(x) P[x] многочлен g(x) делит f(x) все многочлены 1-й степени являются дели-

телями f(x) этих многочленов должно быть конечное число, т.е. P – конечное поле (над ко-

нечным полем существуют неприводимые многочлены сколь угодно большой степени) f(x) делит-

ся на многочлен степени выше deg f(x) f(x) = 0. Получили противоречие, и потому f(x) = 0, т.е.

J(P[x]) = 0.

5. Условия совпадения ниль-радикала и радикала Джекобсона.

Предложение 5. Для любого кольца R: Nil(R) J(R). Доказательство – упражнение 6.

Но, если P – поле, то, как отмечено выше, Nil(P[[x]]) = 0, но J(P[[x]]) 0.

Теорема 4. Пусть R – артиново справа (слева) кольцо. Тогда J(R) = Nil(R).

Доказательство: Пусть x J(R) n N xnR – правый идеал в R xR x2R … – убывающая цепочка правых идеалов кольца R n N xnR = xn+1R y R xn1 = xn+1 y = xn (x y). x J(R)

x y J(R) x y – квазирегулярный элемент в J(R) z J(R) (x y) z = z (x y) = 0 x y+z–(x y)z = 0

xn (x y)+xn z–xn (x y z) = xn+xn z–xn z = xn = 0 x – нильпотентный элемент J(R) – ниль-идеал R

J(R) Nil(R). По предложению 5 Nil(R) J(R). Т.о., J(R) = Nil(R). Теорема доказана.

Следствие 2. Пусть A – конечномерная алгебра с 1 над полем P. Тогда J(A) = Nil(A).

Доказательство – упражнение 7.

6