Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет приборостроения и информатики

Предмет:

Дифференциальные уравнения

Файл:

МАТАН: Дифференциальные уравнения

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.04.2015

Размер:

1.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

p dpdy =18sin3 y cos y .

Полученное для p( y) уравнение является уравнением с

разделяющимися переменными. Найдем его решение:

p dpdy =18sin3 y cos y , pdp =18sin3 y cos ydy ,

∫pdp = ∫18sin3 y cos ydy , ∫pdp = ∫18sin3 yd sin y ,

p2 = 9 sin4 y +C . Определим произвольную постоянную С. Так

2 2

как при x =1 имеем y(1) =

, а

′

p = 3 при y =

y (1) = 3, то

2 .

Тогда

+C , С=0. Следовательно,

9sin

4 y

или

p = ±3sin2 y . Знак плюс при извлечении корня выберем плюс

′

- положительное число. Тогда

потому, что y (1) = 3

p = 3sin2 y . Неизвестную функцию y(x) определяем из

уравнения

= 3sin2

y . Найдем его решение:

= 3sin2

y ,

= 3dx ,

∫

= 3∫dx , −ctgy =3x +C . Так как

sin2 y

y(1) =

π , то 0 =3 +C , C = −3.

Следовательно, y = arcctg3(1− x) .

Ответ:

y = arcctg3(1− x) .

3.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

6. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида.

Однородным линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами порядка n будем называть уравнение вида:

y(n) + a1 y(n−1) +...... + an−1 y′+ an y = 0 ,

где a1 ,......, an−1 , an - действительные числа.

Характеристическим уравнением соответствующим данному дифференциальному уравнению называется алгебраическое уравнение вида

λт + a1λт−1 +..... + an−1λ + an = 0 .

Общее решение данного дифференциального уравнения находится следующим методом. Пусть λ = k1 является действительным корнем этого уравнения кратности s. Тогда ему соответствуют s линейно независимых решений дифференциального уравнения: y1 = ek1x , y2 = xek1x ,…., ys = xs−1ek1x .

Пусть комплексно сопряженные числа α±βi являются корнями характеристического уравнения кратности s. Тогда им соответствуют 2s линейно независимых решений:

u1	= eαx cos βx , u 2 = xe αx cos βx ,….., u s = x s −1eαx cos βx ;
v1	= eαx sin βx , v2 = xe αx sin βx ,….., vs = x s −1eαx sin βx

Можно показать, что таким образом найдется ровно n линейно независимых решений исходного дифференциального уравнения

y1 , y2 ,..., yn . Тогда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y0 запишется в виде

y0 = C1 y1 +C2 y2 +.... +Cn yn

где C1 ,C2 ,...,Cn - произвольные постоянные.

Неоднородным линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами порядка n будем называть уравнение вида:

y(n) + a1 y(n−1) +...... + an−1 y′+ an y = f (x) ,

где f (x) , заданная функция. Если функция y (x) является частным решением неоднородного уравнения, то его общее решение записывается в виде y = y + y0 , где y0 - общее решение

соответствующего однородного уравнения.

При отыскании частного решения неоднородного дифференциального уравнения полезно иметь ввиду следующее: если y1 (x) является частным решением неоднородного уравнения с

правой частью f1 (x) , а y2 (x) является частным решением неоднородного уравнения с правой частью f2 (x) , то y = y1 + y2 является частным решением неоднородного уравнения с правой

частью f1 (x) + f2 (x) .

Если известно общее решение однородного уравнения, то методом вариации произвольных постоянных можно отыскать частное решение неоднородного уравнения. Однако в общем случае применение этого метода вызывает технические трудности. Для правых частей некоторого специального типа частное решение может быть найдено более простым путем. Рассмотрим два таких типа правых частей.

1.Пусть	f (x) = Pn (x)eαx ,	где Pn (x)	- многочлен степени n. Тогда
частное решение y (x)		может быть найдено в виде y (x) = xs Qn (x)eαx ,
где Qn (x) - многочлен степени			n, s –	кратность корня	λ =α в
характеристическом уравнении.			(Если	λ =α не является	корнем
характеристического уравнения, то полагаем s=0.)
2. Пусть	f ( x) = Pm ( x)eαx sin βx + Qm		( x)eαx cos βx , где Pm ( x), Qm		( x) -
	1		2	1	2

многочлены степени m1 , m2 соответственно. Тогда частное решение может быть найдено в виде

y ( x) = x s [Tn ( x)eαx sin βx + Rn ( x)eαx cos βx ], где Tn (x), Rn (x) -

многочлены степени n, n - наибольшее из m1 и m2 , s – кратность

корня α+βi в характеристическом уравнении.

Задача 18. Найти общее решение дифференциального уравнения

y′′′−3y′′+ 2 y′ = (1 −2x)ex .

Вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y0 (x) . Составляем характеристическое уравнение

λ3 − 3 λ2 + 2 λ = 0 . Найдем его корни: λ3 − 3 λ2 + 2 λ = 0 ;

λ (λ − 1)( λ − 2 ) = 0 ; λ1 = 0 , λ 2 = 1, λ 3 = 2 .

Общее решение однородного уравнения запишется в виде: y0 (x) = C1 +C2 ex +C3e2 x .

Исходное уравнение имеет правую часть первого типа: α =1, Pn (x) =1 −2x , n=1. Число α=1 один раз встречается среди корней

характеристического уравнения, значит кратность s=1. Будем искать y (x) в виде y (x) = xQ1 (x)ex , где Q1 (x) - многочлен первой степени. Тогда y (x) = x( Ax + B)ex . Коэффициенты А и В определим из условия,

чтобы частное решение удовлетворяло исходному уравнению.

Найдем dy , d 2 y , d 3 y : dy = (2Ax + B)ex +( Ax2 + Bx)ex ; dx dx2 dx3 dx

d 2 y

= 2Aex

+ 2(2Ax + B)ex

+ ( Ax2

+ Bx)ex ;

dx2

d 3 y

= 6Aex

+3(2Ax + B)ex

+ ( Ax2

+ Bx)ex .

dx3

d 2 y

d 3 y

Подставляя

в исходное уравнение, получаем:

dx2

dx3

−3[2A + 2(2Ax + B) + ( Ax2 + Bx)]ex +

[6A +3(2Ax + B) + ( Ax2 + Bx)]ex

+ 2[(2Ax + B) + ( Ax2 + Bx)]ex = (1 − 2x)ex .

Сокращаем правую и левую части на ex и приводим подобные в

левой части: − 2Ax + B = −2x +1.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в

правой и левой частях, получаем: − 2A = −2, B =1. Следовательно А=1,

В=1. Тогда частное решение запишется в виде y (x) = x(x +1)ex .

Следовательно, общее решение исходного уравнения равно:

y = y + y0 = x(x +1)ex + C1 +C2 ex +C3e2 x .

Задача 19. Найти общее решение дифференциального

уравнения

y′′−6 y′+8y =8x2 −12x +10.

Вначале найдем общее решение соответствующего

однородного уравнения

y0 (x) . Составляем характеристическое

уравнение λ2 −6λ +8 = 0 . Найдем его корни: λ2 −6λ +8 = 0 ;

(λ −2)(λ −4) = 0 ; λ1 = 2;λ2 = 4 .

Общее решение однородного уравнения запишется в виде:

y0 (x) = C1e2 x +C2e4 x .

Исходное уравнение имеет правую часть первого типа: α = 0, Pn (x) =8x2 −12x +10 , n = 2 . Число α = 0 не встречается среди корней характеристического уравнения, значит кратность s=0. Будем искать y (x) в виде y (x)=Q2 (x) , где Q2 (x) - многочлен второй степени. Тогда y (x) = Ax2 + Bx +C . Коэффициенты А , В и С определим из условия, чтобы частное решение удовлетворяло

исходному уравнению. Найдем dy , d 2 y : dy = 2Ax + B ;

dx dx2 dx

d 2 y = 2A. dx2

Подставляя dy , d 2 y в исходное уравнение, получаем:

dx dx2

2A −6(2Ax + B) +8( Ax2 + Bx +C) =8x2 −12x +10.

Приводим подобные в левой части уравнения:

8Ax2 +(8B −12A)x +(8C −6B + 2A) =8x2 −12x +10..

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в

правой и левой частях, получаем:

8A =8;

8B −12A = −12; 8C −6B +2A =10.

Следовательно А=1, В=0, С=1. Тогда частное решение запишется в виде y (x) = x2 +1.

Следовательно, общее решение исходного уравнения равно:

y = y + y0 = x2 +1+C1e2 x +C2e4 x .

Задача 20. Найти общее решение дифференциального

уравнения

y′′′− y′ = 2x +cos x

Вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Составляем характеристическое уравнение: λ3 − λ = 0 . Найдем его корни: λ3 − λ = 0 ; λ (λ − 1)( λ + 1) = 0 ;

λ1 = 0 , λ2 = 1, λ3 = −1 .

Общее решение однородного уравнения запишется в виде: y0 (x) = C1 +C2 ex +C3e−x .

Найдем частное решение. Правую часть представим как сумму

двух функций f1 (x) и f2 (x) , где f1 (x) =2x, f2 (x) =cosx. Рассмотрим уравнение

y′′′− y′ = 2x .

Функция f1 (x) =2x соответствует правой части первого типа: α = 0 , Pn (x) = 2x , n=1. Число α=0 один раз встречается среди корней характеристического уравнения, значит кратность s=1. Будем искать y (x) в виде y1 (x) = xQ1 (x) , где Q1 (x) - многочлен первой степени. Тогда y1 (x) = x( Ax + B) . Коэффициенты А и В определим из условия, чтобы частное решение удовлетворяло исходному уравнению.

d 2 y

d 3 y

Найдем

dx2

dx3

= (2Ax + B) ;

d 2 y

= 2A ;

dx2

d 3 y

= 0 .

dx3

Подставляя

d 2 y

d 3 y

в исходное уравнение, получаем:

dx2

dx3

− 2Ax − B = 2x

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в

правой и левой частях, получаем: − 2A = 2, B = 0 . Следовательно

А=−1, В=0. Тогда частное решение запишется в виде y1 (x) = − x2 .

Рассмотрим уравнение y′′′− y′ = cos x .

Функция f2 (x) = cos x является правой частью второго типа.

Имеем Pm1 ( x) = 0, Qm2 ( x) =1 , m1 = 0, m2 = 0 , α=0, β=1. Число λ = i не является корнем характеристического уравнения, значит s = 0 .

Частное решение y2

(x)

ищем в виде y2

(x) = T 0 ( x ) six + Q 0 ( x ) sin x

, где T0 (x),Q0 (x) - многочлены нулевой степени, поскольку

наибольшее из чисел m1 и m2 равно нулю. Тогда

(x) = Asin x + B cos x

Найдем

dy2

d 2 y2

d 3 y2

dx2

dx3

dy2

= Acos x − B sin x ;

d 2 y2

= −Asin x − B cos x ;

dx2

d 3 y2

= −Acos x + B sin x .

dx3

Подставляя

dy2

d 2 y2

d 3 y2

в уравнение, получаем:

dx2

dx3

− Acos x + B sin x − Acos x + B sin x = cos x .

Приравнивая коэффициенты при синусах и косинусах в правой и левой частях уравнения, получаем: −2А=1, 2В=0. Следовательно

A = − 12 , B = 0 . Тогда y2 (x) = − 12 sin x . Тогда частное решение

y (x) исходного уравнения y (x) = y1 (x) + y2 (x) = − x2 − 12 sin x .

Общее решение уравнения равно

y = y + y0 = −x2 − 12 sin 2x +C1 +C2 ex +C3e−x .

7.Решение линейных неоднородных уравнений второго порядка методом вариации произвольных постоянных.

Пусть дано дифференциальное уравнение вида. y′′+ a1 (x) y′+ a2 (x) y = f (x) ,

где a1 (x), a2 (x), f (x) - известные функции. Пусть y1 и y2 являются линейно независимыми решениями однородного уравнения

y′′+ a1 (x) y′+ a2 (x) y = 0 . Тогда частное решение неоднородного уравнения может быть найдено в виде y = C1 (x) y1 +C2 (x) y2 , где функции C1 (x) и C2 (x) удовлетворяют системе уравнений:

C1′y1 +C2′y2 = 0,

C1′y1′ +C2′y2′ = f (x) .

Задача 21. Найти решение задачи Коши.

=1,

y′′+ y =

y′

sin x

Найдем решение однородного уравнения. Составляем характеристическое уравнение: λ 2 + 1 = 0 . Найдем его корни: λ = ±i . Однородное уравнение имеет два линейно независимых решения y1 = sin x и y2 = cos x . Частное решение y ищем в виде

y = C1 (x) sin x +C2 (x) cos x , где функции C1 (x) и C2 (x) удовлетворяют системе уравнений:

′sin x +C ′cos x = 0,

C1′ cos x −C2

′ sin x =

sin x

Решая систему, получаем: С1′= ctgx , C2′ = −1.

Находим C1

и C2 : C1 = ∫ctgxdx=lnsin x , C2 = −∫dx = −x .

Тогда y =sinxlnsinx −xcosx . Общее решение однородного

уравнения равно:

y =C1 sinx +C2 cosx .

Общее решение исходного уравнения запишется в виде:

y =sinxlnsinx −xcosx+ C1 sin x +C2 cosx

Из условия y

=1 получаем C1 =1. Найдем производную общего

решения: y ′ = cos x ln sin x + x sin

x + C1 cos x − C 2 sin x .

получаем:

−С2 =

, С2 = 0.

Из условия y′

Ответ: y =sinxlnsinx −xcosx +sinx.

Задача 22. Найти решение задачи Коши.

y′′+ 4 y = 4tg2x , y(0)= 0 , y′(0)= −2 .

Найдем решение однородного уравнения. Составляем

характеристическое уравнение: λ 2 + 4 = 0 . Найдем его корни: λ = ±2i . Однородное уравнение имеет два линейно независимых

решения y

= sin 2x и y

= cos 2x . Частное решение y ищем в

виде

y = C

(x)sin 2x +C (x)cos 2x , где функции C1 (x) и C2 (x)

удовлетворяют системе уравнений:

C ′sin 2x +C

′cos 2x = 0,

′

C ′2cos 2x −C

2sin 2x = 4tg2x .

Решая систему, получаем: С1′= 2sin 2x , C2′ = −

2sin2 2x

cos 2x

Находим C1 и C2 : C1 =∫2sin2xdx =−cos2x,

= −

2sin2 2x

dx . Для вычисления этого интеграла сделаем

∫ cos 2x

замену переменной t = sin 2x . Тогда dt = 2cos 2xdx ,

dx =

. Подставляя в выражение для интеграла, получаем

2cos 2x

∫

2sin 2x

dx = ∫

= ∫

dt =

cos 2x

cos

2cos

cos2 2x

= ∫

dt =∫

dt = ∫ −1−

dt =

(1−sin

2x)

−t

)

−1

= −t −

t −1

= −sin 2x −

sin 2x −1

t +1

sin 2x +1

Тогда

sin 2x −1

= −cos 2xsin 2x + sin 2x +

cos 2x =

sin 2x +1

sin 2x −1

cos 2x

sin 2x +1

Общее решение однородного уравнения равно:

y0 =C1 sin2x +C2 cos2x.

Общее решение исходного уравнения запишется в виде:

y= 1 ln sin 2x −1 cos 2x + C1 sin2x +C2 cos2x 2 sin 2x +1

Из условия y(0)= 0 получаем C2 = 0 . Найдем производную общего решения:

y′ =

2cos 2x

−

2cos 2x

cos 2x −ln

sin 2x −1

sin 2x +

sin 2x +1

sin 2x −1

sin 2x +1

+ 2C1 cos2x −2C2 sin2x.
Из условия y′(0)= −2 получаем: −2 = 2С , С = −1.
			1		1
Ответ: y =	1		sin 2x −1	cos 2x −sin 2x .
		ln
			sin 2x +1
2

Задача 23. Найти решение задачи Коши.

y′′− y′ =

, y (0)=1, y′(0)= 2 .

1+ex

Найдем решение однородного уравнения. Составляем

характеристическое уравнение: λ 2 − λ

0 . Найдем его корни:

λ1 = 0,λ2 =1.

Однородное уравнение имеет два линейно

независимых решения y

=1 и y

= ex

. Частное решение y ищем в

виде

(x)ex , где функции C (x) и C

y = C (x) +C

(x) удовлетворяют

системе уравнений:

′ex

C ′

= 0,

C2′ex =

+ex

′ = −

, C ′ =

Решая систему, получаем: C

+ex

+ex )ex

Находим

C и C

: C = −

∫

, C

. Для

∫(1+ex )ex

1+ex

вычисления первого интеграла сделаем замену переменной t = ex .

Тогда dt = exdx, dx = edtx . Подставляя в выражение для интеграла,

получаем

∫

= ∫

1+ex

t(1+t)

∫

−

dt = ln t −ln(1

+t) = x −ln(1+e

)

t +1

При вычислении второго интеграла сделаем аналогичную замену переменных.

∫(1+dxex )ex = ∫t2 (1dt+t) .

Разлагая на простейшие дроби, получаем

∫

= ∫

−

= −

−ln t +ln(t +1) =

(1+t)

t +1

= −

− x +ln(e x +1) .

Тогда y

= −x +ln(e

+1)

+ −

− x +ln(e

+1)

Общее решение однородного уравнения равно: y0 = C1 +C2ex . Общее решение исходного уравнения запишется в виде:

y = −x +ln(e x +1) +

−

− x +ln(e x +1)

ex +C +C

1 2

Из условия y (0)=1 получаем

C1 +C2 = 2 −2ln 2.

Найдем производную общего решения:

y′ = −1+

−1+

+ −

− x +ln(e

+1)

+C2ex .

Из условия y′(0)= 2 получаем: С2

= 3 −ln 2 . Следовательно

С1 = −1−ln 2.

Тогда y = −x +ln(e x +1) +

−

− x +ln(e x +1) ex −

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дифференциальные уравнения

#
09.04.20151.08 Mб86МАТАН: Дифференциальные уравнения.pdf
#
15.03.2016492.9 Кб15Матан_Дифф_Уравн.pdf