математика Раздел1 практика

I Элементы линейной и векторной алгебры и аналитической геометрии

Тема 1.1 Вычисление определителей 2-го, 3-го и 4-го порядков.

Определитель 2 – го порядка
		Произведение				Определитель 3 – го порядка,
	элементов по главной					по правилу треугольника
		диагонали

Произведение элементов по побочной диагонали

Образцы решения задач:

ПРИМЕР Вычислить определитель 2-го порядка

2 3

1 4

РЕШЕНИЕ: Вычисление определителя 2-го порядка проводится по схеме, представленной в таблице 1:

	a	b	a d b c , поэтому для нашей задачи имеем:
	c	d
					3		2 4 3 ( 1) 8 3 11.
				2
				1	4

ПРИМЕР Вычислить определитель 3-го порядка, пользуясь правилом треугольника

2 3 1

0 2 1

3 1 0

РЕШЕНИЕ: Вычисление определителя 3-го порядка по правилу треугольника проводится по схеме, приведенной в таблице выше.

В нашем случае, имеем:

2	3	1
0	2	1	2 2 0 0 1 ( 1) 3 1 3 (3 2 ( 1) 1 1 2 0 3 0)
3	1	0
0	0	9	6	2	0	13
						1

Задания для решения:

1. Вычислить определители второго порядка:

а)	1			2
			3	4
								,
		x	xy
б)
		1	y			,
в)		cos						sin
			sin					cos
										.

2. Вычислить определители третьего порядка:

		3	2	1
а)		2	5	3
		3	4	2	,
			2	3
		1
б)		4	5	6
		7	8	9	,
	1		1	1
в)	1		2	3

13 6 .

3.Решить уравнения, воспользовавшись правилом нахождения определителя 2-го порядка:

а)		2x	3	3			0
		x	5	2			,
б)		x	3	x	1
							0
		7	x	x	1		.

Тема 1.2 Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.

Правило Крамера:

Пусть дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

a11x1	a12x2	a13x3	b1
a 21x1	a 22x2	a 23x3	b2	(1.2.1)
a31x1	a32x2	a33x3	b3

2

	a11	a12	a13
Обозначим через	a 21	a 22	a 23 – главный определитель системы.

a31 a32 a33

Если 0 , то система (1.2.1) имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

x

x1

, x

x 2

,

x

x 3

(1.2.2)

1

2

3

b1

a12

a13

a11

b1

a13

a11

a12

b1

где x

1

b2

a22

a23

; x

2

a21

b2

a23

;

x

3

a 21

a 22

b2

.

b3

a32

a33

a31

b3

a33

a31

a32

b3

Образцы решения задач:

ПРИМЕР. Дана система линейных уравнений:

х1 х2 х3 4,

х1 2х2 4х3 4, х1 3х2 9х3 2.

Доказать совместность системы и решить ее по формулам Крамера. РЕШЕНИЕ: Совместность данной системы докажем используя теорему Крамера, а именно: если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение.

1	1	1
1	2	4	18+ 3 + 4 -2 -12 – 9= 2 0 .
1	3	9

Решим систему уравнений по формулам Крамера. Вычислим определители

х1 , х 2 ,					х 3 .
				1		1				1		4		1				1	1		4
		4
х1		4 2 4					4 ;	х 2		1 4				4	6 ;	х 3		1 2 4					-2 .
		2		3		9				1		2		9				1	3		2
По формулам Крамера получаем:
х1	х1			4		2;		х2	х 2			6			3;	х3		х 3			2			1.
				2								2									2
Таким образом, тройка чисел 2; 3;												1			является решением системы.

ПРИМЕР. Дана система линейных уравнений

3

х1

х2 х3

1,

8х1

3х2

6х3

2,

4х1

х2

3х3

3.

Доказать ее совместность и решить

тремя способами методом Гаусса.

РЕШЕНИЕ: Решим систему уравнений методом Гаусса.

Первое уравнение системы умножим на ( 8) и сложим

х1

х2

х3

1,

со вторым уравнением, результат сложения запишем

вторым

уравнением в новой системе. Затем первое

8х1

3х2

6х3

2,

уравнение системы умножим на 4 и сложим с третьим

4х1

х2

3х3

3,

уравнением системы, результат запишем третьим

уравнением .

х1

х2

х3

1,

Умножим второе уравнение системы на 3, а третье

уравнение на ( 5) и сложим, результат запишем

5х2

2х3

6,

третьим уравнением эквивалентно преобразованной

3х2

х3

1,

системы.

х1

х2

х3

1,

х1

1

х2

х3 ,

1

5х2

2х3

6,

х2

( 6 2х3 ) ,

5

х3

13,

х3

13.

Ответ:

х1

8,

х2

4,

х3

13.

Задания для решения:

1. Доказать соместность систем и решить их по правилу Крамера:

а)	x1	x2	4,
	2x1	x2	5.

x1 2x2 3x3 3, б) 2x1 6x2 4x3 6,

3x1 10x2 8x3 21.

2. Найти решения линейной системы уравнений, используя метод Гаусса:

x 2y 3z 5, а) 4x 5y 6z 8,

7x

8y

2.

x1 2x2 3x3 0, б) 4x1 5x2 6x3 0,

7x1 8x2 9x3 0.

4

Тема 1.3 Действие над матрицами. Нахождение обратной матрицы. Решение систем линейных уравнений матричным методом.

Матрицы. Действия над матрицами.

Матрицей называется прямоугольная таблица, содержащая m n чисел, расположенных в m строк и n столбцов

a11 a12 a13 a1n
a21	a22 a23 a2n		или сокращенно A (aij ) , где i					1, m – номер строки,
A
am1 am2 am3 am n
				j 1, n – номер столбца.
Сложение матриц				Умножение			Умножение матриц
Операция		сложения		матрицы на число			Операция		умножения		двух
матриц		вводится		Чтобы	умножить		матриц вводится только для
только	для	матриц		матрицу	на	число	случая,		когда		число
одинакового размера				необходимо каждый			столбцов		первой	матрицы
+				элемент	матрицы		равно	числу строк второй
				умножить на это матрицы.
				число
Минором	какого-либо			элемента		Алгебраическим дополнением
определителя				называется		элемента аi j называется его минор,
определитель,		полученный			из	взятый со знаком (–1)i + j
данного вычеркиванием той строки и							Aij	(	1)i j M ij
того столбца, которым принадлежит						Определитель			равен		сумме
данный элемент
						произведений		элементов			любой
						строки	(столбца)			на	их
						алгебраические дополнения.
		Минор элемента определител

Образцы решения задач:

ПРИМЕР. Вычислить определитель 3-го порядка методом разложения по элементам второй строки

.

5

РЕШЕНИЕ: Вычисление определителя 3-го порядка методом разложения по элементам второй строки проводится по следующей формуле:

	a11	a12	a13
	a21	a22	a23	a21 A21 a22	A22 a23 A23 ,
	a31	a32	a33
где		Aij —	алгебраические		дополнения элементов aij в данном

определителе:

A	( 1)i j M	ij	, а	M	ij	— миноры, соответствующие элементам	a	ij
ij

определителя, которые являются определителями второго порядка, получаемые из данного определителя путем вычеркивания строки i и столбца j.

Следовательно, мы имеем:

ПРИМЕР. Найти произведение двух матриц A и B, если

.

РЕШЕНИЕ: Операция умножения двух матриц вводится только для случая,

когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Рассмотрим на примере:

В нашем случае имеем:

6

ПРИМЕР. Найти матрицу , обратную для матрицы A, где

.

РЕШЕНИЕ: Обратная матрица находится по следующей формуле:

, где союзная матрица к матрице , а

определитель, составленный из элементов данной матрицы. Подставляя, получаем: . В нашем случае:

1. Находим определитель данной матрицы:

, следовательно

обратная матрица существует.

2. Находим союзную матрицу к матрице , т.е. . Для этого найдем алгебраические дополнения элементов в данной матрице.

;	;
;	.

Получаем:

Подставляем полученные результаты в формулу и находим обратную матрицу : .

Решим систему линейных уравнений матричным методом. Обозначим:

1

1

1

х1

4

А = 1 2 4

;

Х = х2 ;

В = 4 .

1

3

9

х3

2

Тогда данную систему можно записать в виде:

АХ

В ,откуда

Х А 1В ,

где

А 1–

обратная матрица. Найдем

А 1,

зная, что

A11

A21

A31

А 1

=

1

A

A

A

,

где

А

-

алгебраические

дополнения

det A

12

22

32

ij

A13

A23

A33

элементов аij матрицы А.

Аij

( 1)i

j Mij ,

где

M ij - миноры элементов аij

матрицы А.

7

	1	1	1
det A =	1	2	4	= 2 .
	1	3	9

Так как det A						0 , то существует обратная матрица.
А11 =			(-1)1+1					4		18			2	6 ;		А12 =				-5 ;	А13	=	1 ;
					2
					3			9
А21	=		(-1)2+1					1			(9			3)	6 ;	А22			=	8;	А23	=	-2 ;
						1
						3		9
А31	=		(-1)3+1					1				4	2	2		А32			=	-3;	А33	=	1 ;
						1
						2		4
			6	6				2
А-1 =		1	5	8				3	;
	2		1	2				1
				1				6	6				2		4		1			24	24	4		1		4
Х А 1В =								5 8					3		4	=				20 32		6	=			6 =
				2				1	2				1		2	2				4	8	2		2		2
2
= 3 .
	1
Таким образом ,								х1 = 2;					х2 = 3;		х3 = -1.
Проверим правильность													вычисления			обратной					матрицы,			используя

матричное умножение, т.е. А А-1 = А-1 А = Е .

	1			1	1					6	6		2
	1			2	4		1			5	8		3	=
							2
	1			3	9					1	2		1
			6	5		1				6	8	2		2	3	1			2	0	0
=	1		6	10 4						6 16 8				2 6 4			=	1	0	2 0		=
	2																	2
			6	15		9	2			6	24		18	2	9	9			0	0	2
	1			0	0
= 0			1		0		= Е .
	0			0	1
Аналогично доказывается,													что	А-1 А = Е. Значит А-1,								найдена верно.
		Ответ:			2;		3;			1 .

Задания для решения:

8

A B , где

1. Найти линенйные комбинации матриц:

а) 3A 2B , б) 2B 5A ,

в)

A	1	2	, B	0	1 .
	3	4		1	2

2. Для матрицы А, найти ей обратную:

а) A	1	2	,
	3	4
	1		2	0
б) A	3		5	7 .

4 1 2

3. Вычислить определить 3-го порядка разложением по какойнибудь строке или столбцу:

2 0 3 а) 7 1 6 ,

6 0 5

0 a 0 б) b c d .

0 c 0

4. Решить системы уравнений матричным методом:

	x1	2x2	3x3	6,
а)	4x1	5x2	6x3	9,
	7x1	8x2		6.
б)	x1	x2	1,
	2x1	x2	7.

9

Тема 1.4 Векторы. Линейные операции над векторами. Координаты

вектора. Линейные операции над векторами в координатной форме.

Скалярное произведение векторов, и его приложения.

Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение

векторов.

Вектор - это

Сложение векторов

Проекция вектора на ось

В

правило

правило

В

ный

треугольника

параллелограмма

b

н

е

ок

Ра

вл

вные

а

трез

b

А

пр

векто

На

о

ра

a

е

a

ы

α

н

р

L

а

не

а

и

А

л

р

л

то

B1

Ко

ек

A1

в

Проекция вектора

на ось

Координаты

Скалярным

произведением

a

b

двух

ненулевых

векторов

a

и

вектора AB

(x 2

x1; y2

y1; z2

z1 )

b называется

число,

равное

произведению длин этих векторов на

Длина вектора

косинус угла между ними

AB

x2

x1

2

y2

y1

2

z2

z1

2

a

b

a b cos

,

(1.4.1)

где

– угол между векторами

и

или

a

X 2

Y 2

Z 2

b .

a

Скалярное

произведение

двух

векторов

в

координатной

форме

z

равно

сумме

произведений

B(x2; y2; z2)

соответствующих

координат

этих

векторов, т. е.

a

(

x

A(x1; y1; z1)

a

b =x1 x2+ y1

y2+ z1

z2, тогда

;

y

;

x1

x 2

y1 y2 z1 z 2

z

a b

)

y

cos

x 2 y2

z 2

x 2

y2

2

a b

z

1

1

1

2

2

2

Линейные операции над векторами

x

в координатной форме

Пусть в системе координат Оху даны

векторы a =(x1 ; y1

; z1), b =(x2; y2 ; z2)

Тогда:

a b = (x1+ x2; y1 + y2; z1 + z2).

a b = (x1–x2; y1 –y2; z1 – z2 ).

a = ( х1; у1; z1)

10