ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования "МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОДОВОЛЬСТВИЯ"

КАФЕДРА "ФИЗИКА"

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ ШАРОВ

Методические указания

к выполнению лабораторной работы N 8 по разделу «МЕХАНИКА» курса общей физики

для студентов всех специальностей

Могилев 2007

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

УДК 539.1

ББК

П

Рассмотрены и утверждены на заседании кафедры " физики протокол № 4 от 20.12.2007

Составитель к. филос. н., доц. Спасков А. Н..

Рецензент к. ф.- м. н., доц. Скапцов А. С.

Аннотация

© УО «Могилевский государственный университет продовольствия», 2007

2

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ ШАРОВ

Цель работы: исследование столкновений тел; проверка закона сохранения импульса (количества движения); нахождение коэффициентов восстановления скорости и потери механической энергии.

Приборы и принадлежности: специальная установка, ящик с шарами, масштабная линейка.

Теоретическое введение

Основными свойствами материальных точек (тел) является инертность и способность к взаимодействию. Благодаря этим свойствам множество материальных тел можно рассматривать как единое целое. Совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое, называется

механической системой.

При движении механической системы существуют такие функции времени и координат, которые сохраняют при движении постоянные значения, зависящие только от начальных условий. К ним относятся энергия, импульс, момент импульса. Законы сохранения этих величин следуют непосредственно из однородности времени, однородности и изотропности пространства.

Импульсом (количеством движения) материальной точки называется векторная величина

p = mv ,

численно равная произведению массы материальной точки на её скорость и имеющая направление скорости.

Согласно второму закону Ньютона за меру интенсивности взаимодействия материальных точек принята производная импульса по времени:

	dp	r
		= F .	(1)
	dt

Векторная величина F называется силой. В общем случае материальная точка (тело) может одновременно участвовать в нескольких взаимодействиях. При этом на материальную точку действуют одновременно несколько сил, действие которых независимы друг от друга, а

результат действия для каждой из них определяется по второму закону

3

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Ньютона. Поэтому, величина F в общем случае определяется как суммарный результат действия всех сил и называется результирующей силой:

F = F1 + F2 + ... + Fn .

Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называются внутренними. Силы, с которыми на материальные системы действуют внешние тела, называются внешними. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой (или изолированной). Так называют систему тел, настолько удалённых от всех остальных тел, что они практически не оказывают никакого действия на рассматриваемую систему. Тела системы могут взаимодействовать только между собой.

Как видно из выражения (1), в отсутствии сил, либо в случае равенства нулю результирующей силы (т. е. когда действие всех внешних сил компенсируется), импульс тела будет сохраняться. Этот вывод можно распространить на замкнутую систему тел. При этом из третьего закона Ньютона следует, что геометрическая сумма внутренних сил механической системы равна нулю.

Таким образом, импульс замкнутой системы материальных точек

сохраняется, т.е. остаётся постоянным во времени, каково бы ни было взаимодействие материальных точек системы между собой.

Это положение называется законом сохранения импульса. Из этого закона следует, что взаимодействие тел, составляющих замкнутую систему, приводит только к обмену импульсом между этими телами, но не может изменить общего импульса системы как целого.

Для любых без исключения процессов справедлив общефизический закон сохранения энергии. Согласно этому закону энергия никогда не

создаётся и не уничтожается, она может только переходить из одной формы в другую.

При решении многих задач в механике закон сохранения энергии применяют совместно с законом сохранения импульса. Классическим

примером применения обоих законов сохранения является задача о столкновении тел. Взаимодействие между телами, в этом случае, происходит в течение короткого промежутка времени. При таких кратковременных взаимодействиях возникающие внутренние силы настолько велики, что значительно превосходят внешние, и поэтому соударяющиеся тела можно считать замкнутой механической системой.

Столкновением называется взаимодействие двух или более материальных частиц, которое происходит в относительно малой области пространства в течение относительно малого промежутка времени, так что

состояние объектов вне этой области пространства и вне этого промежутка времени можно считать начальным и конечным, то есть состояниями, в которых они не взаимодействуют.

4

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Сталкивающимися телами могут быть и бильярдные шары, и молекулы, и элементарные частицы, т.к. законы сохранения импульса и энергии справедливы не только в классической, но и в квантовой физике. Столкновениями объясняется механизм многих явлений. Такие процессы, как теплопроводность газов, диффузия, способность газов оказывать сопротивление движущимся в них телам, определяются столкновениями молекул друг с другом и с окружающими телами. Химические реакции в веществах, находящихся в газообразном состоянии, происходят также вследствие столкновения молекул. Столкновением электронов с узлами кристаллической решетки, объясняется свойство электрической проводимости тел.

Различаются два вида столкновений. Упругими называются столкновения, в результате которых суммарная механическая энергия тел не изменяется. Если этого не происходит, то столкновения называют

неупругими.

В общем случае закон сохранения импульса для системы всех тел, участвующих в столкновении, имеет вид:

					P = P′ ,	(2)
где		r	r	r	- импульс системы	тел до столкновения,
	P = m1v1		+ m2v2	+ ... + mn vn
	r	r		r

P′ = m1v1′ + m2v2′ + ... + mk vk′ - импульс системы тел после столкновения.

Так как взаимодействие тел до и после столкновения пренебрежимо мало, то потенциальную энергию их взаимодействия можно не учитывать. В

процессе столкновения кинетическая энергия тел полностью или частично может превращаться во внутреннюю энергию, в результате чего происходит нагревание сталкивающихся тел. Поэтому, общий закон сохранения кинетической и внутренней энергии тел следует записывать в виде:

Eкин	+ U = Eкин	+ U	.	(3)
	′	′

Здесь Eкин и U – кинетическая и внутренняя энергия системы тел до столкновения; E'кин и U' – кинетическая и внутренняя энергия системы тел после столкновения.

На установке, используемой в настоящей лабораторной работе, можно

проверить справедливость закона сохранения импульса при упругом центральном ударе и неупругом центральном ударе двух шаров. Удар

называется центральным, если движение шаров до и после столкновения направлено вдоль прямой, соединяющей их центры масс.

Рассмотрим процесс столкновения двух стальных шаров, подвешенных на нитях одинаковой длины l .

5

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Если отклонить шар массой m1 на угол α0 и отпустить, то он, ударившись упруго о неподвижный шар массой m2, передаст ему часть своей энергии и импульса (рис.1). После удара шары отклоняются на углы α1 и α2, а их центры масс при этом поднимутся на высоты h1 и h2 по отношению к линии удара, т.е. кинетические энергии шаров, приобретенные ими после удара, перейдут в потенциалные.

х Рис.1

Запишем закон сохранения импульса для данной системы, беря проекции векторов на ось Х (при условии, что m1> m2):

m1υ1=m1u1+m2u2,

(4)

где υ1 - скорость первого шара до удара; u1 и u2 - скорости первого и второго шаров после удара.

Выберем за нулевой уровень отсчёта высоты центров масс шариков линию удара. Тогда, в соответствии с законом превращения механической энергии, потенциальная энергия, которой обладал шар массой m1 при отклонении на угол α0, переходит к моменту удара в кинетическую энергию.

Следовательно,

	m v2
m1gh0 =	1			1	,
	2
v1 =
		2gh0 .
откуда
В соответствии с рис.1 выразим h0:
h = l(1− cosα			0	) = 2l sin 2			α0
0				2

При малых углах отклонения маятников (α<100) sinα α (рад)

Тогда из (5) и (6) следует, что:

v1 = 2gl sin α20 glα0 .

6

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

(5)

(6)

(7)

Аналогично, используя закон превращения механической энергии для системы сталкивающихся шаров после удара, можно выразить скорости u1 и u2:

u = 2

sin

α1

α

,

(8)

gl

gl

1

1

2

u2 = 2

sin

α2

α2 .

(9)

gl

gl

2

Из уравнения (4) можно выразить u2

u	2	=	m1	(υ	1	− u ).	(10)
			m2			1

Подставив (7), (8), (9) в уравнение (10), получаем:

	α2	=	m1	(α0 − α1).	(11)
			m2

Вэтом выражении α0, α1 и α2 могут записываться как в радианах, так и

вградусах.

Закон сохранения импульса (4) определяет линейную зависимость между скоростями υ1, u1 и u2, а так как эти скорости линейно связаны с соответствующими углами (α0, α1 ,α2) - то и линейную зависимость между

углами α0, α1 , α2.

Поэтому, если график зависимости α2 от (α0 - α1), полученный экспериментально, окажется прямой (с учетом погрешности), то это будет свидетельствовать о выполнении закона сохранения импульса.

Реальные материалы (металлы, полимеры и т.п.) не являются абсолютно упругими веществами. При столкновении двух стальных шаров в

экспериментальных исследованиях закон сохранения механической энергии не выполняется, т. к. часть механической энергии переходит во внутреннюю энергию деформируемых тел, что вызывает их нагревание.

	В этом случае закон сохранения энергии будет иметь вид:
									m	1	υ2		m	1	u2		m	2	u2
											1	=			1	+			2	+ Q ,	(12)
										2				2				2
	m	1	υ2		m	1	u2
где			1	;			1	- кинетическая энергия первого шара до и после удара;
		2				2

m u2

2 2 - кинетическая энергия второго шара после удара; Q=U'-U - часть

2

7

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

механической энергии, которая переходит во внутреннюю энергию этих шаров после столкновения; U – внутренняя энергия шаров до удара, U' – внутренняя энергия шаров после удара.

Преобразуем уравнение (12):

m1υ12 − m1u12 = (m1υ1 − m1u1 )(υ1 + u1 ) = m2 u22 + 2Q.

(13)

	Используя (4) получаем, что:
			υ1 + u1	= u2 +	2Q	.		(14)
					m2u2
	Величину K =	u2 − u1	или, с	учётом (14), К=1-			2Q	называют
							m2u2υ1
		υ1

коэффициентом восстановления скорости. Она характеризует меру упругости тел при взаимодействии.

При абсолютно упругом столкновении Q=0 и, следовательно, К=1. Из уравнений (7), (8), (10) и (14) получаем:

α2- α1=К α0 ,

(15)

т.е. если закон сохранения импульса выполняется и в том случае, когда имеются потери механической энергии (неупругие столкновения), то в пределах погрешности измерений зависимость (α2-α1) от α0 должна быть линейной, а тангенс угла наклона определять значение К.

Q

Величина δ = называется коэффициентом потери механической

m1υ12

2

энергии при столкновении шаров.

Произведя преобразование выражения (14) с учетом (8) и (9), получаем:

α2	=			δ		m1	α0 .	(16)
		1
				− K m2
На основании экспериментальных данных в силу линейной
зависимости α2 от	α0			(15)		можно		определить коэффициент потери

механической энергии δ, определяя тангенс угла наклона полученного графика.

Рассмотрим частный случай неупругого столкновения, а именно: полностью неупругое столкновение, после которого скорости обоих соударяющихся тел оказываются одинаковыми. В этом случае при

8

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

деформации тел возникают силы, зависящие не от самих деформаций, а от их скоростей. Эти силы подобны силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии не соблюдается. Таким свойством обладают, например, пластилиновые тела. Вследствие деформации происходит "потеря" кинетической энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии.

Показать случай полностью неупругого столкновения можно при помощи шаров из пластилина, подвешенных на нитях длиной l (рис.2). Если отклонить шар массой m1 на угол α0 и отпустить, то после столкновения оба шара “слипаются” и дальше движутся вместе как одно целое с одинаковой скоростью. Из аддитивности масс следует, что масса тела, образовавшегося в результате “слипания” шаров, равна сумме их масс. Тогда закон сохранения импульса в проекциях на ось х можно записать в виде:

m1υ1 = (m1 + m2 )u12 ,

(17)

где υ1 - скорость первого шара до соударения; u12- скорость первого и второго шаров после соударения.

При малых углах отклонения первого шара аналогично (10) и (7) скорости υ1 и u12 определяются следующим образом:

х

	υ1 = 2			sin		α0				α0 ,
		gl						gl
						2
	u = 2				sin α						α .
			gl						gl
	12					2

Тогда (17) можно записать в виде:

9

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

	α =		m1	α0 .	(18)
		m1	+ m2

Вэтом выражении α0 и α могут быть представлены как в радианах, так

ив градусах. Таким образом, если график зависимости α от α0 в пределах погрешности измерений будет являться прямой, то это будет

свидетельствовать о выполнении закона сохранения импульса и при полностью неупругом столкновении тел.

Вслучае подобных столкновений, как видно из (14) при u1=u2=u12, величина потерь механической энергии будет максимальной (К=0)

Q = m2υ1u12 ,

2

а коэффициент потери механической энергии зависит только от соотношения масс сталкивающихся тел:

δ =	Q	=	m2
				.	(19)
	m1υ12		m1 + m2
	2

Описание экспериментальной установки

Общий вид установки показан на рис.3. Основание прибора 1 оснащено регулируемыми ножками 3, которые позволяют произвести горизонтальное выравнивание прибора. В основании закреплена вертикальная стойка 2, к которой крепятся верхний 4 и нижний 5 кронштейны.

Маятник левый 6 и правый 7 состоят из металлического (пластилинового) шара 8 с нониусом 9, закрепленного при помощи крючка 10, траверсы 11 и бифилярных подвесов на штанге 12.

На нижнем кронштейне закреплены левая 13 и правая 14 шкалы. Правая шкала служит для определения угла бросания шара, левая - для определения угла отскока после соударения.

Бифилярный подвес снабжен зажимным устройством 15, с помощью

которого поочередно осуществляются регулировка и фиксация выбранной длины нити подвеса.

Каждый шар снабжен устройством винт-гайка 16, при помощи которого можно в пределах 5-8 мм менять положение шара по вертикали за счет изменения положения крючка 10.

10

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com