2. Раскрытие неопределенностей

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя используется для раскрытия определённостей видаи

Правило Лопиталя

Если функциииудовлетворяют условиям теоремы Коши в некоторой окрестности точки, стремятся к 0 (или) прии существует, то существует такжеи эти пределы равны, т.е.

.

Это правило справедливо и при .

Пример. Найти .

Решение.Числитель и знаменатель этой дроби непрерывны, дифференцируемы и стремятся к нулю, значит можно применять правило Лопиталя:

.

Если частное вновь дает в предельной точке неопределенностьилии функциииудовлетворяют условиям теоремы Коши, то можно перейти к отношению вторых производных и т.д.

Пример.Найти

Решение. Числитель и знаменатель дроби удовлетворяют условиям теоремы Коши в окрестности точки , поэтому применяем правило Лопиталя.

Правило Лопиталя можно применять и для раскрытия неопределенностей вида

, ,,,,однако для этого необходимо предварительно преобразовать исходное выражение, получив в результате неопределенность или.

Рассмотрим некоторые способы такого преобразования.

1 Неопределенности вида получается из произведения функций, в котороми. Это произведениелегко преобразуется в частное видаили, что дает неопределенность видаили.

Пример. Найти .

Решение.

2. Неопределенность вида получается из разности функций, в которойи. Эта разность преобразуется в частное следующим образом

.

Пример. Найти .

Решение.

3. Рассмотрим функцию вида .

а) если ,, то имеем неопределенность вида;

б) если ,, приходим к неопределенности вида;

в) если ,, получаем неопределенности вида.

Для раскрытия таких неопределенностей исходное выражение предварительно логарифмируют по основанию е. Пусть

, тогда

.

Пример. Найти .

Решение.

Обозначим искомый предел через А, тогда

.

Итак .

Задание 12.

Вычислить пределы, используя правило Лопиталя

Вариант 1	Вариант 2
1)	1)
2)	2)
3)	3)
4)	4)
5)	5)
6)	6)
Вариант 3	Вариант 4
1)	1)
2)	2)
3)	3)
4)	4)
5)	5)
6)	6)

Вариант 5	Вариант 6
1)	1)
2)	2)
3)	3)
4)	4)
5)	5)
6)	6)
Вариант 7	Вариант 8
1)	1)
2)	2)
3)	3)
4)	4)
5).	5)
6)	6)
Вариант 9	Вариант 10
1)	1)
2)	2)
3)	3)
4)	4)
5)	5)
6)	6)
Вариант 11	Вариант 12
1)	1)
2)	2)
3)	3)
4)	4)
5)	5)
6)	6)
Вариант 13	Вариант 14
1)	1)
2)	2)
3)	3)
4)	4)
5)	5)
6)	6)
Вариант 15	Вариант 16
1)	1)
2)	2)
3)	3)
4)	4)
5)	5)
6)	6)
Вариант 17	Вариант 18.
1)	1)
2)	2)
3)	3)
4)	4)
5)	5)
6)	6)
Вариант 19.	Вариант 20.
1)	1)
2)	2)
3)	3)
4)	4)
5)	5)
6)	6)
Вариант 21.	Вариант 22.
1)	1)
2)	2)
3)	3)
4)	4)
5)	5)
6)	6)
Вариант 23	Вариант 24.
1)	1)
2)	2)
3)	3)
4)	4)
5)	5)
6)	6)
Вариант 25	Вариант 26.
1)	1)
2)	2)
3)	3)
4)	4)
5)	5)
6)	6)
Вариант 27.	Вариант 28
1)	1)
2)	2)
3)	3)
4)	4)
5)	5)
6)	6)
Вариант 29.	Вариант 30.
1)	1)
2)	2)
3)	3)
4)	4)
5)	5)
6)	6)