Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования

Самарский государственный университет путей сообщения

Кафедра «Высшая математика»

Ю.В. Гуменникова, О.Е. Лаврусь, Р.Н. Хайруллина

Функции. Пределы. Непрерывность функции

Сборник

индивидуальных заданий по высшей математике

для студентов всех специальностей очной формы обучения

Самара 2013

УДК 512

Функции. Пределы. Непрерывность функции: сборник индивидуальных заданий по высшей математике для студентов всех специальностей очной формы обучения / сост. Ю.В. Гуменникова, О.Е. Лаврусь, Р.Н. Хайруллина. - Самара: СамГУПС, 2013. – 48 с.

Утвержден на заседании кафедры «Высшая математика» 5.12.2012, протокол № 3.

Печатается по решению редакционно-издательского совета университета.

Сборник составлен в соответствии с Государственным образовательным стандартом и типовой программой по высшей математике и охватывает раздел общего курса: дифференциальное исчисление.

Предназначен для студентов всех специальностей.

Составители: к.ф.-м.н., доцент Юлия Валерьевна Гуменникова,

д.т.н., доцент Ольга Евгеньевна Лаврусь

преподаватель Рузиля Нябиулловна Хайруллина

Рецензенты: д.ф.-м.н., доцент кафедры «Алгебра и геометрия» СамГУ

Г.В. Воскресенская,

к.ф.-м.н., доцент кафедры «высшая математика» СамГУПС

Л.В. Кайдалова

Под редакцией составителей

Подписано в печать ________. Формат .

Усл. п.л. 3,1. Тираж ____ экз. Заказ № __.

© Самарский государственный университет путей сообщения, 2013

Содержание

Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования 1

Содержание 3

1. Исследование функций 4

Общие свойства функций 4

Область определения и область значений функции 4

Четность и нечетность функций 4

Периодичность функций 5

Простейшие преобразования графиков 5

АЗ-1 7

ИДЗ-1 8

Решение типового варианта 11

Теоремы о пределах 14

АЗ-2 14

ИДЗ-2 15

Решение типового варианта 28

1. Исследование функций

Общие свойства функций

Область определения и область значений функции

Если каждому элементу по определенному правилупоставлен в соответствие единственный элемент, то говорят, что заданафункция , гдех называется независимой переменной или аргументом.

Множество всех значений аргумента х для которых функция определена (существует) называется ее областью определения и обозначается буквой D.

Множество значений, принимаемых функций y, называется областью ее значений и обозначается буквой Е.

Четность и нечетность функций

Функция называетсячетной, если для любого значения х из области определения выполняется равенство:

.

График четной функции симметричен относительно оси Оy.

Примеры четных функций:

,

,

.

Функция называетсянечетной, если для любого х из области определения выполняется:

.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат О(0;0).

Примеры нечетных функций

,

,

.

При построении графиков четных и нечетных функций достаточно построить только правую ветвь графика для , а левую достроить симметрично оси ординат для четной функции или симметрично начала координат для нечетной.

Заметим, что произведение двух четных или двух нечетных функций есть функция четная, а произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.