§ 1. Непосредственное интегрирование
Этот метод применяется в тех случаях, когда используются непосредственно табличные интегралы: либо после алгебраических преобразований, либо после применения известных формул сокращенного умножения, либо при использовании тригонометрических преобразований подынтегрального выражения. Поэтому уместно привести некоторые из перечисленных преобразований:
Формулы сокращенного умножения
;
;
.
Некоторые тригонометрические преобразования
;
;
;
;
;
;
;
Действия со степенями
-
;
;
;
;
.
Пример.
Найти указанные интегралы. В первых двух задачах результаты проверить дифференцированием
Преобразуем подынтегральное выражение, т.е. сначала разделим числитель почленно на знаменатель, а затем применим свойство степеней:
Теперь используя свойства неопределенного интеграла, получим
Это явно табличные интегралы, которые представлены формулами 2) и 3), следовательно
,
после несложных преобразований получим окончательно
.
Проверим данный результат дифференцированием
,
т.е. интегрирование проведено правильно.
Используя формулу возведения в квадрат, получим
,
опять используя свойства интеграла, запишем
Проверим результат дифференцированием
интегрирование проведено правильно.
Перемножим многочлены
.
Согласно свойствам неопределенного интеграла, получим
.
.
.
.
Задание 1
Найти неопределенные интегралы, применив непосредственное интегрирование. Результат первого интеграла проверить дифференцированием.
Вариант 1.
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
;
.Вариант 2.
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
;
.
Вариант 3.
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
;
.
Вариант 4.
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
;
.
Вариант 5.
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
;
.
Вариант 6.
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
;
.
Вариант 7.
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
;
.
Вариант 8.
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
;
.Вариант 9.
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
;
.
Вариант 10.
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
;
.
Вариант 11.
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
;
.
Вариант 12.
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
;
.
Вариант 13.
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
;
.
Вариант 14.
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
;
.
Вариант 15.
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
;
.
Вариант 16.
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
;
.
Вариант 17.
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
;
.
Вариант 18.
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
;
.
Вариант 19.
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
;
.Вариант 20.
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
;
.
Вариант 21.
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
;
.
Вариант 22.
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
;
.
Вариант 23.
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
;
.
Вариант 24.
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
;
.
Вариант 25.
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
;
.
Вариант 26.
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
;
.
Вариант 27.
|
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
.
Вариант 28
|
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
.
Вариант 29
|
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
.
Вариант 30.
|
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
.§ 2. Интегрирование заменой переменной (подстановкой)
Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов
1)
,
где
- новая переменная.
Формула замены переменной при такой подстановке
.
2)
,
где
- монотонная, непрерывно дифференцируемая
функция новой переменной
.
Формула замены переменной в этом случае
имеет вид
.
Согласно этим подстановкам интегралы приводятся к табличным.
Примеры.
Найти
.
Решение:
примем за новую переменную
тогда, согласно формуле
получим
;
т.е.
и интеграл примет вид
.
Вернем
к старой переменной,
.
Найти:
Решение:
примем за новую переменную
;
тогда
.
Отсюда
;
,
подставим в интеграл
.
Задание 2
Найти интегралы с помощью замены переменной.
Вариант 1
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 2
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 3
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 4
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 5
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 6
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 7
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 8
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 9
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 10
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 11
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 12
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 13
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 14
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 15
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 16
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 17
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 18
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 19
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 20
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 21
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 22
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 23
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 24
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 25
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 26
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 27
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 28
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 29
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 30
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
