§3. Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

, (1)

где u=φ(x), v=f(x) – непрерывно дифференцируемые функции от x.

С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к отысканию другого более простого интеграла .

При этом за u берётся такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv- та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть легко вычислен.

Так например, для интегралов вида (назовём их первой группой):

где Р(х) – многочлен, a – постоянная, за u принимают P(x), а за dv – соответственно выражения dx; sinaxdx; cosaxdx.

Для интегралов вида (назовём их второй группой):

за u принимают соответственно функции lnax; arcsinax; arcosax; arctgax; arcctgax; а за dv – выражение P(x)dx.

Можно отметить, что формулу интегрирования по частям в некоторых случаях необходимо применять несколько раз.

Пример.

Найти интеграл

Решение: Данный интеграл относится к первой группе интегралов, когда применяется формула интегрирования по частям.

Значит u = а dv = cosx dx, тогда du = ,

v =

Так как С – произвольная постоянная, в данном случае примем С = 0.

Итак, согласно формуле (1) получим

как видно, оставшийся интеграл тоже относится к первой группе интегралов, снова применяется формула интегрирования по частям. Т.е. u=x; du=dx; dv=sinx∙dx; v= - cosx.

Получим

Пример.

Найти интеграл

Решение: Этот интеграл относится к интегралам второй группы и тогда

,

du=dx=

dv=dx; v=x

получим, согласно формуле (1):

Пример.

Найти интеграл

=∙cos x - ∙cos x +

Получим интеграл справа, такой же как слева, перенесём его влево, т.е.

Тогда .

Задание 3

Проинтегрировать по частям:

Вариант 1	Вариант 2
Вариант 3	Вариант 4
Вариант 5 1) 2) 3) 4) 5)	Вариант 6 1) 2) 3) 4) 5)
Вариант 7 1) 2) 3) 4) 5)	Вариант 8 1) 2) 3) 4) 5)
Вариант 9 1) 2) 3) 4) 5)	Вариант 10 1) 2) 3) 4) 5)
Вариант 11 1) 2) 3) 4) 5)	Вариант 12 1) 2) 3) 4) 5)
Вариант 13 1) 2) 3) 4) 5)	Вариант 14 1) 2) 3) 4) 5)
Вариант 15 1) 2) 3) 4) 5)	Вариант 16 1) 2) 3) 4) 5)
Вариант 17 1) 2) 3) 4) 5)	Вариант 18 1) 2) 3) 4) 5)
Вариант 19 1) 2) 3) 4) 5)	Вариант 20 1) 2) 3) 4) 5)
Вариант 21 1) 2) 3) 4) 5)	Вариант 22 1) 2) 3) 4) 5)
Вариант 23 1) 2) 3) 4) 5)	Вариант 24 1) 2) 3) 4) 5)
Вариант 25 1) 2) 3) 4) 5)	Вариант 26 1) 2) 3) 4) 5)
Вариант 27 1) 2) 3) 4) 5)	Вариант 28 1) 2) 3) 4) 5)
Вариант 29 1) 2) 3) 4) 5)	Вариант 30 1) 2) 3) 4) 5)