- •Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
- •Неопределенный интеграл
- •2 008
- •§ 1. Непосредственное интегрирование
- •Вариант 1.
- •§3. Интегрирование по частям
- •§4. Интегрирование функций, содержащих квадратный трёхчлен
- •§5. Интегрирование рациональных функций с помощью разложения на простейшие дроби. (Метод неопределённых коэффициентов)
- •§ 6 Интегрирования некоторых тригонометрических функций
- •§7. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Вариант 1
§4. Интегрирование функций, содержащих квадратный трёхчлен
Рассмотрим интегралы или . В знаменателе находится квадратный трёхчлен, с отрицательным дискриминантом, который не имеет корней и на множителе не раскладывается.
Такие интегралы с помощью выделения полного квадрата приводятся к табличным интеграла вида: , , .
Пример.
Найти интеграл .
Решение: Найдём дискриминант знаменателя
D=9-4*2*4=-23<0 – следовательно действительных корней нет.
Вынесем 2 за знак интеграла, получим
.
Выделим полный квадрат
-+=
Это табличный интеграл вида =∙arctg + c
u = x + ; du=dx
И согласно формуле (16)
I =( ∙ arctg )+С.
Ответ: arctg + С.
Теперь рассмотрим интегралы вида
В числителе появился многочлен первой степени, который не является производной знаменателя, а знаменатель по прежнему имеет отрицательный дискриминант.
Вычисление интегралов такого вида рассмотрим на примере.
Пример.
Найти интеграл dx
Примем весь квадратный трёхчлен за новую переменную
. Найдём du=(4x+3)dx.
, необходимо, чтобы du=(4x+3)dx. Но в задании числитель (3x+5), выделим из (3x+5)→ (4x+3) следующим образом
(3x+5)= (4x+3) - +5= (4x+3) + , т.е. числитель получился состоящим из суммы, которую распишем на два интеграла
I = dx+ = +
Тогда I = + +c.
Задание 4
Найти интегралы.
Вариант 1
|
Вариант 2 |
Вариант 3 |
Вариант 4 |
Вариант 5
|
Вариант 6 |
Вариант 7
|
Вариант 8 |
Вариант 9
|
Вариант 10 |
Вариант 11
|
Вариант 12 |
Вариант 13
|
Вариант 14 |
Вариант 15 |
Вариант 16 |
Вариант 17
|
Вариант 18 |
Вариант 19
|
Вариант 20 |
Вариант 21
|
Вариант 22 |
Вариант 23
|
Вариант 24 |
Вариант 25
|
Вариант 26 |
Вариант 27
|
Вариант 28 |
Вариант 29
|
Вариант 30 |
§5. Интегрирование рациональных функций с помощью разложения на простейшие дроби. (Метод неопределённых коэффициентов)
Перед интегрированием рациональной дроби нужно сделать следующее алгебраические преобразования:
Если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из неё целую часть, т.е.представить в виде:
, где М(x) – многочлен, а – правильная рациональная дробь.
Разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители (если это возможно).
3) Правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби с неизвестными коэффициентами А, В, С,… это разложение записывается в зависимости от знаменателя дроби (если знаменатель дроби имеет различные линейные множители):
а) =…;
б);
в);
г).
4) Вычислить неопределённые коэффициенты А, В, С,… (Вычисление рассмотрим на конкретных примерах).
В результате интегрирование рациональной дроби сведётся к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей.
Пример.
Найти интеграл
.
Решение: Рассмотрим подынтегральную функцию.
Так как степень числителя больше степени знаменателя, т.е. дробь неправильная, то выделим из неё целую часть.
−
−
Итак получим ;
2) Разложим знаменатель оставшейся правильной дроби на множители, для этого найдём корни; в данном случае воспользуемся методом подбора корней: Например х₁=1
=1-7+6=0
Значит х₁=1 является одним из корней, а (х-1) один из множителей знаменателя. Выполним деление и получим степень знаменателя
−
−
−
0
Оставшийся квадратный трёхчлен имеет корни х₂=2; и х₃=-3; т.е. отсюда получим
.
и различны (случай (а))
Представим теперь дробь в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами
И рассмотрим один из способов нахождения неопределённых коэффициентов как раз удобный для случая, когда знаменатель имеет неповторяющиеся множители первой степени.
Итак приведём правую часть к общему знаменателю
Т.к. знаменатели левой и правой частей равны, то приравняем числители
Далее будем подставлять значения х в получившееся уравнение, желательно, чтобы это были значения, являющиеся действительными корнями знаменателя при х=1 (можно найти А)
15∙1+12∙1= А(12)∙(1+3)+В∙0+С∙0;
27=А∙(1) ∙4
4∙А=27 А=
При х =3 (можно найти С)
15∙9+12∙(3)=А∙0+В∙0+С∙(31) (32);
13536=(4)∙(5)∙С
99=20С
С=
При х=2 (найдём В)
15∙4+12∙2= А∙0+В(21)(2+3)+ С∙0
84= 5В∙1
В=.
Подставим найденные коэффициенты и вычислим интеграл:
+
Пример. Найти интеграл
Решение: Так как подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, то целую часть выделять не будем.
Знаменатель дроби на множители больше не раскладывается, т.к. квадратный трёхчлен - не имеет действительных корней (случай (в)). Приступаем к разложению подынтегральной дроби на сумму простейших дробей с неопределёнными коэффициентами:
В этот раз применим другой способ нахождения неопределённых коэффициентов. Также приведём правую часть к общему знаменателю
Т.к. знаменатели равны, то приравняем числители
Раскроем скобки, получим
.
Теперь сгруппируем в правой части члены с одинаковыми степенями и вынесем их за скобки, .
Будем приравнивать коэффициенты левой и правой частей при одинаковых степенях х, т.е. получим систему
А+В=1,
4А+2В+С=3,
5А+2С=2.
из первого уравнения В=1А;
из третьего С=;
подставим во второе уравнение 4А+22А+ найдём А
2А+
4А+2-5А=10
А=12 А=12.
Тогда В=112=11 В=11,
С =,
С=29.
Подставим в подынтегральное выражение и вычислим интегралы
+dx = 12 ln - dx.
Найдём второй интеграл
u=;
du=(2x4)dx;
11x+29=;
dx=
=
Окончательно
I = 12 ln
Пример.
Найти интеграл dx.
Решение: Дробь правильная, значит целую часть выделять не будем.
Разложим знаменатель на множители,
Значит подынтегральное выражение примет вид:
(случай (б)). Представим дробь в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами
.
Здесь можно применить комбинированный способ. Сначала найдём А при х=2
x5=;
25= A;
; А =.
При х=2 получим
;
7= 4∙C; C =
Зная А и С будем определять В следующим образом:
х5=,
подставим х=0
5=,
5=
4В=
4В= В =
Найдём интеграл:
dx = ++
+.
Задание 5
Найти интегралы.
Вариант 1 |
Вариант 2
|
Вариант 3 |
Вариант 4
|
Вариант 5 |
Вариант 6
|
Вариант 7 |
Вариант 8
|
Вариант 9 |
Вариант 10 |
Вариант 11 |
Вариант 12
|
Вариант 13 |
Вариант 14
|
Вариант 15 |
Вариант 16 |
Вариант 17 |
Вариант 18
|
Вариант 19 |
Вариант 20
|
Вариант 21 |
Вариант 22 |
Вариант 23
|
Вариант 24
|
Вариант 25
|
Вариант 26
|
Вариант 27
|
Вариант 28
|
Вариант 29
|
Вариант 30
|