Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

1180

.pdf
Скачиваний:
15
Добавлен:
09.04.2015
Размер:
679.52 Кб
Скачать

МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ РФ Департамент кадров и учебных заведений

САМАРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЙ

Кафедра "Строительные конструкции и материалы"

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ КОНСТРУКЦИЙ МЕТОДОМ СИЛ

Методические указания для студентов заочного обучения

Составитель: В.В. Любимов

Самара 2003

УДК 620.10

Расчет статически неопределимых конструкций методом сил. Методические указания для студентов заочного обучения - Самара: СамГАПС, 2003. - 7 с.

Утверждено на заседании кафедры. Протокол №2 от 19.01. 2003г.

Рассматривается последовательность расчета плоских статически неопределимых конструкций методом сил. Приводится пример расчета один раз статически неопределимой балки.

Методическое пособие разработано в соответствии с программой курса "Сопротивление материалов" для студентов специальностей С, Л, В, СДМ, ЭТ заочного обучения. Кроме того, данное методическое пособие может быть использовано в при изучении курсов "Прикладной механики", "Строительной механики", "Основ конструирования машин", "Строительных конструкций и сооружений" студентами перечисленных специальностей.

Составитель: Владислав Васильевич Любимов, к. ф.-м. н., доцент кафедры "Строительные конструкции и материалы"

Рецензенты: Заболотнов Ю.М., д.т.н., профессор СГАУ; Жичкин Е.А., к.т.н., доцент СамГАПС

Редактор: Егорова И.М. Компьютерная верстка: Егоров А.А.

Подписано в печать 23.04.2003. Формат 60 84 1/16 Бумага писчая. Печать оперативная. Усл.п.л. 0,5 Тираж 200 экз. Заказ № 54

© Самарская государственная академия путей сообщений, 2003

2

1. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ КОНСТРУКЦИИ

Определение. Конструкция называется статически неопределимой, если число ее неизвестных реакций превышает число независимых уравнений статики, которые можно составить для нахождения данных реакций. Например, конструкция на рис.1 является два раза статически неопределимой, так как для нее число неизвестных реакций - 5, а число уравнений статики - 3, т.е. 5-3=2.

Рис.1

2. МЕТОД СИЛ

Для раскрытия статической неопределимости конструкции воспользуемся методом сил. При этом исходная система, показанная на рис.1 сводится к основной системе метода сил, представленной на рис.2 [1]. Основная система является статически определимой, так как в ней лишние связи (две центральные опоры) заменены реакциями.

R 1

R 2

Рис.2

Следует отметить, что при замене лишних связей на усилия надо следить, чтобы новая система была геометрически неизменяемой. Для того, чтобы основная система была эквивалентна исходной, требуется равенство нулю прогибов (или углов поворота сечения) в направлении отброшенных связей, которые считаются суммарными от действия внешних силовых факторов и от реакции в шарнире. Если реакция от лишней опоры является силой, то должен быть равен нулю прогиб в данной опоре, если же реакция - сосредоточенный момент, то должен быть равен нулю угол поворота сечения в опоре. Для рассмотренной конструкции перемещения в опорах 1 и 2 имеют вид:

1 1 (P) 11R1 0, 2

2 (P) 21R2

0.

(1)

Уравнения (1) являются уравнениями совместности деформаций. Решая их, мы

находим недостающие неизвестные реакции R1

и R2.

 

 

В уравнениях (1) переменные

1(P)

и 2(P)

являются

перемещениями,

возникающими от действия внешних нагрузок в направлении отброшенных 1 и 2 опор, а11 и 21 - перемещения от действия единичных сил, приложенных в направлении

3

неизвестных R1 и R2 соответственно. Данные перемещения вычисляются при помощи интегралов Мора:

1(P)

M1pM11

dz,

 

2(P)

M 2 pM 21

dz ,

 

(2)

 

 

 

 

 

 

EJ

 

 

 

M

11

2

 

EJ

M

21

2

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

dz, 21

 

 

dz .

 

 

 

 

 

 

 

EJ

 

 

EJ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегралы Мора (2) могут быть вычислены при помощи формулы Верещагина:

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J M

p

M

1

dz f

цт

.

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь - площадь эпюры внешних сил M p на участке ab;

fцт - величина момента

по эпюре единичного усилия

M 1

при координате

zцт , соответствующей положению

центра тяжести эпюры

 

M p

на участке

ab. Для

успешного

применения формулы

Верещагина надо уметь находить площадь и положение центра тяжести данной площади для характерных кривых M p(z). C этой целью на рис.3 приводятся

необходимые справочные даные.

 

5l/8

3l/8

 

 

= 2al/3

 

 

1

цт

 

a

 

 

 

= al/3

 

 

 

2

 

l/4

цт

3l/4

 

 

квадратичная парабола

вершина

 

 

 

Рис.3

 

c

 

 

b

 

 

цт

h

a

= hl/2

 

 

 

 

l

 

 

z=( a+b+c) /3

 

3. ПРИМЕР РАСЧЕТА БАЛКИ

Рассмотрим расчет статически неопределимой балки методом сил на примере решения задачи № 7 из сборника заданий для контрольных работ [2].

Задача № 7.

Для статически неопределимой постоянного поперечного сечения балки требуется построить эпюры изгибающих моментов M x и поперечных сил Qy . Руководствуясь

эпюрой изгибающих моментов M x и условиями закрепления балки изобразить вид упругой линии.

Дано. Балка имеет вид: рис.4a.

Исходные данные: b=1.0 м, с=1.2 м, l=1.2 м, P=1.7 кН, q=1.7 кН/м, М=1.2 кНм, D=150 мм, d/D=0.7, двутавр № 24.

Для решения поставленной задачи требуется:

1)Составить уравнение совместности деформаций в виде (1) для раскрытия статической неопределимости и определить неизвестное усилие.

2)Из условий равновесия балки найти опорные реакции.

4

3) Для полученной статически определимой балки построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.

 

M =1,2кНм YB

 

 

а

 

YA

 

q=1,7кН/м

 

YC

 

Z A

 

 

 

 

A

 

B

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b/2=0,5 м b/2=0,5 м

 

l=1,2 м

 

 

A

 

B

 

b

C

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

M =1,2кНм

 

q=1,7кН/м

 

 

A

 

B

 

 

C

 

 

 

 

YC

 

 

 

 

 

 

 

YB = 4,464 кН

d

 

 

M =1,2кНм

 

 

 

 

q=1,7кН/м

 

 

Z A = 0

 

 

 

 

 

 

 

A

 

B

 

 

C

 

 

 

 

 

 

YA = 2,424 кН

1,2

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кНм

 

 

-1,224

f

 

 

 

-2,424

 

 

YA = 1,2

 

1

A

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

YB

= 2,2

g

 

 

 

1,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кНм

 

 

Рис.4

 

 

Решение.

1) В начале найдем степень статической неопределимости конструкции.

Как следует из рис.4а, неизвестных реакций четыре - YA , Z A ,YB ,YC . Уравнений статики для определения реакций - три, например, cумма проекций всех сил на

вертикальную

ось ( (Y

) 0), сумма проекций всех сил на горизонтальную ось

 

 

 

i

i

 

 

 

 

 

 

 

 

( (Z

i

) 0) и сумма моментов всех сил относительно точки ( (M A ) 0). В результате 4-

i

 

 

 

i

i

 

 

 

 

 

3=1 - балка является один раз статически неопределимой. Поэтому, для раскрытия статической неопределимости следует составить одно уравнение совместности деформаций (1).

В качестве лишней неизвестной выберем YC . Образованная при этом основная система показана на рис.4b. Далее на рис.4с представлена система, эквивалентная исходной системе.

Затем изображаем систему заданных внешних сил (рис.4d) и для нее строим эпюру изгибающих моментов M P (рис.4е). На рис. 4f изображаем систему единичных сил и строим для нее эпюру изгибающих моментов M 1(рис.4g).

При построения эпюры M P неизвестные реакции находились для системы заданных внешних сил следующим образом:

(M A ) 0:

1 Y

B

M q 12, (1 12,

) 0.

i

i

 

2

 

 

 

 

 

5

(M B ) 0:

1 Y

 

M q

12,2

0.

A

 

i

i

 

2

 

 

 

 

 

Отсюда Y B 4,464

кН, Y A 2,424 кН.

Проверка. (Yi ) 0: 1,7 12, 4,464 2424, 0. Верно.

i

Аналогично находим реакции для системы единичных сил:

Y B 2,2 кН, Y A 1,2 кН.

Составим каноническое уравнение совместности деформаций

 

 

C C (P) 1CYC 0.

 

 

 

 

 

 

(4)

Неизвестные коэффициенты в уравнении (4) найдем через интеграл Мора методом

Верещагина (3):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

(P)

M

P

M dz 1 12, 1224, 3 12,

 

 

 

 

 

l

 

 

1

3

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1 2,424

2 12, 12, 0,5 (0,6 0,6

1) 0,87024 кНм3

,

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

M

1

M dz 1 12,2

2 12, 1 1 12, 2 12, 1056, м3 .

 

1C

l

 

1

 

 

2

3

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, из уравнения (4) находим:

YC 0,87024

0,824 кН.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1056,

 

2) Находим остальные реакции в опорах для рассчитываемой балки (рис.5а)

(M A ) 0:

 

Y

B

1 M q 12, (1 12,

) Y

C

2,2 0,

 

i

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(M B ) 0:

 

Y

 

1 M q

12,2

Y

 

12, 0.

 

 

A

 

C

 

i

 

i

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Откуда YB 2,651 кН, YA 1435,

кН.

 

 

 

 

 

Проверка. (Y

) 0: 1435, 2,651 0,824 17, 12, 0. Верно.

 

 

 

 

i

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

Для полученной статически определимой балки, представленной на рис. 5а,

строим эпюры поперечных сил Qy

и изгибающих моментов M x

(рис.5b и рис.5с). При

этом данная балка разбивается на три участка.

 

 

 

 

 

Распишем значения поперечной силы и изгибающего момента

 

I участок.

 

II участок.

 

III участок.

 

 

 

0 z1 0,5,

 

0,5 z2 1,

0 z3 12, м,

 

 

Qy 1435,

,

Qy 1435,

,

Qy 0,824

17, z3 кН,

 

M

x

1435, z .

M

x

1435, z

12,. M

x

0,824 z 0,85 z2

кНм,

 

 

1

 

 

2

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

0,842 0,485

м.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1,7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M x (z0) 0,2 кНм.

6

M =1,2кНм

YB

= 2,651кН

 

а

q=1,7кН/м

YA = 1,435кН

 

 

 

 

 

 

 

C

A

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

0,824 кН

 

 

 

 

 

0,5 м

0,5 м

 

1,2 м

 

 

1,216

 

b

z 0

=0,483м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кН

1,435

 

1,435

 

0,824

 

 

 

0,483

 

 

c

0,2

 

 

 

 

 

 

 

 

кНм

 

 

0,235

 

 

 

0,717

 

 

 

 

 

 

Рис.5

 

 

Согласно эпюре изгибающих моментов (рис.5с), построенной на сжатых волокнах, изображаем на рис.5а изогнутую ось балки.

Библиографический список

1.Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов:

Учеб. для вузов. - 2-е изд. испр.- М.: Высш. шк., 2000.- 560 с.

2.Беликов А.Н. Сопротивление материалов. Задания на контрольные работы и методические указания для студентов III курса заочного отделения. - Самара: СамИИТ,

1999.- 36 с.

7

8

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]