1151

МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ РФ ДЕПАРТАМЕНТ КАДРОВ И УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ

САМАРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Кафедра "Строительные конструкции и материалы"

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ И РАМЫ. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ

Методические указания по выполнению расчетно-графической работы

для студентов дневной формы обучения

Составители: Е.А.Жичкин Е.С. Жичкина

Самара 2003

УДК 620.10

Сопротивление материалов. Статически определимые балки и рамы. Расчеты на прочность и жесткость. Методические указания по выполнению расчетно-графической работы для студентов дневной формы обучения. - Самара: СамГАПС, 2003. – 24 с.

Утверждено на заседании кафедры. Протокол № 3 от 13 марта 2003 г.

Печатается по решению редакционно-издательского совета академии.

Методические указания по выполнению расчетно-графической работы составлены в соответствии с программой курса "Сопротивление материалов" для студентов специальностей С, МТ, Л, ЭТ и В дневной формы обучения.

Составители: Евгений Александрович Жичкин, к.т.н., доцент Елена Сергеевна Жичкина, к.т.н., доцент

Рецензенты: Сеськин И.Е., профессор СамГАПС, канд. техн. наук, Любимов В.В., доцент кафедры "Теоретическая механика" СГАУ,

канд. физ.-мат. наук

Редактор И.А.Шимина

Компьютерная верстка: А.В.Эрлих

Подписано в печать 19.03.2003 Формат 60х84 1/16 Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. п. л. 1,5 Тираж 250 экз. Заказ № 32

© Самарская государственная академия путей сообщения, 2003

2

	Содержание
1.	ОСНОВЫ ТЕОРИИ.................................................................................................................................	4
2.	РАСЧЕТ БАЛКИ.......................................................................................................................................	8
2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ОПОР ................................................................................................		8
2.2. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ ОТ ЗАДАННЫХ НАГРУЗОК ...............		9
2.3. РАСЧЕТ НЕОБХОДИМОГО ПО ПРОЧНОСТИ ДВУТАВРА............................................................		11
2.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ..............................................................................................		12
2.5. ПОДБОР КВАДРАТНОГО, ПРЯМОУГОЛЬНОГО, КРУГЛОГО И КОЛЬЦЕВОГО СЕЧЕНИЙ ..............		15
3.	РАСЧЕТ РАМЫ ......................................................................................................................................	16
3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ОПОР ..............................................................................................		17
3.2. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ ОТ ЗАДАННЫХ НАГРУЗОК .............		17
3.3. РАСЧЕТ НЕОБХОДИМОГО ПО ПРОЧНОСТИ ДВУТАВРА..............................................................		19
3.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ..............................................................................................		20
БИБЛИОГАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ...................................................................................		23

3

1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ

При изгибе в поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты М и поперечные силы Q (рис. 1). Эти силовые факторы вычисляют при помощи метода сечений. При этом изгибающий момент М считается положительным, когда на левом торце правой отсеченной части бруса он направлен по часовой стрелке, а на правом торце левой отсеченной части — против часовой стрелки. Поперечная сила Q положительна, когда на левом торце правой отсеченной части бруса она направлена вверх, а на правом торце левой отсеченной части — вниз (рис. 1).

Рис. 1. Внутренние силовые факторы, возникающие

впоперечном сечении бруса при изгибе

Впроизвольном сечении бруса, имеющем координату z, поперечная сила Q и изгибающий момент М являются функциями координаты z, т. е. Q = Q(z) и M = M(z). В конкретных задачах сопротивления материалов функции Q(z) и M(z) рассчитывают по следующим правилам [2].

Изгибающий момент М, действующий в поперечном сечении бруса, по величине и знаку равен сумме моментов относительно центральной оси этого сечения всех внешних сил, приложенных к левой части бруса, или сумме моментов (относительно той же оси), взятой с обратным знаком, всех внешних сил, приложенных к правой части:

М М М ;	(1)
лев прав

при этом моменты внешних сил должны быть приняты положительными, когда они действуют по часовой стрелке.

Поперечная сила Q по величине и знаку равна сумме проекций всех внешних сил, приложенных к левой части бруса, на нормаль к его продольной оси, проведенной в рассматриваемом поперечном сечении, или сумме проекций (на ту же нормаль), взятой с обратным знаком, всех внешних сил, приложенных к правой части бруса:

4

Q Y Y ;	(2)
лев прав

при этом проекции внешних сил на нормаль должны быть приняты положительными, когда они направлены снизу вверх.

Продольная сила N по величине и знаку равна сумме проекций всех внешних сил, приложенных к левой части бруса, на его продольную ось, или сумме проекций (на ту же ось), взятой с обратным знаком, всех внешних сил, приложенных к правой части бруса:

N Z Z ;	(3)
лев прав

при этом проекции внешних сил на ось бруса приняты положительными, когда они направлены справа налево.

Графики зависимостей Q = Q(z) и M = M(z), называемые эпюрами поперечных сил и изгибающих моментов, строятся для выявления наиболее опасных сечений, в которых сила Q и/или момент М имеют наибольшие абсолютные значения. При построении эпюр моментов традиционно инженеры-машиностроители и инженеры-транспортники откладывают положительные значения моментов вверх от оси бруса, в этом случае ординаты эпюры моментов располагаются со стороны сжатого волокна. Инженерыстроители откладывают положительные значения моментов вниз от оси бруса, в этом случае ординаты эпюры моментов располагаются со стороны растянутого волокна.

При изгибе в поперечных сечениях возникают нормальные напряжения , которые распределяются по сечению неравномерно. Например, при изгибе бруса двутаврового поперечного сечения эпюра напряжений будет иметь вид, показанный на рис.2.

В случае, когда изгибающий момент М действует в плоскости симметрии сечения (или когда плоскость момента проходит через главную ось сечения), максимальное по абсолютной величине напряжение рассчитывается по формуле

				M			,	(4)

max Wи

где max — максимальное напряжение в сечении в Па, Wи — момент сопротивления изгибу в м3.

y	М
	х
z

max

Рис.2. Распределение нормальных напряжений в сечении двутавра

5

Момент сопротивления изгибу Wи — это геометрическая характеристика сечения. Для стандартных прокатных профилей геометрические характеристики даются в специальных таблицах, которые можно найти в приложениях к учебникам по сопротивлению материалов [1,2].

Для сечений простой формы моменты сопротивления изгибу вычисляются по формулам:

		D3				d 4				3				d 4
для трубы	Wu			1					0,1D			1					,
							4								4
		32				D								D

где d и D — внутренний и наружный диаметры трубы соответственно;

для прямоугольного сечения	W			bh2	,
		x
			6

где Wx — момент сопротивления изгибу относительно оси х,

b — размер прямоугольного сечения, параллельный оси х,

h — размер прямоугольного сечения, перпендикулярный оси х.

Подбор размеров поперечного сечения осуществляется из условия прочности.

max

M

max

, или

max

M

max

R ,

(5)

Wx

Wx

где — допускаемое напряжение;

R — расчетное сопротивление.

Перемещения, возникающие в стержневой системе, вычисляются при помощи

интеграла Мора:
			M ( z )			1 ( z )
		А			M			dz ,
				EJ
		l
где A — перемещение сечения А в заданном направлении,
M z — изгибающий момент от заданной нагрузки,
		1 z — изгибающий		момент от единичного фиктивного силового фактора,
	M

приложенного в сечении А в направлении искомого перемещения, E — модуль Юнга,

J — момент инерции сечения относительно оси, перпендикулярной к плоскости действия изгибающего момента.

Если на некотором участке функция M 1 z — линейная функция z и жесткость EJ постоянна, то интеграл Мора может быть вычислен методом Верещагина по формуле

l

M ( z )

1 ( z )

M

1

dz

M M 1C

,

(6)

EJ

EJ

0

где М — площадь эпюры нагрузочных моментов M ,

M 1C — ордината эпюры моментов M 1 , находящаяся под центром тяжести C

эпюры нагрузочных моментов M .

Для простейших эпюр моментов значения площадей M и координат центров тяжести zC даны в таблице 1.

Если эпюра не является простейшей, то ее следует расщепить, т.е. представить в виде совокупности простейших эпюр.

6

Интеграл Мора можно вычислить и по формуле Симпсона. Применение формулы

Симпсона для определения перемещений дает точные результаты, если в интеграле Мора

функция M z является линейной или квадратичной функцией z, а M 1 z

— линейной

функцией и жесткость EJ постоянна.

Формула Симпсона для вычисления интеграла Мора на некотором участке имеет

вид:

l M нач M 1нач 4M сред

M 1сред M кон M 1кон

l

M ( z ) M

1

( z )

dz

,

(7)

EJ

6 EJ

0

где M нач , M 1нач — величины моментов M и M 1 в начале участка,

M сред , M 1сред — величины моментов M и M 1

в середине участка,

M кон , M 1кон — величины моментов M и M 1 в конце участка.

Таблица 1

Площади и координаты центров тяжести эпюр

№

Тип эпюры

Эпюра

Площадь

Координата

эпюры

ц.т. эпюры

1

прямоугольник

L h

zC

1 L

2

2

прямоугольный

1

L h

zC

2

L

треугольник

2

3

3

криволинейный

1

L h

zC

3

L

треугольник

3

4

4

половина

2

L h

zC

3

L

"горбушки"

3

8

5

"горбушка"

2 L h

zC

1 L

3

2

Высота h "горбушки" вычисляется по формуле h=qL2/8

7

Метод Верещагина и формула Симпсона дают один и тот же результат. В случае, если эпюры простые, предпочтительней применение метода Верещагина. Если же приходится расщеплять эпюру, то лучше применять интеграл Симпсона.

2. РАСЧЕТ БАЛКИ

Для балки, показанной на рис.3, требуется:

1)определить реакции опор и сделать проверку;

2)построить эпюры внутренних силовых факторов;

3)из расчета на прочность по максимальным нормальным напряжениям подобрать

номер двутаврового профиля, из которого следует изготовить балку, приняв допускаемое напряжение 200 МПа (или расчетное сопротивление R 200 МПа );

4)с помощью интегралов Мора найти вертикальное перемещение сечения К1 и

угол поворота сечения К2, приняв модуль упругости Е 200ГПа ;

5) из расчета на прочность подобрать для балки круговое, кольцевое, квадратное и прямоугольное сечения и сравнить массы всех рассчитанных балок, включая двутавровую; принять соотношение размеров прямоугольника hb 1,5 и кольца

Dd 1,5 .

y 40кН/м

160кНм

40кН

A			B	K2
	K1
2м		2м		2м

Рис.3. Исходная расчетная схема

2.1. Определение реакций опор

Найдем реакции RA и RВ (рис.4b) из уравнений равновесия балки.

M A	0;	RB 4 40 2 3 160 40 6 0 RB 80 кН .
M B	0;	RA 4 40 2 1 160 40 2 0 RA 40 кН .

Изобразим найденные реакции опор на схеме (рис.4c). Поскольку RA и RB имеют положительные значения, то направление реакций остается прежним. Записываем 40 кН вместо RA и 80 кН вместо RB.

Сделаем проверку по рис.4с:

Fy 0;

40 40 2 80 40 0

120 120 0

0 0 .

Полученное тождество показывает, что реакции опор найдены правильно.

8

y 40кН/м

160кНм

40кН

A			B	K2	a)
	K1
2м		2м		2м

	40кН/м
	RA	RB	40кН
	160кНм

A			B	K2	b)
	K1
2м		2м		2м

	40кН/м
40кН	160кНм	80кН	40кН

A			B	K2
	K1				c)
2м		2м		2м

Рис.4. К определению реакций опор

2.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов от заданных нагрузок

Строим эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента M, используя метод сечений. Разделим балку на участки: 1-й участок — А-К1, 2-й участок — К1-В, 3-й участок В-К2 (рис.5а).

Участок А-К1

Уравнения равновесия левой отсеченной части (рис.5b).

Fy 0;	40 Q 0 ;		Q 40 кН .
M s 0; 40 z1 M 0 ;				M 40 z1 ; 0 z1 2м .
Найдем значения момента в начале и конце участка.
В сечении А при z1 0	M 0 , т.е.	M A 0 .
В сечении К1 при z1 2м M 40 2 80 , т.е.				M K1 80 кН м .

По найденным значениям строим на участке А-К1 эпюры Q (рис.5е) и M (рис.5f и 5g). На рис.5f эпюра изгибающих моментов построена на сжатом волокне, так строят эпюры инженеры - транспортники и машиностроители. На рис.5g эпюра моментов построена на растянутом волокне, так делают инженеры - строители.

9

40кН	160кНм		40кН/м			80кН		40кН
A						B		K2
			K1						a)
		2м		2м			2м
	40	M
A									b)
		s
	z1	Q
40				40
		160				M
A									c)
			K1	s
						Q
		2м	z2
					M			40
							s	K2	d)
						Q
			1м					z3
Q
[кН] 40			40		40			40
				С				z	e)
M						-40
[кНм]			80
								z	f)
		-80		-60		-80
		-80		-60		-80
								z	g)
M
[кНм]			80
Рис.5. К построению эпюр внутренних силовых факторов

Участок К1-В Составим уравнения равновесия левой отсеченной части (рис.5с):

Fy 0; 40 40 z2 Q 0 ;

Q40 40 z2 ;

M s 0; 40 2 z2 160 40 z2 0.5z2 M 0 ;

M 40 2 z	2	160 20 z 2	;	где 0 z	2	2м .
		2
		10