Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

metod07

.pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
09.04.2015
Размер:
184.05 Кб
Скачать

Вычислительная математика Практическая работа 7

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Составитель С.Ю. Кириллова

ЗАДАНИЕ НА РАБОТУ:

1) изучить примеры 7.1-7.5;

3) решить в среде MathCAD (или составить программу решения на любом языке про- граммирования) задачи 7.1 – 7.5.

ПРИМЕРЫ

Пример 7.1. Локализация корней.

Пример 7.2. Решение уравнения методом бисекции. Пример 7.3. Решение уравнения методом Ньютона.

Пример 7.4. Чувствительность метода Ньютона к выбору начального приближения. Пример 7.5. Приведение уравнения к виду, удобному для итераций.

Решение примеров в среде пакета MathCAD: файлы R7_ex1.mcd – R7_ex5.mcd.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Метод простой итерации (последовательных приближений)

Для применения метода простой итерации следует исходное уравнение f (x) = 0

преобразовать к виду, удобному для итерации x = ϕ(x). Это преобразование можно выпол-

нить различными способами. Функция ϕ(x) называется итерационной функцией. Расчетная

формула метода простой итерации имеет вид:

x(n+1) = ϕ(x(n) ).

Теорема о сходимости метода простой итерации. Пусть в некоторой δ- окрестности корня x функция ϕ(x) дифференцируема и удовлетворяет неравенству ϕ′(x) q , где 0 q <1 постоянная. Тогда независимо от выбора начального приближения из указанной

δокрестности итерационная последовательность не выходит из этой окрестности, метод

сходится со скоростью геометрической последовательности и справедлива оценка погрешности:

x(n) x 1qq x(n) x(n1) .

Критерий окончания итерационного процесса. При заданной точности ε > 0 вычис-

ления следует вести до тех пор пока не окажется выполненным неравенство

 

x(n) x(n1)

 

<

1q

δ. Если величина 0 < q 0.5 , то можно использовать более простой

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

x(n) x(n1)

 

< ε.

критерий окончания итераций:

 

 

 

 

Ключевой момент в применении метода простой итерации состоит в эквивалентном преобразовании уравнения. Способ, при котором выполнено условие сходимости метода простой итерации, состоит в следующем: исходное уравнение приводится к виду

x = x − αf (x) , где α итерационный параметр. Предположим дополнительно, что произ- водная f знакопостоянна и m f ′(x) ≤ M на отрезке [a,b]. Тогда при выборе итераци-

онного параметра α =

2

метод сходится и q =

 

M m

 

< 1.

 

 

m + M

 

M + m

 

 

 

 

 

Метод последовательных приближений обладает локальной сходимостью со скоро- стью первого порядка (линейной), то есть областью его сходимости является малая окрест- ность корня x . Достоинство метода заключается в том, что не накапливаются ошибки вы- числений. Ошибка вычислений эквивалентна ухудшению очередного приближения, что мо- жет отразиться только на числе итераций, но не на точности результата. Метод устойчив да- же по отношению к грубым ошибкам.

Метод Ньютона (касательных)

Одним из популярнейших итерационных методов решения нелинейных уравнений, что связано с его идейной простотой и быстрой сходимостью, является метод Ньютона (в зарубежной литературе метод Ньютона-Рафсона). Расчетная формула метода Ньютона имеет вид:

x(n+1) = x(n) f (x(n) ).

f (x(n) )

Геометрически метод Ньютона означает, что следующее приближение к корню есть точка пересечения с осью Оx касательной, проведенной к графику функции y =

x(n+1)

f (x)

в точке (x(n) , f (x(n) )).

Теорема о сходимости метода Ньютона. Пусть x простой корень уравнения f (x) = 0 , в некоторой окрестности которого функция дважды непрерывно дифференцируе-

ма. Тогда найдется такая малая δ - окрестность корня x , что при произвольном выборе на-

чального приближения x(0) из этой окрестности итерационная последовательность метода

Ньютона не выходит за пределы окрестности и справедлива оценка

x(n+1) x

 

1

 

 

x(n+1) x

 

2 .

 

 

 

 

δ

 

 

 

 

 

 

 

 

Критерий окончания итерационного процесса. При заданной точности ε > 0 вычис-

ления следует вести до тех пор, пока не окажется выполненным неравенство

x(n) x(n−1) < ε .

Упрощенный метод Ньютона: x

= x

f (xn )

, n=0,1,…

 

n+1

n

f ′(x0 )

 

 

 

 

Метод Ньютона обладает высокой скоростью сходимости второго порядка (квадратичной), но сходимость является локальной. Неудачный выбор начального приближения может дать расходящуюся итерационную последовательность. Поэтому методу Ньютона часто предшествует какой-либо надежно сходящийся алгоритм (например, метод половинно- го деления), а метод Ньютона используют на завершающей стадии решения уравнения.

Модификации метода Ньютона. Метод секущих

Трудностью метода Ньютона является необходимость вычисления производной на каждом итерационном шаге. Далеко не всегда бывает удобно находить аналитическое выра- жение для производной функции. Однако, в этом и нет особой необходимости: поскольку на каждом шаге мы получаем приближенное значение корня, можно для его вычисления ис- пользовать приближенное значение производной:

f (x + x) − f (x)

 

f (x + x) − f (x)

 

f (x) = lim

 

 

.

x

x

x→0

 

 

В качестве малой величины x можно взять, например, заданную точность вычислений ε ,

тогда расчетная формула примет вид

xk +1

= xk

f (xk

 

 

f (xk + ε ) − f (xk ) ,

(7.1)

 

 

что составляет основу разностного метода Ньютона.

С другой стороны, для вычисления производной можно воспользоваться значениями функции, полученными на двух предыдущих шагах,

xk+1 = xk

f (xk )(xk−1 xk )

,

(7.2)

f (xk−1) − f (xk )

 

 

 

где k = 1,2,3,..., а x0 и x1 должны задаваться. В таком виде метод называется методом секущих (secant method). При этом, однако, возникает проблема с вычислением первого

приближения. Обычно полагают, что x1 = x0 + ε , то есть первый шаг вычислений прово-

дится с использованием формулы (7.1), а все последующие с использованием формулы

(7.2).

Формула (7.2) определяет новый метод как двухшаговый. Его геометрическая интер- претация: xk +1 есть абсцисса точки пересечения с осью Ox прямой, проведенной через точ-

ки (xk−1; f (xk−1)) и (xk ; f (xk )), т.е. секущей.

Используя метод секущих, мы не можем гарантировать, что корень находится между двумя последними приближениями. Метод секущих и метод хорд определяются однотипны- ми формулами, но порождающие их идеологии различны, что сказывается на свойствах и скорости сходимости генерируемой ими последовательности приближений. Метод секущих обладает квадратичной сходимостью.

Высокий порядок скорости сходимости метода секущих в сочетании с минимальными вычислительными затратами одно вычисление функции на один итерационный шаг вы- водит этот метод на первое место по эффективности решения скалярных нелинейных урав- нений среди прочих итерационных методов. Именно эта вычислительная схема реализована во встроенной функции root пакета Mathcad.

ПОИСК КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ В MATHCAD

Найдем нули функции f( x)

 

 

cos( x)

на интервале x=[–2,7], используя Mathcad.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( x

 

 

 

5)2

Изобразим сначала функцию на графике.

x 2,

f( x)

1.95.. 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.05

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.05

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

На заданном интервале функция три раза обращается в ноль. Определим нули функ- ции, используя встроенную функцию root(f(x),x). Первый аргумент функция, нуль которой необходимо найти, второй переменная, которую необходимо варьировать. (Вообще говоря,

r( x)
root( f( x) , x)

функция f может быть функцией многих переменных и необходимо указывать, по какой именно переменной мы ищем нуль функции.) Кроме того, необходимо задать начальное приближение поиска. Точность вычислений (условие прекращения итераций численным ал- горитмом) задается встроенной переменной TOL. По умолчанию ее значение равно 0,001. Это значение можно изменить либо через меню Math/Built–In Variables или непосредствен-

но в тексте документа: TOL 10 9

Задаем начальное приближение: x 1

И вычисляем корень: root( f( x) , x) = 1.570796327

Если требуется найти несколько корней, как в нашей задаче, то имеет смысл опреде-

лить новую функцию:

Функция r(x) возвращает значение корня ближайшее к x1, то есть начальное прибли- жение мы задаем через аргумент функции. Задаем вектор начальных приближений x и нахо- дим соответствующие им корни X:

xi

i

 

0.. 2

 

X

 

r x

Xi

 

 

 

 

 

 

1

i

 

i

1.570796327

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.570796327

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.712388981

 

 

 

 

 

 

 

 

Для данного примера корни легко могут быть найдены аналитически. Они равны на заданном интервале −π/2, π/2 и 3π/2. Полученный численный результат с заданной точно- стью совпадает с точным решением.

Определение новой функции целесообразно и в том случае, когда мы хотим исследо- вать зависимость решения от параметра. Пусть функция зависит от параметра a

z( a, x)

 

root

 

cos( a.x)

, x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( x

 

 

 

5)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первый аргумент функции z задает значение параметра, второй начальное прибли- жение. Найдем корни уравнения при значениях параметра 1 и 2.

z( 1, 1) = 1.571

 

z( 2, 1) = 0.785

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если мы хотим получить комплексный корень, то начальное приближение следует за-

давать комплексным:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z(i

, i ) =

 

7.459 10

 

9 +1.571i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нахождение корней полиномов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для нахождения

корней полиномов имеется встроенная

функция

polyroots(a).

Аргументом функции является вектор коэффициентов полинома

a + a x + a x2

+ + a xn

,

0

1

2

n

то есть для уравнения 3x2 + 2x +1 = 0 вектор а имеет вид

 

 

 

 

 

i

 

0.. 2

 

ai

 

 

 

polyroots ( a) =

 

0.333

 

0.471i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

0.333+ 0.471i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если в полиноме отсутствуют некоторые степени, то на соответствующих местах сле- дует писать 0. Пусть требуется найти корни полинома p(x) = x3 + 2x2 1

1 К сожалению, это не всегда так. Если начальное приближение выбрано неудачно и значение производной в этой точке близко к нулю, то, вообще говоря, найденный корень может быть не ближайшим к начальному приближению. В качестве примера решите самостоятельно

задачу поиска корня уравнения sin(x) = 0 , выбрав в качестве начального приближения число близкое к π2 . Чем ближе к π2 будет вы- бранное значение, тем более далекий от 0 корень мы будем получать.

 

 

 

ai

 

 

 

 

1.618

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

0.. 3

 

 

polyroots ( a ) =

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

0.618

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

Коэффициенты полинома могут быть и комплексными.

Иногда исходный полином имеется не в развернутом виде, а, например, как произве- дение нескольких полиномов. В этом случае определить все его коэффициенты можно, вы- делив его и выбрав в меню Symbolics (Символика) пункт Expand (Разложить). В результа- те символьный процессор Mathcad сам преобразует полином в нужную форму, пользовате- лю нужно будет корректно ввести аргументы функции polyroots.

Нахождение корней уравнений путем символических преобразований.

Во многих случаях Mathcad позволяет найти аналитическое решение уравнения. Для этого необходимо воспользоваться пунктом Solve for Variable из пункта меню Symbolics. Для того чтобы найти решение уравнения необходимо записать выражение и выделить в нем пе- ременную (поставить указатель курсора возле переменной). Это необходимо для того, чтобы показать, какая именно величина является переменной, а какая фиксированным парамет- ром. После этого выбираем из пункта меню Symbolic подпункт Solve for Variable

cos(a.x)

1

.

π

 

 

 

 

 

решение готово ––>

 

 

 

 

 

 

 

2

a

(x

 

 

 

5)2

Обратите внимание! В данном случае был найден только один корень, хотя, оче- видно, их бесконечно много.

В случае полинома Mathcad, а точнее встроенный символический процессор Ma-

ple находит все корни.

1

 

x2

 

 

 

2.x

 

 

 

1 –>

Для этого примера найдено 2 корня, хотя они и вырожде-

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ны. Пример с комплексными корнями: x2

 

 

1 ––>

 

i

 

 

 

i .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mathcad 2000 представляет ряд дополнительных возможностей для поиска корней уравнений. Функция root(f(var1, var2, ...),var1, [a, b]) имеет теперь два необязательных аргу- мента a и b, которые определяют границы интервала, на котором следует искать корень. На концах интервала [a,b] функция f должна менять знак (f(a)f(b)<0). Задавать начальное при- ближение для корня не нужно. В данном варианте функция root использует алгоритм Ридде- ра или Брента. Продемонстрируем использование расширенного варианта поиска корней на

примере функции

f(x) := 0.04× x2 + sin(x)

Для оценки местоположения корней построим график этой функции

x:= -3 × p,-3 × p + 0.1.. 3 × p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

root(f(x) , x, −1, 8) = 0

root(f(x), x, −10, −0.1) = −2.818

На интервале [1,8] функция имеет два корня. Mathcad 2000 смог найти только один из

них.

Дополнительные возможности появились и для нахождения корней полиномов. Функция polyroots может использовать два различных алгоритма поиска корней метод Ла- герра (LaGuerre) и метод сопровождающей матрицы (Companion Matrix). Переключение ме- тодов осуществляется в контекстном меню, которое вызывается нажатием правой кнопки мыши, когда указатель установлен на имя функции. Для того, чтобы оставить за Mathcad вы- бор метода решения, установите флажок AutoSelect (Автоматический выбор).

Решение систем уравнений

Системы линейных и нелинейных уравнений и неравенств позволяет решать на Mathcad блок Given в сочетании с функцией Find.

Система уравнений и/или неравенств должна быть записана после или правее слова

Given.

При записи уравнений и/или неравенств следует пользоваться панелью инструментов Boolean (Булевы операторы) При вводе с клавиатуры вместо знака = следует набирать

Ctrl+=.

Перед словом Given необходимо указывать начальные приближения для всех пере- менных, т.к. данный вычислительный блок использует для поиска решения итерационные методы.

Блок Given не пригоден для поиска индексированных переменных.

Если мы хотим найти комплексный корень, следует задавать комплексное начальное приближение.

Признаком окончания системы служит функция Find, если мы хотим найти точное решение системы, либо функция Minerr, если система не может быть решена точно, и мы хотим найти наилучшее приближение, обеспечивающее минимальную погрешность.

Аргументами функций Minerr и Find являются неизвестные, относительно которых решается система. Функции Minerr и Find должны иметь столько же или меньше аргумен- тов, сколько уравнений и неравенств содержит блок Given. Если окажется, что блок содер- жит слишком мало уравнений или неравенств, то его можно дополнить тождествами или по- вторяющимися выражениями.

В том случае, если решение не может быть найдено при заданном выборе начального приближения, появится сообщение в красной рамке Did not find solution решение не най- дено.

Вычислительный блок использует константу CTOL в качестве погрешности выпол- нения уравнений, введенных после ключевого слова Given. Например, если CTOL=0.001, то уравнение x=10 будет считаться выполненным и при x=10.001, и при x=9.999. По умол- чанию значение CTOL равно 0,001. Это значение можно изменить либо через меню

Math/Built–In Variables или непосредственно в тексте документа: СTOL 10 9.

Функция Find реализует градиентные численные методы. Можно выбрать в контек- стном меню в категории Nonlinear, появляющемся после щелчка правой клавишей мыши на слове Find, один из трех методов: Conjugate Gradient (Сопряженных градиентов), QuasiNewton (Квази-Ньютоновский) или Levenberg-Marquardt (Левеннберга-Маркардта).

Зададим начальные приближения и решим систему нелинейных уравнений.

x

 

1

y

 

1

 

 

 

 

 

Find(x, y ) = 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

given

x2

 

 

 

y

 

23

x2 . y

 

50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

Если необходимо найти решение при различных начальных приближениях, имеет

смысл определить новую функцию

given x2

 

y

 

23

x2.y

 

50

f( x, y )

 

Find( x, y )

 

 

 

 

 

 

 

 

Обратите внимание! В этом случае не нужно задавать начальные приближения пе- ред началом блока Given – Find. Начальные приближения задаются в качестве аргументов функции f(x,y)

f( 1, 1) =

5

f(

1, 1) =

 

 

 

5

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

f( i , 1) =

1.414i

 

 

 

 

1.414i

f(

i , 1) =

 

 

 

25

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

Подобным же образом можно решать системы, зависящие от параметра.

given x2

 

 

 

y2

 

R2

y

 

x

 

g( x, y , R)

 

 

 

Find( x, y )

g( 1, 1, 1) =

0.707

g(

1,

 

1, 1) =

 

0.707

 

 

0.707

 

 

0.707

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧИ

Задача 7.1. Даны два уравнения f(x)=0 и g(x)=0. Найти с точностью ε =1010 все корни уравнений, содержащиеся на отрезке [a, b]. Для решения задачи использовать метод бисекции. Найти корни с помощью встроенной функции root пакета MATHCAD.

 

ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ:

1.

Найти аналитическое решение уравнения f(x)=0.

2.

Используя пакет MATHCAD, локализовать корни f(x)=0 графически.

3.

Используя программу bisec (см. пример 7.2), найти корни уравнения f(x)=0 с

точностью ε с помощью метода бисекции.

4. Используя

встроенную функции root пакета MATHCAD, найти корни уравнения

f(x)=0 с точностью ε .

5.

Аналогично п. 1-4 попытаться найти корни уравнения g(x)=0. Объяснить получен-

ные результаты.

 

Фрагмент решения задачи в среде пакета MathCAD: файл R7_z1.mcd.

Задача 7.2.

Найти указанный в варианте корень уравнения f(x)=0 с точностью

ε =106 , двумя способами.

а) Использовать метод бисекции. Предварительно определить отрезок локализации

[a, b].

b) Использовать метод Ньютона. В качестве начального приближения для метода Ньютона взять середину отрезка локализации из п. а).

Сравнить число итераций в п. a), b).

Задача 7.3. Локализовать корни уравнения f(x)=0 и найти их с точностью ε =105 , используя метод простой итерации. К виду x=ϕ(x), удобному для итераций, уравнение f(x)=0

привести двумя способами.

 

 

 

x=x-αf(x),

 

где α=2/(M+m),

 

 

 

a)

Преобразовать

уравнение к

виду

 

0 < m f '(x) M , а x принадлежит отрезку

локализации [a, b].

 

 

 

 

 

 

 

 

b) Любым

другим

преобразованием уравнения. Проверить достаточное условие

сходимости метода.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Использовать

 

критерий

окончания

итерационного

 

процесса

вида

| x

(n)

x

(n1)

|<

1q

ε , где в п. a)

q=(M-m)/(M+m), в п. b) q = max

 

 

.

 

 

 

 

 

 

q

 

 

ϕ (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x [a,b]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сравнить число итераций и значения величины q в п. a), b).

Задача 7.4. Локализовать корни уравнения f(x)=0. Найти их с точностью ε =108 , используя методы простой итерации и Ньютона. Сравнить скорость сходимости методов (по числу итераций). Найти корни, используя встроенную функцию polyroots.

Задача 7.5. Локализовать корни уравнения f(x)=0. Найти их с точностью ε =105 и

ε =1012 , используя метод Ньютона, упрощенный метод Ньютона и метод секущих. Срав- нить скорость сходимости методов (по числу итераций) для каждого значения ε .

Задача 7.6. Найти с точностью ε =106 все корни системы нелинейных уравнений

f1(x1, x2 ) = 0,

f2 (x1, x2) = 0,

используя метод Ньютона для системы нелинейных уравнений. Найти корни с помощью встроенного блока решения уравнений Given Find пакета MATHCAD.

ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ:

1.Используя пакет MATHCAD, локализовать корни системы уравнений графически.

2.Составить программу-функцию, вычисляющую корень системы двух нелинейных

уравнений по методу Ньютона с точностью ε. Предусмотреть подсчет количества итераций.

Для решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений использовать встроенную функцию lsolve пакета MATHCAD.

3.Используя составленную программу, вычислить все корни заданной системы с точ- ностью ε.

4.Используя встроенный блок Given Find пакета MATHCAD, найти все корни сис-

темы с точностью ε. Сравнить с результатами, полученными в п. 3.

УКАЗАНИЕ. В п. 1 привеcти уравнения системы к виду x2 = gi (x1) (либо x1 = gi (x2 ) ), i=1, 2, можно с помощью пункта меню Symbolic пакета MATHCAD следую- щим образом:

1)набрать уравнение (знак равенства набирается с помощью комбинации клавиш

[CTRL] и [=]);

2)выделить переменную, относительно которой нужно разрешить уравнение, щелк- нув на ней мышью;

3)Выполнить команду Symbolic / Solve for Variable.

Фрагмент решения задачи в среде пакета MathCAD: файл R7_z1.mcd.

Варианты заданий даны в ПРИЛОЖЕНИИ 7.A.

Вариант выбирается в соответствии с номером студента в журнале группы, при необходимости по модулю количества вариантов в таблице.

ПРИЛОЖЕНИЕ 7.A.

Таблица к задаче 7.1

N

 

 

 

 

 

f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g(x)

 

 

 

 

 

[a, b]

1.

(sin x)

2

 

5

 

 

1

 

 

 

(sin x)

2

 

 

1

 

 

[0,1]

 

 

6 sin x +

6

 

 

 

 

sin x +

4

 

 

 

2.

(sin x)

2

 

 

7

 

 

1

 

 

 

(sin x)

2

 

 

2

 

1

 

 

[1,0]

 

 

+

 

 

 

sin x +

 

 

 

 

 

 

 

+

3 sin x +

9

 

 

 

 

 

12

 

 

12

 

 

 

 

 

 

3.

(sin x)

2

 

 

1

 

 

1

 

 

 

(sin x)

2

 

 

2

 

1

 

 

[0.5,0.5]

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

5 sin x +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

30

 

 

 

 

 

25

 

 

 

4.

(cos x)

2

 

 

2

 

 

1

 

 

 

(cos x)

2

 

 

2

 

1

 

 

[0,2]

 

 

 

+

 

cos x

 

 

 

 

 

 

7 cos x +

 

 

 

 

 

 

 

35

 

35

 

 

 

 

49

 

 

5.

(cos x)

2

 

 

 

æ

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

(cos x)

2

 

 

-

 

2

 

cos x +

1

 

[0,1.5]

 

 

-

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

÷cos x +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

(cos x)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(cos x)

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

[0,2]

 

 

 

+

 

2 cos x +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

3 cos x

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18

 

 

 

 

 

 

 

 

36

 

 

 

 

7.

 

(ln x)

2

- 5ln x + 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ln x)

2

- 4ln x + 4

 

 

 

 

 

[5,25]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

 

 

(ln x)

2

 

 

 

 

- ln x - 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ln x)

 

2

+ 2ln x +1

 

 

 

 

 

[0.1,10]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

 

(ln x)2 -

 

 

3 ln x +

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ln x)2 - ln x +

1

 

 

 

 

 

 

 

 

[0.1,2]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

(tgx)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(tgx)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[-1.2,1]

+ ( 3 -1)tgx -

3

 

 

 

 

 

 

 

 

- 2tgx +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

 

(tgx)

2

-

 

28

tgx +

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(tgx)

2

- 6tgx + 9

 

 

 

 

 

 

 

[0,1.5]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

53

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

[

-

 

 

(tgx)

 

 

 

- 6 tgx - 2

 

 

 

 

 

(tgx)

 

 

 

 

- 3tgx +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.5,1.5]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

36

 

 

 

 

 

 

 

13.

 

 

 

 

 

x4 - 7x2 +10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4 - 4x2 + 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[0,3]

14.

 

 

 

 

x

4

 

-

10

x

2

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4 - 6x2 + 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[0,2]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.

 

 

 

 

x

4

-

13

x

2

+ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

4

 

 

- x

2

+

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[0,3]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

[ 1,0]

(sin x)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(sin x)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

+

 

 

6 sin x +

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

3 sin x +

9

 

 

 

 

 

 

17.

(sin x)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(sin x)

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

[0,1]

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

sin x +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

2 sin x

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

18.

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

[

-

 

(sin x)

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(sin x)

 

 

 

 

+ 3sin x +

 

 

 

 

 

 

 

 

0.5,0.5]

 

 

 

 

 

 

30

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

36

 

 

 

 

 

19.

(cos x)

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(cos x)

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

[0,3]

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

cos x -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 5 cos x

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

35

 

 

35

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

20.

(cos x)

2

 

 

 

æ

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

(cos x)

2

 

 

-

 

1

cos x

+

 

 

1

 

 

 

 

[0,2]

 

 

 

+ ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

÷cos x -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21.

(cos x)2 -

1 cos x +

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(cos x)2 -

2 cos x +

1

 

 

 

 

[0,2]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22.

 

(lg x)2 +

 

 

5 lg x -

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(lg x)2 -

2 lg x +

1

 

 

 

 

 

 

[0.001,3]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

23.

 

 

(lg x)2 - lg x - 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(lg x)2 - 3lg x +

9

 

 

 

 

 

 

[0.1,35]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

24.

 

(lg x)

2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(lg x)

2

+ 2lg x +1

 

 

 

 

 

[0.01,3]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

4 lg x -

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25.

(tgx)

2

- (1+

 

 

 

1

 

 

)tgx

+

1

 

 

 

 

 

 

 

 

(tgx)

2

- 2tgx +1

 

 

 

 

 

 

 

[0,1]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26.

 

 

(tgx)2 -

7 tgx -

1

 

 

 

(tgx)2 +

1 tgx +

 

1

 

 

[-0.5,1.5]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

27.

 

 

(tgx)

2

+

37

tgx +1

 

 

(tgx)2 +12tgx + 36

 

[-1.5,0]

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28.

 

 

 

 

x4 -11x2 + 24

 

 

 

 

 

x4 - 6x2 + 9

 

 

 

 

[1,3]

29.

 

 

 

 

x

4

 

-

26

x

2

+1

 

 

 

 

 

x4 -10x2 + 25

 

[0,3]

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30.

 

 

 

 

x

4

 

-

21

x

2

+ 5

 

 

 

 

 

 

x

4

- x

2

+

1

 

 

 

 

[0,5]

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица

 

к задаче 7.2

 

 

 

 

 

 

Таблица к задаче 7.3

N

 

 

f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти корень

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x)

1.

ex - 2 + x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отрицательный

 

1.

 

 

 

 

 

sin x + 2x2 + 4x

2.

xex - x -1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

положительный

 

2.

 

 

 

 

 

ex - lg(1- x2) - 2

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

положительный

 

3.

 

 

 

 

 

sin(x + 2) - x2 + 2x -1

ex +1- 9 - x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

(x +1) × e

x+1

- x -

2

 

 

наибольший по

 

4.

 

 

 

 

 

(x −1)sh(x +1) − x

 

 

 

 

 

 

модулю

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

 

- cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

все корни

 

 

 

5.

 

 

 

 

 

x - ex2

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица

к задаче 7.4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x) º P (x) = x5 + a x4

+ a x3 + a x2

+ a x + a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

4

3

 

2

 

 

 

 

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

a4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a3

 

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

a1

 

 

 

 

 

a0

1.

4.545004

 

 

 

 

 

 

-3.055105

 

-18.06895

 

 

4.002429

 

 

 

 

4.722482

2.

-2.656764

 

 

 

 

 

 

-3.406111

 

10.89372

 

 

-1.752935

 

 

 

 

-3.423612

3.

-4.556062

 

 

 

 

 

 

2.93309

 

 

9.274868

 

-10.32081

 

 

 

 

0.422098

4.

7.809249

 

 

 

 

 

 

16.28542

 

-2.771356

 

 

-27.95304

 

 

 

 

-11.33921

5.

-13.0072

 

 

 

 

 

 

60.24546

 

-122.0716

 

 

105.6798

 

 

 

 

-30.19201

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица

к задаче 7.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

f(x)

N

 

 

 

 

 

 

f(x)

1.

ex - 3

 

 

 

6.

xln x - x2 + 3x -1

x

2.

 

 

 

 

 

 

7.

x3 - 0.9x 2 -x - 0.1

 

2 - x2 - ex

3.

ln x − 2cos x

8.

e

x

- 5x

2

+10x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

 

 

 

 

 

9.

ln(2x - x2 ) + 2 -

 

 

 

xecos x -1

x

5.

e−(x+1) + x2 + 2x -1

10.

 

 

 

+ x2 -10

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]