3336_EI

	I B =		EB =					220e− j120°	= 19,362e− j130,491° = −12,573 − j14,725 А;
					11,362e j10,491°
			Z b
	I C		=	EC	=			220e j120°		= 19,362e j109,509° = −6,466 + j18,25 А.
				Z с			11,362e j10,491°
	Проверка:		= 19,038 − j3,525 −12,573 − j14,725 − 6,466 + j18,25 = 0,001− j0,153 ≈ 0.
	I A + I B + I C
	Находим фазные и линейные напряжения приведенного приемника:
	U a0' = I A Z5	= 19,362e− j10,491° 5,571e j21,801° =108,131e j11,31° = 105,769 + j21,154 В;
	U b0' = I B Z 5	= 19,362e− j130,491° 5,571e j21,801° = 108,131e− j108,69° = −34,565 − j102,176 В;
	U c0' = I C Z 5	= 19,362e j109,509° 5,571e j21,801° = 108,131e j131,31° = −71,204 + j81,022 В;

U ab = U a0' − U b0' = 105,769 + j21,154 − (−34,565 − j102,176) = 140,334 + j123,33;

U ab = 186,826e j41,31°B;

U bc = U b0' − U c0' = −34,565 − j102,176 − (−71,204 + j81,022) = 36,64 − j183,198; U bc = 186,826e− j78,69° B;

U ca = U c0' − U a0' = −71,204 + j81,022 − (105,769 + j21,154) = −176,974 + j59,868;

U ca = 186,826e j161,31°B.

Проверка: U a0' + U b0' + U c0' = U ab + U bc + U ca » 0 .

Определим токи во втором приемнике согласно заданной схеме (рис. 4.1):

I a2	=	U	a0' =	108,131e j11,31°	= 10,786e j101,31° = −2,115 + j10,577 А;
		Z 2		10,0e− j90°
I b2	= U b0' = 108,131e− j108,69°					= 10,786e− j18,69° = 10,218 − j3,456 А;
		Z 2		10,0e− j90°
I c2	= U c0' =			108,131e j131,31°		= 10,786e− j138,69° = −8,102 − j7,12 А.
		Z 2		10,0e− j90°

Находим линейные токи в третьем приемнике:

I a3 = I A −I a2 = 19,038 − j3,526 − (−2,115 + j10,577) = 21,154 − j14,103;

I a3 = 25,424e- j33,69°A;

I b3 = I B − I b2 = −12,573 − j14,725 − (10,218 − j3,456) = −22,79 − j11,268;

I b3 = 25,424e- j153,69°A;

I с3 = I C − I с2 = −6,466 + j18,251− (−8,102 − j7,12) = 1,636 + j25,371; I ñ3 = 25,424e j86,31°A.

Определим фазные токи третьего приемника:

I ab3	=		U		ab =	186,826e j 41,31°	= 14,678e− j3,69° = 14,648 − j0,945 А;
			Z 3			12,424e j45°
I bc3	= U bc =					186,826e− j78,69°	= 14,678e− j123,69° = −8,142 − j12,213 А;
			Z 3			12,424e j 45°
I ca3	=	U		ca =		186,826e j161,31°	= 14,678e j116,31° = −6,506 + j13,158 А.
			Z 3			12,424e j45°

21

Находим фазные напряжения в третьем приемнике:

U a3 = I a3 Z 4 = 25,424e− j33,69° 12,728e j 45,0° = 323,592e j11,31° В;

U b3 = I b3 Z 3 = 25,441e− j153,69° 12,728e j45,0° = 323,592e− j108,64° В;

U c3 = I c3 Z3 = 25,441e j86,31° 12,728e j 45,0° = 323,592e j131,31° В.

Проверка: по второму закону Кирхгофа имеем E A − I AR1 −									U	a0' = 0
				220 − (19,038 − j3,526) 6 − 105,769 − j21154, ≈ 0 В.
Погрешность не превышает 1 %.
Определим показания ваттметров.
Ваттметр фазы A:
P	= Re		(−U				)I	= Re(− (176,974 + j59,868)(19,038 + j3,526)) = 3580 Вт.
W1						ca		A
Ваттметр фазы В:
P		= Re U			bc		I	= Re((36,64 − j183,198)(−12,573 + j14,725)) = 2237 Вт.
W 2							B

Мощность, потребляемая приемниками:

PW = PW 1

+ PW 2

= 3580 + 2237 = 5817 Вт.

Активная мощность, потребляемая нагрузкой:

P =

I

ab3

2 R +

I

bc3

2

R +

I

ca3

2 R = 3

I

ab3

2 R

3

= 3 14,6782

9 = 5817 Вт.

н

3

3

3

Определим значения потенциальных точек цепи фазы А. Значение потенциала нулевой точки источника принимаем равным нулю ϕ0 = 0 и совмещаем его с началом ко-

ординат комплексной плоскости:

ϕ

A

= ϕ

0

+ E A

= 0 + 220e j0° = 200e j0° = 220 В;

ϕa = ϕA − I AR1 = 220 − (19,038 − j3,525 6) = 105,769 + j21,154 В;

ϕ

0′

= ϕ

a

− (− I

a2

X

C 2

) = 105,769 + j21,154 − (10,786e j101,31° 10e− j90° ) = 0 В;

ϕ

B

= ϕ

0

+ EB

= 0 + 220e− j120° = 220e− j120° = −110 − j190,526 В;

ϕ = ϕ

B

− I

B

R

= 220e− j120° − (−12,573 − j14,725 6) = −34,565 − j102,176 В;

b

1

ϕ

0′

= ϕ − (− I

b2

X

C 2

) = −34,565 − j102,176 − (10,786e− j18,69° 10e− j90° ) = 0 В;

b

ϕ

C

= ϕ

0

+ EC

= 0 + 220e j120° = 200e j120° = −110 + j190,526 В;

ϕ

c

= ϕ

− I

C

R

= 220e j120° − (−6,466 − j18,25 6) = −71,204 + j81,022 В;

C

1

ϕ

0′

= ϕ

ñ

− (− I

ñ2

X

C 2

) = −71,204 + j81,022 − (10,786e− j132,68° 10e− j90° ) = 0 В;

Построим векторную диаграмму токов и напряжений для каждой фазы (рис. 4.5).

22

Рис. 4.5

Несимметричный режим работы цепи. Увеличим значение сопротивления фазы ab третьего приемника Z3 в 3 раза и определим его значение. Комплексное сопротивление третьего приемника включает последовательное соединение катушки индуктивности L3 и резистора R3: Z′3 = 3(R3 + jX L3 ) = 27 + j27 Ом.

Преобразуем нагрузку, соединенную «звездой», в эквивалентный «треугольник». Поскольку емкостные сопротивления фаз приемника XC2 равны по условию, то по правилу преобразования можем записать:

Z2 = –j3XC2 = –j30 Ом.

В результате участок цепи, включающий в себя сопротивления второго и третьего потребителей, преобразуется в схему (рис. 4.6).

Соединенные параллельно сопротивления Z2 и Z3 между узлами а и b, a и с заменим соответствующими комплексными сопротивлениями Z4 = Z5. Численные их значения в показательной и алгебраической формах записи представляются в виде:

				Z 4
	Z5 = Z 6	=	Z2Z3
			Z2	+ Z3

	′		− j3XC1Z2
Z4 =	Z2Z3	=		;
	′
			− j3XC1 + Z2
	Z2 + Z3

=− j30(27 + j27) = 42,167e− j38,66° Ом; − j30 + 27 + j27

=	− j3XC1Z2	= 15,517 + j6,207 = 16,713e	j21,801°	Ом.
	− j3XC1 + Z2

23

a	Ia3
	b	Ib3		Z'3	Z3
		c	Ic3	Z3	IA			a
							Z4
	Ib2							7
					IB	b
							8	Z6
Ia2	Z2		Ic2		IC		Z5	9
								c
		Рис. 4.6				Рис. 4.7

Получившийся новый «треугольник» преобразуем в эквивалентную «звезду» (рис. 4.7), в лучах которой будут находиться соответствующие комплексные сопротивления Z7, Z8 и Z9, численные значения которых находим по выражениям:

Z7 = Z8 =

Z4Z6

;

Z9

=

Z5Z6

;

Z4

+ Z5 + Z6

Z4

+ 2Z5

Z7

= Z8

=

42,167е− j38,66° 16,713еj21,8o

=

10,731− j0,859 = 10,766e− j4,574° Ом;

2

(15,17 + j6,207) − j30

Z9

=

16,713еj21,8° 16,173еj21,8°

= 4,267е

j55,88°

= 2,393

+ j3,533 Ом.

32,927

− j26,3 + 2(15,517 + j6,207)

E	А	R	IA	a	Z7
		лА
	В R		IB	b	Z8
0		лВ
	С RлС		IC	с	Z9
			U0′0
		Рис. 4.8

В результате выполненных преобразований исходная схема (рис. 4.6) принимает вид (рис. 4.8) в которой сопротивления фаз принимают значения:

Z A = Z B = RлA + Z 7 = 6 + 10,731− j0,859 =

0′

= 16,731− j0,859 = 16,753e− j 2,937° Ом;

Z C = RлC + Z9 = 6 + 2,393 + j3,533 = 8,393 + j3,533 =

= 9,106e j22,827° Ом.

Поскольку YA = YB, то напряжение смещения нейтра-

ли U0′0 можно подсчитать как:

U

0′0

=

Y

А (ЕА + ЕB ) + ЕC

YC

=

ЕC (

YC −

Y

А)

=

ЕC (ZC − ZA )

;

2

Y

А +

YC

2

Y

А +

YC

2ZВ + ZА

U0′0

=

220еj120o (−8,46 + j2,68)

= 8,742

+ j60,191 = 60,823e j81,736° B.

50,19 − j2,56

Находим соответствующие фазные токи:

IA =

ЕА − U

0′0

=

220 − 8,742 − j60,19

= 13,112е− j12,966° = 12,777 − j2,942 A;

ZА

16,753е− j2,937°

IВ

=

ЕВ − U

0′0

=

−110 − j190,5 − 8,742 − j60,19

= 16,559е− j112,405° = −6,311− j15,309 А;

ZВ

16,753е− j2,937°

I

=

ЕС − U

0′0

=

−110 + j190,5 − 8,742 − j60,191

= 19,362еj109,51° = −6,466 + j18,251 А.

С

ZС

9,106еj22,827°

24

Проверка: IA + IB + IC = 0.

Находим фазные напряжения приведенного приемника:

Ua0′ = Z7IA = 10,766e−j4,574° 13,112e− j12,966° = 141,156e−j17,54° = 134,593 − j42,54 B; Ub0′ = Z8IB = 10,766e− j4,574° 16,559e −j112,405° = 178,265e−j116,98° = −80,873 − j158,9 B; Uc0′ = Z9IC = 4,267ej55,887° 19,362ej109,51° = 82,616ej165,396° = −79,947 + j20,831 B;

Соответствующие им линейные напряжения приведенного приемника:

Uab = Ua0´ − Ub0´ = 134,593 − j42,54 + 80,873 + j158,9 = 244,862ej28,36° =

= 215,466 + j116,325 B;

Ubc = Ub0´ − Uc0´ = −80,873 − j158,9 + 79,947 − j20,831 = 179,698e−j90,295° = = −0,927 − j179,695 B;

Uca = Uc0´ − Ua0´ = −79,947 + j20,831 − 134,593 + j42,54 = 223,703ej163,544° = = −214,54 + j63,371 B.

Фазные токи в «треугольнике» согласно заданной схеме (рис. 4.6):

				= U			244,862е	j28,36°
I		ab3				ab =		o = 6,413е− j16,637° = 6,14 − j1,836 А;
					Z′		38,184е	j45
				3
I	bс3			= U		bс = 179,698е− j90,295°			= 14,118е− j135,295° = −10,035 − j9,932 А;
					Z3		12,73еj45°
Iсa3				= U		сa =	223,703еj163,544°		= 17,576еj118,544° = −8,398 + j15,439 A.
					Z3		12,73еj45°

Находим токи в линиях ко второму приемнику:

Iа3 = Iab3 − Ica3 = 6,14 – j1,836 + 8,398 − j15,439 = 14,543 − j17,275= 22,582e−j49,9° А; Ib3 = Ibс3 − Iab3 = −10,035 − j9,932 − 6,14 + j1,836 = −16,179 − j8,09 = 18,09e−j153,42° А. Iс3 = Ica3 − Ibс3 = −8,398 + j15,439 + 10,035 + j9,932 = 1,636 +j25,371 = 25,424ej86,31° А.

Фазные токи в «звезде»:

Iа2 = IА – Iа3 = 12,777 – j2,942 – 14,543 + j17,275 = –1,765 + j14,334 = 14,442ej97,02° А; Ib2 = IB – Ib3 = –6,311 – j15,31 + 16,179 + j8,09 = 9,867 – j7,213 = 12,223e–j36,167° А;

Iс2 = IС – Iс3 = –6,466 + j18,251 – 1,636 – j25,371 = –8,102 – j7,12 = 10,786e–j138,69° А.

Проверка: Iа2 + Ib2 + Iс2 = 0 ; Iа3 + Ib3 + Iс3 = 0 .

Определим показания ваттметров. Ваттметр фазы А:

P

= Re

(−U

)

I

*

= Re (214,54 − j63,371)(12,777 + j2,942) = 2,928 103 Bт.

W1

{

ca

A}

Ваттметр фазы В:

= Re (0,927 − j179,695)(−6,466 − j18,251) = 2,757 103

P

= Re U

I *

Bт.

W 2

{

bc

B

}

Мощность, отдаваемая источниками:

ΣPW = 2928,2 + 2757,4 = 5,684 103 Bт.

Активная мощность, потребляемая нагрузкой:

P = R

I

ab

2 + R

I

bc

2 + R

I

ca

2 = 9 (6,4132 + 14,1182

+ 17,5762 ) = 5684 Вт.

н

3

3

3

Найдем значения потенциальных точек и построим топографическую диаграмму напряжений (рис. 4.9) и токов (рис. 4.10). Принимаем ϕ0 = 0 – нулевая точка генератора.

ϕA = ϕ0 + E A = 220e j0° В;

ϕa = ϕA − I AR1 = 220e j0° − 13,112e− j12,966° 6 = 143,335 + j17,651 = 144,418e j7,02° В; ϕ0′ = ϕa − (−I a2 jXC 2 ) = 144,418e j7,02° − (14,442e j97,02° 10e− j90° ) = 0 В;

25

ϕB = ϕ0 + EB = 220e− j120° = −110 − j190,526 В;

ϕb = ϕB − I B R1 = 220e− j120° − 16,559e− j112,405° 6 = −72,131− j98,673 = 122,226e− j126,167° В;

ϕ0′ = ϕb − (−I b2 jXC 2 ) = 122,226e− j126,167° − (12,223e− j36,167° 10e− j90° ) = 0 В; ϕC = ϕ0 + EC = 220e j120° = −110 + j190,526 В;

ϕc = ϕC − I C R1 = 220e j120° − 19,362e j109,509° 6 = −71,204 + j81,021 = 107,864e j131,31° В; ϕ0′ = ϕc − (−I c2 jXC 2 ) = 107,864e j131,31° − (10,786e− j138,69° 10e− j90° ) = 0 В.

Рис. 4.9

Рис. 4.10 26

Аварийный режим работы схемы (ключ разомкнут).

a

Ia3

Выполнив соответствующие преобразования аналогично при-

веденным выше имеем:

Uab

Iab3

U 0′0 = −116,359 + j25,477 = 119,116e j167,65° В;

Z3

I A = 16,245 + j6,902 = 17,65e j 23,018°

А;

b

Ib3

Ibc3

I В = −12,58 − j14,725 = 19,362e

− j130,491°

А;

Ubc

Z

I С = −3,672 + j7,823 = 8,642e j115,143°

А.

Так как в третьем приемнике произошел обрыв фазы сa,

c

Ic3

Рис. 4.11

расчетная схема третьего приемника примет вид (рис. 4.11).

Для соединения «треугольник» соотношения линейных и фазных токов имеют вид:

I A = I ab − I ca ; I B = I bc − I ca ; I C = I ca − I bc.

Поскольку ключ разомкнут, ток I ca = 0. В остальных фазах токи приемника Iab и

Ibc остаются неизменными. В результате исходная система уравнений токов третьего приемника преобразуется к виду:

I a3 = I ab3 ; I b3 = I bc3 − I ab3 ; I c3 = − I bc3 .

Найдем значение фазного тока в третьем приемнике согласно схеме (рис. 4.11):

I I I

I

I I

a3

b3

ñ3

a2

b2

c2

I ab3	=	U			ab	=	168,441e j21,147°	= 13,234e− j23,853° = 12,104 − j5,35 А;
							12,69e j45°
				Z 3
I bc3	= U bc =						251,496e− j77,7°	= 19,759e− j122,7° = −10,68 − j16,62 А;
				Z 3			12,69e j45°

I ca3 = 0 А.

Находим токи в линии для второго приемника:

= I ab3 = 12,104 − j5,352 = 13,234e− j23,853° А;

= I bc3 − I ab3 = −10,687 − j16,62 − 12,104 + j5,35 = 25,424e− j153,7° = −22,79 − j11,268 А; = − I bñ3 = 10,687 + j16,62 = 19,759e j57,26° А.

Определим фазные токи второго приемника:

= I A − I a3 = 16,245 + j6,902 − (12,104 − j5,352) = 4,141+ j12,253 = 12,934e j71,4° А;
= I B − I b3	= −12,573 − j14,725 − (−22,79 − j11,268) = 10,218 − j3,45 = 10,8e− j18,7° А;
= I C − I c3	= −3,672 + j7,823 − (10,68 + j16,62) = −14,359 − j8,79 = 16,839e− j148,5° А.

Проверка: I a1 + I b1+ I c1 = 0.

Определим показания ваттметров. Ваттметр фазы А:

P	= Re	(−U								= Re(− (−210,501+ j184,994)(16,245 − j6,902)) = 2143 Вт.
								)I
W1						ca			A
Ваттметр фазы В:
P	= Re U								= Re((53,403 − j245,761)(−12,573 + j14,725)) = 2947 Вт.
						I
W 2				bc			B

Мощность, потребляемая приемниками: PW = PW1 + PW 2 = 2143 + 2947 = 5090 Вт. Активная мощность, потребляемая нагрузкой:

27

P =

I

bc3

2

R +

I

ab3

2 R = 19,7592 9 + 13,2342 9 = 5090 Вт.

н

3

3

Построим векторную диаграмму токов и напряжений (рис. 4.12):

ϕ0 = 0 – нулевая точка генератора;

ϕ

A

= ϕ

0

+ E

A

= 220e j0° В;

ϕ

a

= ϕ

A

− I

A

R = 220e j0° − 6 17,69e j23,019 = 104,739 + j44,523 = 113,86e j 23,02° В;

1

ϕ

0′

= ϕ

a

− (−I

a2

jX

C 2

) = 113,86e j 23,02° − (12,91e j71,328° 10e− j90° ) = −0,2 − j0,24 ≈ 0 В;

ϕ

B

= ϕ

0

+ E

B

= 220e− j120°

= −110 − j190,526 В;

ϕ = ϕ

B

− I

B

R = 220e− j120° − 16,559e− j112,405° 6 = −34,52 − j102,06 В;

b

1

ϕ0′

= ϕb − (−I b2 jXC 2 ) = −34,52 − j102,06 + j10(10,23 − j3,45) = −0,02 + j0,24 ≈ 0 В;

ϕ

= ϕ

0

+ E

C

= 220e j120° = −110 + j190,526 В;

C

ϕ

c

= ϕ

− I

C

R = 220e j120° − 19,362e j109,509° 6 = −88,04 + j143,4 В;

C

1

ϕ0′

= ϕc − (−I c2 jXC 2 ) = −88,04 + j143,4 + j10(−14,34 − j8,79) = −0,14 + j0,06 ≈ 0 В.

Рис. 4.12

Расчет трехфазной цепи методом симметричных составляющих. Для расчета ис-

пользуем схему (см. рис. 4.8) с симметричным генератором и несимметричной нагрузкой. В результате расчетов, выполненных в части 2 (несимметричный режим работы),

нам известно сопротивление фаз и напряжение смещения нейтрали:

Z A = Z B = R1 + Z 7 = 16,731− j0,859 = 16,753e− j2,937° Ом; Z C = R1 + Z 9 = 8,393 + j3,533 = 9,106e j 22,827°Ом;

U 0'0 = 8,742 + j60,191 =60,823e j81,736° В.

28

По условию задачи задан симметричный генератор, следовательно, он содержит только симметричные составляющие прямой последовательности:

E A = E1 = 220 B;

EB = E1a2 = 220e− j120° = −110 − j190,526 B;EC = E1a = 220e j120° = −110 + j190,526 B.

Составим системы уравнений для определения фазных напряжений через их симметричные составляющие:

U

A =

U

A1 + U A2 + U A0 ;

U

A =

U

A1 + U A2 + U A0;

2

U

U

U

U

B

=

B1

+ U B2 + U B0 ;

U

B

= a

A1 + aU A2

+

A0;

2

U

= U

+ U

+ U

;

U

C

= aU A1 + a

U A2

+ U A0.

C

C1

C 2

C0

Определим фазные напряжения приемника:

U A = E1 − U 0'0 = 220 − (8,742 + j60,191) = 211,258 − j60,191 = 219,665e− j15,903° В;

U B = (E1a2 )

− U 0'0 = −110 − j190,526 − (8,742 + j60,191) = −118,742 − j250,717 =

= 277,414e− j115,343° В;

U

C = (E1a) −

U

0'0 = −110 + j190,526 − (8,742 + j60,191) = −118,742 + j130,334 =

= 176,315e j132,335°

В.

Для проверки определим фазные токи:

I A =

U

А

=

219,665e− j15,903°

= 13,112e− j12,966° = 12,777 − j2,942 А;

16,753e− j2,937°

Z A

I B

=

U

B =

277,414e− j115,343°

= 16,559e− j112,405° = −6,311− j15,309 А;

16,753e− j2,937°

Z B

I C

=

U

С

=

176,315e j132,335°

= 19,362e j109,509° = −6,466 + j18,251 А.

Z C

9,106e j22,827°

Разложим напряжения на симметричные составляющие.

Прямая последовательность:

C a2

U1

=

U

A + U Ba +

U

;

3

U1 =

211, 258 − j60,191+ (−118,742 − j250,717)e j120° + (−118,742 + j130,334)(e j120° )2

= 220 В.

Обратная последовательность:

3

a2

U 2

=

U

A

+ U

B

+ U

C

a

;

3

U 2

=

211,258 − j60,191+ (−118,742 − j250,717)(e j120° )2 + (−118,742 + j130,334)(e j120° )

= 0 В.

Нулевая последовательность:

3

U

A +

U

B +

U

U 0 =

C

;

3

U 0

=

211,258 − j60,191+ (−118,742 − j250,717) + (−118,742 + j130,334)

= −8,742 − j60,19 В.

3

29

Запишем симметричные составляющие каждой фазы:

U A1 = U1 = 220 B;

U A2 =

U

2 = 0 B;

U A0 = U 0 = −8,742 − j60,191 B;

U

B1

= U a2 = −110 − j190,526 B;

U

B2

= U

2

a = 0 B;

U

B0

= U

0

= −8,742 − j60,191 B;

1

U

C1

= U a = −110 + j190,526 B;

U

C 2

= U

a2 = 0 B;

U

C 0

= U

= −8,742 − j60,191 B.

1

2

0

Выполним проверку:

U1 + U 2 + U 0 = 220 + 0 − 8,742 − j60,191 = 211,258 − j60,191 B;

U1a2 + U 2a + U 0 = 220

(e j120° )2 + 0 − 8,742 − j60,191 = −118,742 − j250,717 B ;

U1a + U 2a2 + U 0 = 220

(e j120° ) + 0 − 8,742 − j60,191 = −118,742 + j130,334 B.

Построим векторную диаграмму напряжений и представим ее на рис. 4.13. Составляющие системы симметричных составляющих представлены на рис. 4.14.

Рис. 4.13

а − прямая		б − обратная	в − нулевая
	Рис. 4. 14

30