2565

2565 Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Кафедра «Высшая математика»

Теория вероятностей и математическая статистика

Рабочая программа, контрольные задания и примеры их решения для студентов экономических специальностей

заочной формы обучения

3 семестр

Составители: О.Е. Лаврусь Н.М. Латыпова В.А. Паняев

Самара

2010

1

УДК 517

Теория вероятностей и математическая статистика. Рабочая программа, контрольные задания и примеры их решения для студентов экономических специальностей заочной формы обучения / составители : О. Е. Лаврусь, Н. М. Латыпова, В. А. Паняев. – Самара : СамГУПС, 2010. – 54 с.

Утверждены на заседании кафедры 24. 10. 2009 г., протокол № 2.

Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.

Контрольные задания составлены в соответствии с Государственным образовательным стандартом, действующей программой по высшей математике для экономических специальностей и охватывают разделы теории вероятностей и математической статистики.

Приведены примеры решения контрольных заданий. Предназначены для студентов второго курса экономических специальностей.

Составители: Лаврусь Ольга Евгеньевна, к. т. н. доцент,

Латыпова Наиля Масхутовна, к. ф. – м. н., доцент,

Паняев Валерий Алексеевич, к. т. н., доцент.

Рецензенты: к. ф.-м. н., доц. Г. В. Воскресенская,

к. ф.-м. н., доц. Л. В. Кайдалова

Подписано в печать 19.05.2010. Формат 60х90 1/16.

Усл. печ. л. 3,4. Тираж 200 экз. Заказ № 105.

© Самарский государственный университет путей сообщения, 2010

2

СОДЕРЖАНИЕ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ

1. Теория вероятностей.

1.Предмет теории вероятностей. Случайное событие. Классификация событий. Операции над событиями (алгебра событий). Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики (виды соединений). Относительная частота события и статистическая вероятность. Геометрические вероятности.

2.Совместные и несовместные случайные события. Теорема сложения вероятностей.

3.Зависимые и независимые события. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события.

4.Формула полной вероятности. Формулы вероятности гипотез (формулы Байеса).

5.Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Локальная теорема Лапласа. Формула Пуассона.

6.Случайные величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения вероятностей и ее свойства.

7.Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Операции над независимыми случайными величинами.

8.Плотность распределение вероятностей непрерывной случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.

9.Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана и др.), их вычисление и свойства.

10.Равномерный и показательный законы распределение вероятностей непрерывной случайной величины, их числовые характеристики.

11.Нормальный закон распределения вероятностей и его параметры. Функция Лапласа. Вероятность попадания в заданный интервал случайной величины. Вероятность

ееотклонения от математического ожидания. Правило «трех сигм».

12.Понятия о распределениях: « хи квадрат», Стьюдента и Фишера.

13.Система двух случайных величин. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции. Линейная корреляция, линейная регрессия.

14. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева об устойчивости средних. Теорема Бернулли об устойчивости частот. Центральная предельная теорема Ляпунова.

2. Математическая статистика.

1.Основные задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Репрезентативность выборки.

2.Вариационные ряды и их графическое изображение.

3.Эмпирическая функция распределения. Гистограмма относительных частот.

4.Числовые характеристики вариационных рядов: выборочная средняя, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, мода и медиана и др.

3

5.Точечные оценки параметров генеральной совокупности: несмещенные эффективные и состоятельные. Исправленная выборочная дисперсия.

6.Интервальные оценки параметров генеральной совокупности. Доверительный интервал. Доверительная вероятность (надежность).

7.Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном среднеквадратическом отклонении.

8.Доверительные интервалы для оценки математического ожидания распределения при неизвестном среднеквадратическом отклонении.

9.Понятие статистической гипотезы и основные этапы ее проверки. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона.

10.Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Линейная парная регрессия. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства. Корреляционная таблица. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным.

ЛИТЕРАТУРА

1.Вентцель Е. С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1999. – 579с.

2.Гмурман BE. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: «Высшая школа», 2003

3.Кремер Н.Ш.- Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:

ЮНИТИ – ДАНА, 2001. 543 с.

4.Калинин В.Н , Панкин В Ф. Математическая статистика. - М.: «Высшая школа», 2002

5.Гурман B. E. Руководство к решению задач по теории вероятности и математической статистике – М.: "Высшая школа". 2003.

6.Данко П.Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях

изадачах. Ч : М.; Высшая школа, 2006.- 416с.

7.Горелова Г.В, Кацко И А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel. - Ростов: Феникс, 2002. – 400с.

8.Гусак А. А, Бричикова Е. А. Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач. – Минск: Терра Сименс, 2000. – 286 с.

9.Теория вероятностей и математическая статистика. Рабочая программа, методические указания и контрольные задания для студентов – заочников экономических специальностей А. В. Зинченко, О. Е. Лаврусь, В. А. Паняев; Самара: - СамГУПС, 2004.

4

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Используя рекомендуемую литературу и данные методические указания, студент должен усвоить указанные разделы программы и выполнить две контрольные работы №5 и №6. Вариант контрольных работ выбирается как остаток от деления на 30 числа, состоящего из двух последних цифр номера зачетной книжки. Например, шифр студента 6236. Берем две последние цифры 36 и делим на 30. Получим в остатке номер варианта 6. Если две последние цифры не превышают числа 30, то они определяют номер варианта контрольных работ.

Решения задач (заданий каждой контрольной работы) следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номер задач.

Перед решением каждой задачи необходимо выписать её условие. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая при необходимости соответствующие чертежи.

В конце каждой контрольной работы необходимо привести список использованной литературы, проставить дату её выполнения и расписаться.

Контрольные работы, содержащие не все задания, а также задачи не своего варианта к собеседованию не допускается.

Краткое содержание теоретического материала, необходимого для выполнения контрольных работ, и соответствующие методические указания изложены в работе [9] –

МУ№1483.

5

Задания для контрольной работы №5

Задание 1. Алгебра случайных событий и их вероятность

1.1.Вероятность того, что три поезда определенных направлений прибудут на станцию строго по расписанию, соответственно равны: 0,9; 0,95 и 0,85. Найти вероятность того, что: а) все поезда прибудут по расписанию; б) два поезда прибудут по расписанию; в) хотя бы один поезд не прибудет по расписанию.

1.2.Для прохождения производственной практики группе студентов в количестве 25 человек было предоставлено: 9 мест в Самару, 7 мест в Кинель, 4 места в Рузаевку, остальные в Ульяновск. Какова вероятность того, что три определённых студента попадут на практику: а) в город Самару; б) в один из предложенных городов?

1.3.На тепловой электростанции 12 сменных инженеров, среди которых 5 женщин. В смену занято 4 человека. Найти вероятность того, что в случайно выбранную смену мужчин окажется: а) не менее двух; б) только один.

1.4.В лотерее из 100 билетов 8 выигрышных. Какова вероятность того, что среди первых пяти наугад выбранных билетов выигрышными окажутся: а) два билета; б) не более двух билетов?

1.5.В группе 25 студентов, из них 10 юношей и 15 девушек. Какова вероятность того, что из вызванных наудачу трех студентов: а) все три девушки; б) первые две девушки, третий - юноша; в) все трое юноши?

1.6.Вероятность безотказной работы автомобиля равна 0,9. Автомобиль перед выходом на линию осматривается двумя механиками. Вероятность того, что первый механик обнаружит неисправность в автомобиле, равна 0,8, а второй - 0,9. Если хотя бы один механик обнаружит неисправность, то автомобиль отправляется на ремонт. Найти вероятность того, что: а) автомобиль будет выпущен на линию; б) автомобиль не будет выпущен на линию.

1.7.Вероятность одного попадания в цель при одновременном залпе из двух

орудий равно 0,44. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым орудием, если для второго орудия эта вероятность равна 0,8.

1.8.Из 40 деталей в ящике 5 бракованных. Какова вероятность того, что взятые одновременно две детали не будут бракованными?

1.9.В коробке 12 карандашей трех цветов, по четыре карандаша каждого цвета. Наудачу вынимают три карандаша. Найти вероятность того, что все карандаши окажутся разного цвета. Решить задачу при условии: а) карандаши возвращают в коробку; б) карандаши не возвращают в коробку.

1.10.Из урны, содержащей четыре красных и шесть черных шаров, вынимают два шара (без возвращения первого). Какова вероятность того, что будут вынуты: а) два шара черного цвета; б) красный и черный в любой последовательности; в) второй шар будет черным; г) оба шара одного цвета?

1.11.Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,1. Приобретено три билета. Какова вероятность выиграть: а) по одному из них ; б) хотя бы по одному из них?

1.12.Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия равна 0,6. Производится по одному выстрелу одновременно из трех орудий. Цель будет поражена, если в нее попадут не менее двух орудий. Найти вероятность: а) поражения цели; б) промаха одним или двумя орудиями.

6

1.13.Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом предприятии

-0,2, на втором - 0,35, на третьем - 0,15. Определить вероятность того, что акционер, имеющий акции всех предприятий, получит высокие дивиденды: а) на всех предприятиях; б) только на одном предприятии; в) хотя бы на одном предприятии.

1.14.В денежно-вещевой лотерее на каждые 1000 билетов приходится 12 денежных и 8 вещевых выигрышей. Какова вероятность выигрыша хотя бы на один из трех приобретенных билетов?

1.15.В урне 10 красных, 5 зеленых и 3 черных шара. Определить вероятность того, что взятые наудачу два шара будут: а) одного цвета; б) разных цветов.

1.16.На базу поступило 40 ящиков овощей, из них 30 – первого сорта. Наудачу для проверки берут два ящика. Какова вероятность, что а) оба содержат овощи первого сорта; б) разного сорта; в) одного сорта:

1.17.Три студента сдают экзамен. Вероятность того, студент сдаст экзамен на «отлично», равна для первого 0,7, для второго - 0,6, для третьего - 0,2. Какова вероятность того, что экзамен будет сдан на «отлично»: а) только одним студентом; б) двумя студентами; в) хотя бы одним; г) ни одним ?

1.18.Первый студент из 20 вопросов программы выучил 17, второй – 12. Каждому студенту задают по одному вопросу. Определить вероятность того, что: а) оба студента правильно ответят на вопрос; б) хотя бы один ответит верно; в) правильно ответит только первый студент.

1.19.В первой бригаде 6 тракторов, во второй - 9. В каждой бригаде один трактор требует ремонта. Из каждой бригады наудачу выбирают по одному трактору. Какова вероятность того, что: а) оба трактора исправны; б) один требует ремонта; в) трактор из второй бригады исправен.

1.20.Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого 0,75; для второго 0,9, третьего 0,8. Найти вероятность того, что: а) два стрелка попадают в цель; б) только один; в) хотя бы один стрелок попадает в цель.

1.21.Вероятность того, что нужная сборщику деталь содержится в первом, втором и третьем ящике соответственно равна 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что деталь содержится: а) не более чем в одном ящике; б) не менее чем в двух.

1.22.Производственная фирма имеет три склада. Вероятности того, что определенный товар имеется в наличии на первом, втором, третьем складе равны соответственно 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что товар имеется в наличии: а) хотя бы на одном складе; б) не менее, чем на двух складах.

1.23.Вероятность того, что нужный товар имеется в первом, втором, или третьем магазине, равна соответственно 0,9; 0,8; 0,6.Найти вероятность того, что нужный товар имеется: а) не менее, чем в двух магазинах; б) не более, чем в двух магазинах.

1.24.В двух ящиках находятся детали: в первом 10 штук, из них 4 стандартных, во втором -12 деталей, из них 5 стандартных. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность следующих событий: а) обе детали нестандартные; б) одна деталь стандартная, а другая нестандартная.

1.25.Вероятности того, что частный предприниматель получит ссуду в первом, втором, третьем банке, равны соответственно 0,4; 0,5; 0,6. Предприниматель последовательно обращается во все три банка, начиная с первого. В следующий банк предприниматель обращается лишь в случае отказа в предыдущем банке. Найти вероятность того, что предприниматель получит ссуду.

7

1.26.Сброшены три бомбы с вероятностью попадания соответственно 0,7; 0,4; 0,35. Найти вероятность того, что: а) в цель попадает только одна бомба; б) цель поражена, если для этого необходимо не менее двух бомб.

1.27.Вероятность того, что нужный товар имеется в наличии только в одном из двух магазинов, равна 0,26. Найти вероятность наличия товара во втором магазине, если вероятность наличия товара в первом магазине равна 0,9.

1.28.Ha одной базе имеется 100 компьютеров, 12 из которых с дефектом. На второй 90 компьютеров, 9 из которых с дефектом. На третьей 80 компьютеров, 10 из которых с дефектом. Фирма приобрела по одному компьютеру на каждой базе. Найти вероятность того, что: а) все компьютеры без дефекта; б) хотя бы один с дефектом.

1.29.Приобретено два изделия, изготовленные на различных предприятиях. На первом предприятии брак среди поступающих в продажу изделий составляет 5%, а на втором 3%. Найти вероятность событий: а) только одно изделие бракованное; б) оба изделия бракованные; в) хотя бы одно изделие не является бракованным.

1.30.Вероятность выхода из строя одного из трёх блоков агрегата за определённый промежуток времени, как показали наблюдения, составляет в среднем 0,05. Найти вероятность выхода из строя за указанный промежуток времени: а) одного из блоков; б) двух блоков; в) хотя бы одного блока. Работа всех блоков независима в совокупности.

Задание 2. Формулы полной вероятности и вероятности гипотез

2.1. Команда стрелков состоит из 5 человек. Трое из них попадают в цель с вероятностью 0,8, а двое с вероятностью 0,6. Наудачу из команды берется стрелок и производит выстрел. а) Какова вероятность того, что стрелок попадет? б) Если стрелок попал в цель, то какова вероятность, что это один из трех (один из двух)?

2.2.При исследовании жирности молока коров все стадо было разбито на три группы. В первой группе оказалось 70%, во второй 23% и в третьей 7% всех коров. Вероятность того, что молоко, полученное от отдельной коровы, имеет не менее 4% жирности, для каждой группы коров соответственно равна 0,6; 0,35 и 0,1. 1) Определить вероятность того, что для взятой наудачу коровы жирность молока составит не менее 4%.

2)Взятая наудачу корова дает молоко жирностью не менее 4%. Найти вероятность того, что эта корова из первой группы.

2.3.В первой урне 10 деталей, из них 8 стандартных. Во второй 6 деталей, из которых 5 стандартных. Из второй урны переложили в первую одну деталь. Какова вероятность того, что деталь, извлеченная после этого из второй урны, нестандартная?

2.4.Имеются две урны. В первой - семь красных шаров и три черных, во второй - три красных и четыре черных. Из первой урны переложили во вторую один шар, затем, перемешав шары, из второй урны переложили в первую один шар. Найти вероятность того, что шар, извлеченный после этого из первой урны, окажется красным.

2.5.Перед посевом 90% всех семян было обработано ядохимикатами. Вероятность поражения вредителями для растений из обработанных семян равна 0,08, для растений из необработанных семян - 0,4. Взятое наудачу растение оказалось пораженным. Какова вероятность того, что оно выращено из партии обработанных семян?

2.6.В первом ящике из 20 деталей 4 бракованных, во втором из 30 деталей 5 бракованных. Из первого во второй переложили две детали. Найти вероятность того, что деталь, извлеченная после этого из второго ящика, бракованная.

8

2.7.Стрелковое отделение получило 10 винтовок, из которых 8 пристрелянных, две нет. Вероятность попадания в цель из пристрелянной винтовки равна 0,6, а из не пристрелянной 0,4. 1) Какова вероятность, что стрелок из наудачу взятой винтовки попадет в цель при одном выстреле? 2) Стрелок поразил цель. Какова вероятность, что он стрелял из пристрелянной винтовки?

2.8.Для посева заготовлены семена 4 сортов пшеницы. Причем 20% всех семян 1- го сорта, 30% - 2-го сорта, 10% - 3-го сорта и 40% - 4-го сорта. Вероятность того, что из зерна вырастет колос, содержащий не менее 40 зерен, для первого сорта равна 0,5, для второго - 0,3, для третьего – 0,2, для четвертого - 0,1. Найти вероятность того, что наудачу взятое зерно даст колос, содержащий не менее 40 зерен.

2.9.Из 25 студентов группы 5 студентов знают все 30 вопросов программы, 10 студентов выучили по 25 вопросов, 7 студентов — по 20 вопросов, трое — по 10 вопросов. Случайно вызванный студент ответил на два заданных вопроса. Какова вероятность, что он из тех трех студентов, которые подготовили только по 10 вопросов?

2.10.Запасная деталь может находиться в одной из трех партий с вероятностями p1

=0,2; р2 = 0,5; р3 = 0,3. Вероятности того, что деталь проработает положенное время без ремонта, равны соответственно 0,9; 0,8 и 0,7. Определить вероятность того, что: а) взятая наудачу деталь проработает положенное время; б) деталь, проработавшая. положенное время, взята из второй партии.

2.11.Имеются 2 урны. В первой 4 белых и 6 черных шара, во второй - по 2 белых и 3 черных шара. Случайно выбирается урна, и из нее извлекается шар. Какова вероятность того, что была выбрана первая урна, если извлеченный шар оказался белым?

2.12.В первой бригаде производится в три раза больше продукции, чем во второй. Вероятность того, что производимая продукция окажется стандартной для первой бригады, равна 0,7, для второй-0,8. Определите вероятность того, что взятая наугад единица продукции будет стандартной. Взятая наугад единица продукции оказалась стандартной. Какова вероятность, что она из второй бригады?

2.13.Покупатель с равной вероятностью посещает 3 магазина. Вероятность того, что он купит товар в первом магазине, равна 0,4, во втором – 0,3, в третьем – 0,2. Определить вероятность того, что покупатель купил товар. Какова вероятность, что это был второй магазин?

2.14.Вероятность того, что клиент банка не вернет займ в период экономического роста, равна 0,04, а в период экономического кризиса - 0,13. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?

2.15.Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает их вероятности для данного момента времени как 0,15, 0,70 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,6, когда ситуация «хорошая»; с вероятностью 0,3, когда ситуация «посредственная», и с вероятностью 0,1, когда ситуация «плохая». Пусть в настоящий момент индекс экономического состояния изменился. Какова вероятность того, что экономика страны на подъеме?

2.16.На фабрике, изготавливающей болты, первая машина производит 25%, вторая – 35%, третья – 40% всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 5; 4; 2%: а) какова вероятность того, что случайно выбранный болт

9

дефектный; б) случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведён первой машиной?

2.17.Руководитель компании решил воспользоваться услугами двух из трех транспортных фирм. Вероятность несвоевременной доставки груза для первой, второй, и третьей фирмы равна соответственно 0,05; 0,1 и 0,07. Сопоставив эти данные с данными

обезопасности грузоперевозок, руководитель пришел к выводу о равно значимости выбора, и решил сделать его по жребию. Найти вероятность того, что отправленный груз будет доставлен своевременно.

2.18.На складе телевизионного ателье имеется 70% кинескопов, изготовленных заводом №1, остальные кинескопы изготовлены заводом №2. Вероятность того, что кинескоп не выйдет из строя в течение гарантийного срока службы, равна 0,8 для кинескопа завода №1 и 0,7 для кинескопа завода №2. Найти вероятность того, что наудачу взятый кинескоп выдержит гарантийный срок службы.

2.19.На склад поступает продукция трех фабрик, причем продукция первой фабрики составляет 20%, второй - 46% и третьей - 34%. Известно также, что средний процент нестандартных изделий для 1-й фабрики равен 5%, для 2-й - 2% и для 3-й - 1%. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось стандартным.

2.20.В магазин поступают лампочки, изготовленные на 3 заводах. С первого завода поступают 50% всех лампочек, со второго - 30% и с третьего -~ 20%. Среди лампочек, изготовленных I заводом - 80% 1 сорта, в продукции II завода лампочки 1 сорта составляют 70%, а продукции III - 60%. Какова вероятность того, что купленная в этом магазине лампочка окажется 1 сорта?

2.21.На склад поступают одинаковые электрические утюги. I завод поставляет 80%, II - 20% всего количества. Известно, что I завод выпускает 90% продукции, способной прослужить положенный срок, а II - 95%. Какова вероятность, что наугад взятый утюг прослужит положенный срок?

2.22.Устройство содержит два узла. Работа каждого узла необходима для работы устройства в целом. Вероятность выхода из строя первого узла равна 0,01, второго – 0,03. Вышел из строя один из узлов. Какова вероятность, что вышел из строя первый узел?

2.23.В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 3% брака, 2-й - 1% и 3-й - 2%. Определить вероятность попадания на сборку небракованной детали, если с каждого автомата поступило соответственно 500,200, 300 деталей.

2.24.Известно, что в партии из 600 электрических лампочек 200 лампочек изготовлены на I заводе, 250 - на II и 150 - на III. Известны также вероятности 0,97; 0,91 и 0,93 того, что лампочка окажется стандартной при изготовлении ее соответственно I, II и III заводами. Какова вероятность того, что наудачу выбранная из данной партии лампочка окажется стандартной?

2.25.На заводе болты изготавливаются на трех станках; они производят соответственно 25, 30 и 45% всего количества болтов. В продукции станков брак составляет соответственно 4, 3 и 2%. Какова вероятность, что болт, случайно взятый из всей поступившей продукции, окажется дефектным?

2.26.Для участия в спартакиаде из первой группы выделено 4 студента, из второй -5, из третьей 3 студента. Вероятность того, что отобранный студент из одной из этих групп попадет в сборную университета, равны соответственно 0,4, 0,3 и 0,5. Наудачу

10