Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

2125 (Линейная алгебра)

.pdf
Скачиваний:
37
Добавлен:
09.04.2015
Размер:
953.65 Кб
Скачать

2125 МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Кафедра «Высшая математика»

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Методические указания и контрольные задания для студентов первых курсов всех специальностей очной формы обучения

Составители: О.Е. Лаврусь А.Ю. Сеницкий Е.Н. Бесперстова

Самара

2008

1

УДК 512.64

Линейная алгебра : методические указания и контрольные задания для студентов первых курсов всех специальностей очной формы обучения. – Самара : СамГУПС, 2008.

– 56 с.

Утверждено на заседании кафедры «Высшая математика» 05.12.2007г., протокол №3.

Печатается по решению редакционно-издательского совета университета.

Сборник составлен в соответствии с Государственным образовательным стандартом и типовой программой по высшей математике и охватывает раздел общего курса: дифференциальное исчисление.

Предназначен для студентов всех специальностей.

Составители: к.т.н., доцент Ольга Евгеньевна Лаврусь к.ф.-м.н. Александр Юрьевич Сеницкий ст. преп. Елена Николаевна Бесперстова

Рецензенты: к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной математики и информатики СамГТУ Е.Н. Огородников; к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей математики СамГУПС Ф.С. Миронов

Под редакцией В.А. Герасимова Компьютерная верстка Р.Р. Абрамян

Подписано в печать29.05.2008. Формат 60х84 1/16. Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. п. л. 3,5. Тираж 500 экз. Заказ № 88.

© Самарский государственный университет путей сообщения, 2008

2

I.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Определение и свойства определителя

Определителем n -го порядка называется число квадратной таблицы:

n

, записываемое в виде

 

a11

a12

a13

...a1 j

a1n

 

 

a21

a22

a23

...a2 j

a2n

 

 

n ..................................

 

 

ai1

ai2 ai3 ...aij

ain

 

 

an1

an2 an3

...anj ann

 

Здесь aij i; j

 

- элемент определителя,

1,n

где

i - номер строки,

 

 

 

 

j - номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

 

Любую строку или столбец определителя также называют рядом.

 

Порядок определителя равен числу строк или столбцов, из которых он состоит.

 

Элементы

 

a11;a22 ;a33...ann

образуют главную диагональ, другая диагональ

называется побочной.

Основные свойства

1)Определитель с двумя одинаковыми параллельными рядами равен нулю;

2)Если все элементы некоторого ряда определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя;

3)Определитель, у которого элементы двух параллельных рядов соответственно пропорциональны, равен нулю

Например

1

2

1

 

1

2

4

8

4

4

1

2

5

7

1

 

5

7

-1

-1

1

0

;

4)Если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то определитель равен нулю;

5)Значение определителя не изменится, если поменять все строки на соответствующие столбцы и наоборот

-1

7

3

-1

2

- 3

Например 2

4

2 7

4

5 ;

- 3

5

1

3

2

1

3

6)Если поменять местами два параллельных ряда определителя, то он изменит свой знак

Например

-1

7

3

3

7

-1

2

4

2

2

4

2

- 3

5

1

1

5

- 3

(поменяли местами 1-й и 3-й столбцы);

7)Величина определителя не изменяется, если к элементам какого-либо ряда прибавить соответствующие элементы другого параллельного ему ряда, умноженные на одно и то же число.

Вычисление определителей

Вычисление определителей зависит от порядка определителя. Рассмотрим вычисление определителя второго порядка:

 

 

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

11

12

a

a

 

2

 

 

 

 

22

 

 

a

 

a

 

11

 

 

 

 

21

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a21

a12

,

т.е. определитель второго порядка равен произведению элементов, находящихся на главной диагонали минус произведение элементов, находящихся на побочной диагонали.

Вычисление определителей третьего порядка можно произвести различными способами. Рассмотрим их подробнее с наглядными примерами. Подчеркнем, что первые три способа относятся к вычислению определителей только III-го порядка.

1 способ. По определению (по правилу треугольников).

Рассмотрим сначала в общем виде:

 

 

a

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

12

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

a

21

a

22

a

23

a

a

22

a

a

a

 

a

23

a

21

a

 

a

 

 

 

 

 

11

 

33

12

31

 

 

13

32

 

 

 

a

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

32

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

22

a

a

a

23

a

a

a

21

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

 

 

13

11

 

 

32

 

33

 

12

 

Схематическая запись этого правила выглядит следующим образом:

 

+

 

 

 

 

 

О

О

О

 

О

О

О

 

 

 

О

О

О

 

О

О

О

 

О

О

О

 

О

О

О

 

 

 

 

4

 

 

 

 

2 способ. По правилу Саррюса.

a11

a12

a13

a11

a12

 

 

 

 

 

3 a21

a22

a23

a21

a22 a11 a22

a33

a12 a23

a31

a13

a21 a32

a31

a32

a33

a31

a32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a13 a22

a31

a11 a23

a32

a12

a21 a33

Схематически:

ОО О О О

ОО О О О

О О О О О

+

В результате этот способ сводиться к подсчету по определению, т.е. к I способу.

3 способ. По правилу Фридерищева.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

a

 

 

a

 

 

a

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

11

12

12

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

12

13

 

 

 

1

 

a21

a22

a22

a23

 

 

 

a

 

 

 

a

 

a

 

 

 

 

 

3

21

 

22

23

a

 

a

 

 

a

 

 

a

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a

 

a

 

 

 

22

 

21

22

22

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

 

32

33

 

 

 

 

 

 

a

 

 

a

 

 

a

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

32

32

33

 

 

 

 

1

 

a

 

a

22

a

 

 

a

21

a

a

23

a

22

a

 

 

 

 

11

 

 

12

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

13

 

 

a

 

 

a

 

 

a

a

 

 

a

 

a

 

a

a

 

a

 

 

 

 

22

21

22

31

22

23

 

 

 

 

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

33

 

 

 

32

 

4 способ. Вычисление определителя с помощью разложения по элементам ряда.

Если первые три способа относятся к вычислению определителей только третьего порядка, то этот способ и следующие применимы и к определителям третьего и выше порядков.

Итак, определитель равен сумме произведений элементов любого ряда на их алгебраические дополнения:

a11

a12

a13 ...a1n

a21

a22

a23 ...a2n

n a31

a32

a33 ...a3n (по элементампервой строки)

..........................

an1 an2 an3 ...ann

a11 A11 a12 A12 a13 A13 ... a1n A1n (по элементампервого столбца)

a11 A11 a21 A21 a31 A31 ... an1 An1 (по элементамвторой строки) ...и т.д.

5

Введем новые понятия:

 

 

 

 

 

 

здесь A11; A12; ... A1n ... Ann

- это алгебраические дополнения, каждое из которых

соответствует элементу, т.е. A11

соответствует элементу a11, Aij

элементу aij .

Алгебраические дополнения определяются по формуле:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i j

M

 

 

 

 

 

A 1

ij

 

 

 

 

ij

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где M ij - минор, также соответствующий элементу.

Минором

M ij элемента

aij

называется

определитель n 1 -го

порядка

полученный из

определителя

n -го порядка

n вычеркиванием i

строки и

столбца (на пересечении которых стоит элемент).

n 1 , j -го

5 способ. Вычисление определителя методом обнуления элементов какого-либо

ряда.

В этом способе используется 7-е свойство определителей (из раздела 1.1). Способ будем рассматривать на примерах.

6 способ. Приведение определителя к треугольному виду.

В этом способе также используется 7-е свойство определителей (из раздела 1.1). Способ будем рассматривать на примерах.

Пример 1.1.

Вычислить определитель третьего порядка:

8

5

1

4

3

1

 

2

1

5

1 способ. По определению:

 

5 1

 

 

 

8

 

 

4

3 1

 

8 3 5 5 1 2 4 1 1 2 3 1 8 1 1

 

2

1

5

 

 

 

 

 

 

 

4 5 5 120 10 4 6 8 100 16

6

2

способ. По правилу Саррюса:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

5

1

 

8

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

3

1

 

4

3 8 3 5 5 1 2 1 4 1 1 3 2 8 1 1

 

 

2

1

5

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 4 5 120 10 4 6 8 100 16

 

 

 

3

способ. По правилу Фридерищева:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 5

1

 

 

 

 

8 5

5

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

4

3

3

1

 

1

 

24 20

5 3

 

1

 

4

8

 

1

 

 

48

 

4

3

1

 

 

 

 

 

 

64

16

16

3

4

3

3

1

3

4 6

15 1

3

2

16

3

3

2

1

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

1

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

способ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а). Разложив по элементам третьей строки:

 

8 5

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

3

1 2 A

 

1 A

 

 

5 A

2

 

3 1

M

 

3 2

M

 

 

 

 

 

 

1

 

31

1

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

 

 

 

32

 

 

 

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 3

M

 

 

 

 

2

5 1

 

1

 

8 1

5

 

8 5

 

 

 

 

 

 

 

 

5 1

33

 

3 1

4

1

4

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 5 3 1 8 4 5 24 20 2 8 12 20 16 32 16

 

 

 

 

 

б). Разложив по элементам второго столбца:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 5

1

 

 

5 A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

1 2

 

 

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

3

1

 

3 A

 

 

1 A

 

M

 

M

 

 

 

 

 

1

 

12

3 1

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

22

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2

M

 

 

 

5

 

4 1

 

3

 

 

 

8 1

 

1

 

 

8

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1

32

 

2

 

5

 

2

5

 

 

4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 20 2 3 40 2 8 4 5 22 3 38 12 110 114 12 16

5 способ.

а). Получив нули в третьем столбце.

Когда получают нули в столбце, то работают со строчками. Схематически будем работать так:

7

8

5

1 1

5

4

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

5

 

 

 

 

 

 

Это означает, что

элементы первой строки умножим на

1

и сложим с

соответствующими элементами второй строки, затем элементы первой строки умножим на 5 и сложим с соответствующими элементами третьей строки.

Итак:

 

 

8

5

1

 

 

 

 

 

 

12

8

0

 

 

 

 

38

24

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь вычислим определитель, разложенный по элементам третьего столбца:

1 A

1 M

 

 

12

8

4 2

3

2

8 36

38 16

13

 

 

 

 

13

 

 

38

24

 

19

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б). Получив нули во второй строке (значит будем работать со столбцами).

8

5

1

12

8

1

 

 

 

12

8

 

4

3

1

0

0

1 1 A

M

 

 

 

23

 

 

 

 

 

 

 

23

 

 

22

16

 

2

1

5

22

16

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

+

4

 

 

 

 

 

4 2

3

2

8 24 22 16

 

 

11

8

 

6 способ.

Преобразовав его к треугольному виду:

8 5

1 1 5

8

5

1

 

8

5

1

 

4

3

1

 

 

12 8

0

3 12

8

0

1 8 2 16

 

 

2

1

5

 

 

38 24

0

 

2

0

0

 

Можно еще раз убедиться в том, что вычисляя один и тот же определитель любым способом, мы получили одно и то же число 16 .

Пример 1.2.

Вычислить определитель четвертого порядка

8

1)Получив нули в 1 строке (значит работать будем со столбцами)

2)Приведя к треугольному виду

 

1

2

3

2

1

0

0

0

 

 

9

15

6

 

4

1

3

2 4

9

15

6 1 A M

 

1)

11

5

9

7

 

2

1

3

3

2

5

9

7

11

 

 

 

 

 

 

5

8

10

 

4

3

4

2

4

5

8

10

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

5

2

 

 

1 3

 

3

5

2

 

3 1 A

 

3 M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

5

 

 

9

7

 

 

 

5

9

7

 

3 A

 

3M

 

 

5

 

 

8

10

 

 

 

 

 

 

 

0

1

3

 

32

33

 

32

 

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

2

3

3

5

 

3

21 10 3 27 25 3 11 6 3 17 51

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

7

 

 

 

 

 

5

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

1

2

3

2 4

2

4

1

2

3

2

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

1

3

2

 

 

 

 

0

9

15

6

 

 

 

 

 

2

1

3

3

 

 

 

0

5

9

7

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

3

4

2

 

 

 

 

0

5

8

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

2

 

 

 

1

2

3

2

 

 

 

 

 

 

0

9

15

6

 

 

 

0

9

15

6

1 9

2

 

51

51

 

 

2

 

 

11

 

 

1

 

 

2

 

11

 

0

0

 

 

 

 

0

0

 

 

3

6

 

3

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

 

20

 

 

 

0

0

0

51

 

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАНИЯ

Задание 1.1. Вычислить определитель третьего порядка:

а) по определению (по правилу треугольников); б) по правилу Саррюса; в) по правилу Фридерищева;

г) разложением по элементам i-й строки; д) разложением по элементам j-го столбца;

е) получив нули в любой строке или любом столбце;

9

ж) преобразовав его к треугольному виду.

 

 

 

2

3

1

 

 

i 3;

 

 

 

1.1

 

4

5

2

 

 

 

 

 

1

0

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

1

1.2

 

1.3

 

1.4

 

1.5

 

1.6

 

1.7

 

1.8

1.9

1

4

1

1

3

2

2

2

6

1

2

6

1

2

3

2

2

3

2

2

3

5

3

3

1

4

2

3

5

1

4

3

1

2

1

5

2

3

1

3

4

1

 

 

3

2

2

1

1

3

2

3

4

2

1

3

2

1

3

 

 

1

4

2

 

 

3

2

2

 

2

1

 

 

2

 

1

2

3

 

 

3

4

1

 

 

 

 

 

 

 

i 2;

i 1;

i 3;

i 2;

i 1;

i 3;

i 2;

i 1;

j 3

j 1

j 1

j 3

j 3

j 2

j 1

j 3

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]