2125 (Линейная алгебра)

2125 МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Кафедра «Высшая математика»

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Методические указания и контрольные задания для студентов первых курсов всех специальностей очной формы обучения

Составители: О.Е. Лаврусь А.Ю. Сеницкий Е.Н. Бесперстова

Самара

2008

1

УДК 512.64

Линейная алгебра : методические указания и контрольные задания для студентов первых курсов всех специальностей очной формы обучения. – Самара : СамГУПС, 2008.

– 56 с.

Утверждено на заседании кафедры «Высшая математика» 05.12.2007г., протокол №3.

Печатается по решению редакционно-издательского совета университета.

Сборник составлен в соответствии с Государственным образовательным стандартом и типовой программой по высшей математике и охватывает раздел общего курса: дифференциальное исчисление.

Предназначен для студентов всех специальностей.

Составители: к.т.н., доцент Ольга Евгеньевна Лаврусь к.ф.-м.н. Александр Юрьевич Сеницкий ст. преп. Елена Николаевна Бесперстова

Рецензенты: к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной математики и информатики СамГТУ Е.Н. Огородников; к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей математики СамГУПС Ф.С. Миронов

Под редакцией В.А. Герасимова Компьютерная верстка Р.Р. Абрамян

Подписано в печать29.05.2008. Формат 60х84 1/16. Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. п. л. 3,5. Тираж 500 экз. Заказ № 88.

© Самарский государственный университет путей сообщения, 2008

2

I.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Определение и свойства определителя

Определителем n -го порядка называется число квадратной таблицы:

n

, записываемое в виде

	a11		a12		a13	...a1 j	a1n
	a21		a22		a23	...a2 j	a2n
	n ..................................
	ai1		ai2 ai3 ...aij				ain
	an1		an2 an3			...anj ann
Здесь aij i; j				- элемент определителя,
		1,n
где	i - номер строки,
	j - номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент.
	Любую строку или столбец определителя также называют рядом.
	Порядок определителя равен числу строк или столбцов, из которых он состоит.
	Элементы			a11;a22 ;a33...ann				образуют главную диагональ, другая диагональ

называется побочной.

Основные свойства

1)Определитель с двумя одинаковыми параллельными рядами равен нулю;

2)Если все элементы некоторого ряда определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя;

3)Определитель, у которого элементы двух параллельных рядов соответственно пропорциональны, равен нулю

Например

1	2	1		1	2
4	8	4	4	1	2
5	7	1		5	7

-1

-1

1

0

;

4)Если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то определитель равен нулю;

5)Значение определителя не изменится, если поменять все строки на соответствующие столбцы и наоборот

-1	7	3	-1	2	- 3
Например 2	4	2 7		4	5 ;
- 3	5	1	3	2	1

3

6)Если поменять местами два параллельных ряда определителя, то он изменит свой знак

Например

-1	7	3	3	7	-1
2	4	2	2	4	2
- 3	5	1	1	5	- 3

(поменяли местами 1-й и 3-й столбцы);

7)Величина определителя не изменяется, если к элементам какого-либо ряда прибавить соответствующие элементы другого параллельного ему ряда, умноженные на одно и то же число.

Вычисление определителей

Вычисление определителей зависит от порядка определителя. Рассмотрим вычисление определителя второго порядка:

			a		a
			11		12		a	a
	2								22
			a		a		11
				21		22

a21

a12

,

т.е. определитель второго порядка равен произведению элементов, находящихся на главной диагонали минус произведение элементов, находящихся на побочной диагонали.

Вычисление определителей третьего порядка можно произвести различными способами. Рассмотрим их подробнее с наглядными примерами. Подчеркнем, что первые три способа относятся к вычислению определителей только III-го порядка.

1 способ. По определению (по правилу треугольников).

Рассмотрим сначала в общем виде:

		a		a		a
		11		12		13
	3	a	21	a	22	a	23	a	a	22		a	a	a		a	23	a	21	a		a
								11				33	12	31						13		32
		a		a		a
		31		32		33
								a	a		22	a	a	a	23	a		a		a	21	a
								31				13	11				32		33			12

Схематическая запись этого правила выглядит следующим образом:

	+				–
О	О	О		О	О	О
О	О	О		О	О	О
О	О	О		О	О	О
			4

2 способ. По правилу Саррюса.

a11	a12	a13	a11	a12
3 a21	a22	a23	a21	a22 a11 a22	a33	a12 a23	a31	a13	a21 a32
a31	a32	a33	a31	a32
				a13 a22	a31	a11 a23	a32	a12	a21 a33

Схематически:

–

ОО О О О

ОО О О О

О О О О О

+

В результате этот способ сводиться к подсчету по определению, т.е. к I способу.

3 способ. По правилу Фридерищева.

																		a			a			a			a
			a					a		a								11			12			12			13
				11				12		13					1			a21			a22			a22			a23
		a						a		a
	3				21				22		23			a				a			a			a			a
			a					a		a						22			21			22			22			23
				31				32		33								a			a			a			a
																		31			32			32			33
			1			a			a	22	a				a		21	a			a		23	a		22	a
						11						12							12									13
			a			a			a		a				a			a			a			a			a
				22			21						22				31			22						23
										32													33					32

4 способ. Вычисление определителя с помощью разложения по элементам ряда.

Если первые три способа относятся к вычислению определителей только третьего порядка, то этот способ и следующие применимы и к определителям третьего и выше порядков.

Итак, определитель равен сумме произведений элементов любого ряда на их алгебраические дополнения:

a11	a12	a13 ...a1n
a21	a22	a23 ...a2n
n a31	a32	a33 ...a3n (по элементампервой строки)
..........................

an1 an2 an3 ...ann

a11 A11 a12 A12 a13 A13 ... a1n A1n (по элементампервого столбца)

a11 A11 a21 A21 a31 A31 ... an1 An1 (по элементамвторой строки) ...и т.д.

5

Введем новые понятия:
здесь A11; A12; ... A1n ... Ann	- это алгебраические дополнения, каждое из которых
соответствует элементу, т.е. A11	соответствует элементу a11, Aij					элементу aij .
Алгебраические дополнения определяются по формуле:
		i j	M
		A 1		ij
		ij

где M ij - минор, также соответствующий элементу.

Минором	M ij элемента	aij	называется	определитель n 1 -го	порядка
полученный из	определителя	n -го порядка		n вычеркиванием i -й	строки и

столбца (на пересечении которых стоит элемент).

n 1 , j -го

5 способ. Вычисление определителя методом обнуления элементов какого-либо

ряда.

В этом способе используется 7-е свойство определителей (из раздела 1.1). Способ будем рассматривать на примерах.

6 способ. Приведение определителя к треугольному виду.

В этом способе также используется 7-е свойство определителей (из раздела 1.1). Способ будем рассматривать на примерах.

Пример 1.1.

Вычислить определитель третьего порядка:

8		5	1
4		3	1
	2	1	5
1 способ. По определению:
		5 1
	8
	4	3 1			8 3 5 5 1 2 4 1 1 2 3 1 8 1 1
	2	1	5
					4 5 5 120 10 4 6 8 100 16

6

	2	способ. По правилу Саррюса:
				8	5	1				8	5
			4		3	1				4	3 8 3 5 5 1 2 1 4 1 1 3 2 8 1 1
			2		1	5				2	1
											5 4 5 120 10 4 6 8 100 16
	3	способ. По правилу Фридерищева:
	8 5			1						8 5		5	1
						1		4			3	3	1		1		24 20	5 3		1		4	8		1			48
	4	3		1																						64	16		16
						3		4			3	3	1		3		4 6	15 1		3		2	16		3			3
	2	1		5
								2			1	1	5
	4	способ.

а). Разложив по элементам третьей строки:

	8 5		1
4		3	1 2 A								1 A						5 A				2					3 1				M			3 2	M
																									1							31	1			32
								31						32					33
	2	1	5
		3 3	M						2	5 1						1				8 1		5				8 5
5 1					33					3 1									4		1					4			3
2 5 3 1 8 4 5 24 20 2 8 12 20 16 32 16
б). Разложив по элементам второго столбца:
	8 5		1			5 A															5					1 2							2 2
	4	3	1								3 A						1 A													M					M
																									1							12	3 1				22
								12						22					32
	2	1	5
		3 2	M				5		4 1				3				8 1			1				8		1
1 1				32					2		5				2			5						4		1

5 20 2 3 40 2 8 4 5 22 3 38 12 110 114 12 16

5 способ.

а). Получив нули в третьем столбце.

Когда получают нули в столбце, то работают со строчками. Схематически будем работать так:

7

8	5	1 1		5
4	3	1
2	1	5
Это означает, что			элементы первой строки умножим на

1

и сложим с

соответствующими элементами второй строки, затем элементы первой строки умножим на 5 и сложим с соответствующими элементами третьей строки.

Итак:

		8	5	1
		12	8	0
		38	24	0

Теперь вычислим определитель, разложенный по элементам третьего столбца:

1 A	1 M			12	8	4 2	3	2	8 36	38 16
		13
13				38	24		19	12

б). Получив нули во второй строке (значит будем работать со столбцами).

8	5	1	12	8	1				12	8
4	3	1	0	0	1 1 A	M
							23
					23				22	16
2	1	5	22	16	5

			+ 3
		+	4
4 2		3	2		8 24 22 16
		11	8

6 способ.

Преобразовав его к треугольному виду:

8 5		1 1 5			8	5	1		8	5	1
4	3	1			12 8		0	3 12		8	0	1 8 2 16
2	1	5			38 24		0		2	0	0

Можно еще раз убедиться в том, что вычисляя один и тот же определитель любым способом, мы получили одно и то же число 16 .

Пример 1.2.

Вычислить определитель четвертого порядка

8

1)Получив нули в 1 строке (значит работать будем со столбцами)

2)Приведя к треугольному виду

	1	2	3	2	1	0	0	0			9	15	6
	4	1	3	2 4		9	15	6 1 A M
1)										11	5	9	7
	2	1	3	3	2	5	9	7	11
											5	8	10
	4	3	4	2	4	5	8	10

2			+
3					+
2						+
		3			5	2				1 3					3	5	2		3 1 A		3 M
3	5				9	7									5	9	7			3 A			3M
	5				8	10									0	1	3		32	33		32		33
		3			2	3				3		5			3	21 10 3 27 25 3 11 6 3 17 51
3
		5			7						5	9

2)

1	2	3	2 4		2		4	1	2	3	2		5
4	1	3	2					0	9	15	6
2	1	3	3					0	5	9	7		9
4	3	4	2					0	5	8	10

	1	2	3			2					1	2	3		2
	0	9	15			6					0	9	15		6		1 9	2		51	51
			2			11			1				2		11
	0	0									0	0						3		6
				3			3							3
															3
									2
	0	0	1			20					0	0	0		51
					3		3									6

ЗАДАНИЯ

Задание 1.1. Вычислить определитель третьего порядка:

а) по определению (по правилу треугольников); б) по правилу Саррюса; в) по правилу Фридерищева;

г) разложением по элементам i-й строки; д) разложением по элементам j-го столбца;

е) получив нули в любой строке или любом столбце;

9

ж) преобразовав его к треугольному виду.

			2	3	1			i 3;
1.1			4	5	2
			1	0	7

j

1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

1	4	1
1	3	2
2	2	6
1	2	6
1	2	3
2	2	3
2	2	3
5	3	3
1	4	2
3	5	1
4	3	1
2	1	5
2	3	1
3	4	1
3	2	2
1	1	3
2	3	4
2	1	3
2	1	3
1	4	2
3	2	2
	2	1
2
1	2	3
3	4	1

i 2;

i 1;

i 3;

i 2;

i 1;

i 3;

i 2;

i 1;

j 3

j 1

j 1

j 3

j 3

j 2

j 1

j 3

10