2125 (Линейная алгебра)

				1	2	3
1.10				3	5	3
				2	4	6
			3		2	1
1.11			4		3	2
				1	2	5
			2		6	5
1.12	1				1	2
				2	3	1

	2	5	1
1.13	1	2	4
	1	2	2

		2	1	1
1.14	2		3	4
		1	3	2
		5	4	1
1.15		1	1	2
		2	3	3
		1	4	3
1.16		2	1	5
		2	3	4
		3	2	5
1.17	4		1	2
		1	1	2
		1	4	3
1.18	2		2	1
		2	6	3
			4	1
		3
1.19		2	1	3
		2	5	1

i 1;

i 3;

i 2;

i 3;

i 3;

i 2;

i 1;

i 3;

i 2;

i 3;

j 1

j 3

j 2

j 1

j 2

j 1

j 2

j 1

j 3

j 3

11

1.20

1.21

1.22

1.23

1.24

1.25

1.26

1.27

1.28

1		2	2
4		3	1
2		2	3
3		2	5
4		2	3
1		1	2
1		4	4
	2	3	2
1		1	3
	1	2	3
	4	1	5
	1	1	4
1		4	2
5		1	3
3		2	5
1		3	4
6		6	5
1		2	3
5		3	1
2		1	4
3		5	4
	2	1	2
3		1	4
2		2	3
1		1	3
2		2	4
5		4	2

i 1;

j 3

i 3;

j 2

i 1;

j 1

i 3;

j 2

i 1;

j 2

i 3;

j 1

i 2;

j 3

i 2;

j 2

i 1;

j 1

12

1.29

1.30

			3	1	2
			5	4	1
			1	2	2
		2		2	1
		3		1	5
		2		3	1

i 3;

i 1;

j 2

j 2

Задание 1.2. Вычислить определитель четвертого порядка:

а) получив нули в i-й строке; б) получив нули в j-й столбце;

в) преобразовав его к треугольному виду.

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

	4	1	2	0
2		1	2	3
	3	1	1	1
2		1	2	3
	1	2	3	4
	2	0	1	1
	3	3	1	4
	4	2	1	2
6		0	1	1
2		2	1	1
	1	1	2	3
4		1	1	2
2		2	0	3
3		2	1	1
1		1	2	1
3		4	4	1
3		5	1	2
0		1	1	2
3		1	3	4
1		2	1	2

i 2;

i 4;

i 1;

i 3;

i 4;

j 2

j 3

j 2

j 4

j 1

13

2.6

2.7

2.8

2.9

2.10

2.11

2.12

2.13

4	3	2		1
2	1	4		3
0	4	1		2
5	2	1		1
4	1	2		0
1	2	1		1
3	1	2		1
5	4	4		2
4	1	2		0
1	2	1		1
3	4	2		5
3	1	2		4
1	2	0	4
2	3	1	1
3	1	2	4
2	5	1	3
1	1	2		3
1	2	0		3
2	3	1		4
2	3	2		4
1	2	3		4
2	1	4		3
3	4	1		2
4	3	2		0
1	2	4		1
2	3	0		3
2	2	1		4
3	1	2		1
6	2	1		4
5	1	4		1
2	4	2		6
3	0	5		1

i 2;

i 3;

i 4;

i 1;

i 2;

i 4;

i 4;

i 4;

14

j 3

j 2

j 4

j 3

j 3

j 2

j 3

j 2

		5	0	4		2
2.14		1	1	2		1
		4	1	2		5
		1	1	3	4
		1	1	0		3
2.15		3	2	1	1
		1	2	5		4
		4	1	1		2
		5	1	2	3
2.16		4	1	2	4
		1	1 1		0
		4	1	2 5
		3	1	2		0
2.17		5	3	6		1
		2	2	1		3
		1	3	2		1
		1	6	2	3
2.18		3	2	0		4
		5	3	1		1
		3	2	1		2
			1	2		0
		3
2.19		5	1	6		1
		2	2	1		3
		1	3	2		1
		1	6	3		1
2.20		4	2	3		2
		3	0	2		1
		3	1	4		3

i 2;

j 4

i 1;

j 3

i 3;

j 2

i 1;

j 4

i 3;

j 3

i 1;

j 4

i 3;

j 2

15

		5	3			6	1
2.21		3	2			0	2
		2	1			4	6
		3	2			1	1
		4	1			1	5
2.22		0	2			2	3
		3	4			1	2
		4	1			1	2
		0	4			1	1
2.23		4	2			1	3
		1	1			2	2
		1	3			4	3
		0	2				1	7
2.24		4	6				2	3
		5	1			5		4
		2	3				2	1
		3	2			0	3
2.25		1	1			2	3
		4	5			1	1
		4	2			3	3
		2	1			2	0
2.26		3	4			1	2
		3	4			1	1
		1	2			5	2
		3	2			0	5
2.27		4	3			5	1
		1	1			2	3
		2	1			3	4
		2	5		2		1
2.28		1	1	1			0
		3	4	2			3
		1	5	1			4

i 4;

i 4;

i 1;

i 1;

i 2;

i 1;

i 3;

i 2;

16

j 3

j 2

j 3

j 2

j 3

j 4

j 1

j 4

		4	5		1	0
2.29		3	2		6	2
		5	3		1	1
		2	4		2	3
		1	1	2		0
2.30		3	6	2		5
		1	1		5	4
		2	3		1	2

i 1;

i 4;

j 4

j 1

17

II. МАТРИЦЫ

Матрицы и операции над ними

Прямоугольная таблица, составленная из

m n

элементов

некоторого множества, называется матрицей и записывается в виде:

aij

i 1, m; j 1, n

		a			a		... a
			11		12		1n
			a		a		... a
	A			21		22		2n
		.....................
					am2
		am1					... amn

или

	a		a	... a
		11	12	1n
	a21		a22	... a2n
	A
		.....................
			am2
	am1			... amn

Индексы элемента: i - номер строки, j

- номер столбца.

Матрицы обозначают прописными буквами латинского алфавита A, B, C,...

Размерность матрицы m n , где m - число строк; n - число столбцов. Краткая запись:

Am n .

Матрица называется числовой, если её элементы aij - числа; функциональной, если aij - функции; векторной, если aij - векторы и т.д.

Если

при

при

m n - матрица квадратная;

m n - матрица прямоугольная;

m 1 - матрица-строка (или вектор-строка); n 1 - матрица-столбец (или вектор-столбец);

Квадратная матрица, по главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной и обозначается E . Единичная матрица обладает свойством:

E A

Матрицы равны тогда и только тогда, соответствующие элементы совпадают.

A E A.

когда они имеют одинаковую размерность и

Линейные операции над матрицами

1.Умножение матрицы на число. Чтобы умножить матрицу на число, нужно все элементы матрицы умножить на это число.

2.Сложение и вычитание матриц. Эти операции определяются только для матриц одинаковой размерности.

Суммой (разностью) матриц A и B , обозначаемой A B ( A B ) называется матрица C , элементы которой cij aij bij ( cij aij bij ).

Например. Найти линейную операцию C 2A 3B ,

18

если

3		2
A	2	4
	2	1

1 3 1

,

		0	1
	B	4	5
		1	2

	1
	2
	4

.

Итак, согласно первому и второму пунктам:
			3		2	1		0			1	1			6			4	2			0	3	3
C 2				2	4	3		3	4		5	2				4		8	6			12	15	6
				2	1	1			1		2	4				4		2	2			3	6	12
6 0					4 3			2 3			6			7			5
	4		12		8 15			6	6		16		23				0
	4	3			2 6			2 12				1		8			14

3.Умножение матриц. Эта операция не относиться к линейной.

Произведением матриц	Am n	и	Bn p	называется матрица
(проще записывается AB ), элементы которой
				n
			cij aik bkj ,
				k 1

C	m p	A	B
		m n	n p

где aik , bkj - элементы матриц A и B - соответственно.
Отсюда следует, что произведение		A B существует только в случае, когда первый
множитель A имеет число столбцов равное числу строк второго множителя B .
Далее, число строк матрицы C AB			равно числу строк	A ,	а число столбцов –
числу столбцов B .
Из существования произведения AB			не следует существования произведения
BA . Как правило,	AB BA. Если	AB BA , то матрицы		A	и	B	называются
перестановочными (или коммутирующими). Известно, что всегда					AB C A BC .

Например. Даны матрицы

	1	1
A
	3	1

0 5

	0	7
и B	3	4		. Найти
	1	0

A B

и B

A

.

( A B выполняется, так как число столбцов A равно числу строк B )
1	1 0		0	7				1 0 1 3 0 1	1 7 1 4 0 0	3	11
A B			3	4			3	0 1 3 5 1 3			17
3	1 5								7 1 4 5 0	2
			1	0

( B A выполняется, так как число столбцов B равно числу строк A )

19

	0		7		1			0			0 1 7 3		0 1 7 1	0 0 7 5			21		7	35
B A		3	4				1					3 1 4 3	3 1 4 1	3 0 4 5				15	1	20
						3	1	5
		1	0									1 1 0 3	1 1 0 1	1 0 0 5				1	1	0

Элементарные преобразования матрицы. Ранг матрицы

	Введем понятие ранга матрицы. Выделим в матрице A	k -строк и k -столбцов,	где
k	- число, меньшее или равное меньшему из чисел m и n	. Определитель порядка	k ,

составленный из элементов, стоящих из пересечения выделенных			k -строк и k -столбцов,
называется минором или определителем, порожденным матрицей				A .
Рангом матрицы	A (обозначается	rangA) называется		наибольший порядок

порожденных ею определителей, отличных от нуля.

Ранг матрицы не изменится, если:

1)поменять местами любые два параллельных ряда;

2)умножить (разделить) каждый элемент ряда на один и тот же множитель

(делитель)

0

;

3)прибавить к элементам ряда соответствующие элементы любого другого параллельного ряда, умноженные на один и тот же множитель;

4)Ряд, состоящий из нулей, отбрасывается.

Преобразования 1-4 называются элементарными. Две матрицы называются эквивалентными, если одна матрица получается из другой с помощью элементарных преобразований. Эквивалентность матриц A и B обозначается A ~ B .

Базисным минором матрицы называется всякий отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу данной матрицы.

Рассмотрим основные методы нахождения ранга матрицы.

1. Метод единиц и нулей. С помощью элементарных преобразований можно любую матрицу привести к виду, когда каждый ее ряд будет состоять только из нулей, или нулей и одной единицы. Тогда число оставшихся единиц и определит ранг исходной матрицы, так как полученная матрица будет эквивалентна исходной.

Пример 2.1. Найти ранг матрицы методом единиц и нулей.

		1	1	2	3
		2	1	0	4
	A
		1	1	0	3
		6	3	4	8

	1
	5
	2
	3

~

1 шаг.

Разделим элементы третьего столбца на 2, затем первую строку умножим на 2 и сложим с четвертой строкой. Получим новую эквивалентную матрицу:

20