2125 (Линейная алгебра)
.pdf
|
1 |
1 |
1 |
3 |
|
|
2 |
1 |
0 |
4 |
|
|
|||||
~ |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
||
|
4 |
1 |
0 |
2 |
|
|
1 |
|
|
5 |
|
|
|
||
2 |
|
|
|
||
|
||
1 |
|
|
|
~
2 шаг.
Теперь четвертую строчку складываем со второй и с третьей. Получим новую эквивалентную матрицу:
|
1 |
1 |
1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
0 |
0 |
2 |
6 |
|
|
~ |
3 |
0 |
0 |
1 |
3 |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
2 +
+ 4 + |
|
3 шаг. |
2 |
Умножим элементы второго столбца на |
столбца. Затем умножим элементы второго
и сложим с элементами четвертого |
||
столбца на |
4 |
и сложим с |
соответствующими элементами первого столбца. И окончательно элементы второго столбца сложим с соответствующими элементами пятого столбца. Получим новую эквивалентную матрицу:
3 |
1 |
1 |
1 |
||
|
6 |
0 |
0 |
2 |
|
|
|||||
~ |
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
||
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2
~
4 шаг.
Умножим элементы третьей строки на
2
и сложим с соответствующими
элементами второй строки. Получим новую эквивалентную матрицу:
3 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|||||
~ |
3 |
0 |
0 |
1 3 |
~ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
+
21
5 шаг.
Сложим элементы пятого столбца с соответствующими элементами первого столбца. Получим новую эквивалентную матрицу:
3 |
1 |
||
|
0 |
0 |
|
|
|||
~ |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|||
|
|
||
|
0 |
1 |
|
|
+
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 0
3
0 |
|
|
0 |
|
|
|
||
3 |
|
|
|
||
|
||
0 |
|
|
|
~
6 шаг.
Умножим элементы третьего столбца на 3 и сложим с соответствующими элементами первого столбца. Получим новую эквивалентную матрицу:
|
0 |
|
|
0 |
|
|
||
~ |
|
|
|
0 |
|
|
||
|
||
|
0 |
|
|
1 0 0
1 +
1 0 0
0
1
1 01 0
+
0 |
|
|
0 |
|
|
|
||
3 |
|
|
|
||
|
||
0 |
|
|
|
~
7 шаг.
Умножим на
1
элементы третьего столбца и сложим с соответствующими
элементами второго и четвертого столбцов. Получим новую эквивалентную матрицу:
|
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|||
~ |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|||
|
|
||
|
0 |
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
3 |
0 |
0 |
0 |
3 +
1
~
8 шаг. |
|
Умножим элементы четвертого столбца на |
элементами пятого столбца. Затем просто умножим1 . Получим новую эквивалентную матрицу:
3 |
и сложим с соответствующими |
элементы четвертого столбца на
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
- rangA 3, так как осталось 3 единицы. |
|||||
~ |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
22 |
2. Метод окаймляющих миноров. Минор
M k 1
порядка
k
1
, содержащий
в
себе минор M k |
порядка k , называется окаймляющим минором |
существует минор M k 0 , а все окаймляющие его миноры |
M k 1 |
Найдем этим методом rang из предыдущего примера. |
|
M k . Если у матрицы
0 , то rangA k .
A
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
0 |
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
1 |
|
0 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
6 |
|
3 |
|
4 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Начнем с левого верхнего угла: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
M 2 |
1 |
1 |
1 |
2 3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M3 |
2 |
|
1 |
0 4 2 6 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
3 |
2 |
|
1 |
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
4 |
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
1 |
0 |
4 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
0 |
4 |
|
|
|
|
|
||||||
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 A |
|
2 |
1 |
1 |
3 |
||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
3 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
3 |
|
4 |
8 |
|
|
|
|
4 |
1 |
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 4 12 4 16 6 2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Как видно, что эта матрица содержит всего два минора 4-го порядка. Проверим |
||||||||||||||||||||||||||||
второй: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
1 2 |
1 |
2 |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
5 |
||||||
|
|
1 |
0 |
4 |
5 |
|
|
|
|
1 |
0 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
A |
2 |
1 1 |
3 |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
0 |
3 |
2 |
|
|
|
|
1 |
0 |
3 |
2 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
||||||||||||||
|
|
|
3 |
4 |
|
8 |
|
3 |
|
|
|
1 |
0 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 3 8 10 15 4 4 0
То есть
rangA 3
23
ЗАДАНИЯ
Задание 2.1. Найти ранг матрицы
1)Методом единиц и нулей;
2)Методом окаймляющих миноров.
|
|
2 |
1 |
3 |
|
|
2 |
|
4 |
|
|
||||
|
|
4 |
2 |
|
2 |
|
|
1 |
|
7 |
|
|
|||
1. |
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||
|
2 |
1 |
|
1 |
|
|
8 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
2 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
1 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4 |
7 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
4 |
|
5 |
|
1 |
|
|
|
||||
|
4 |
2 |
1 |
2 |
|
4 |
|
|
|
||||||
5. |
|
|
|
; |
|
||||||||||
|
1 |
|
3 |
3 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
6 |
1 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
3 |
4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
10 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
5 |
8 |
14 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
1 |
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
2 |
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
8 |
|
5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
2 |
5 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
4 |
1 |
1 |
3 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
11. |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||
|
2 |
3 |
4 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
6 |
4 |
5 |
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24
|
|
1 |
1 |
5 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
3 |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|||
2. |
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||
|
3 |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
7 |
9 |
7 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
1 |
11 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
0 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
||||
4. |
|
|
; |
|
|
|
||||||||
|
11 |
4 |
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
1 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
2 |
9 |
19 |
1 |
|
|
||||||
|
|
1 |
0 |
3 |
|
5 |
|
1 |
|
|
||||
6. |
|
|
|
|
; |
|||||||||
|
2 |
1 |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
1 |
3 |
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
|
0 |
2 |
6 |
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
2 |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
3 |
4 |
6 |
|
|
|
|
|
|||
10. |
|
|
; |
|
|
|
||||||||
|
4 |
0 |
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
1 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
2 |
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||
|
4 |
8 |
17 |
7 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
5 |
10 |
16 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
7 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|||
13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||
|
5 |
0 |
10 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4 |
6 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
3 |
2 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4 |
2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
6 |
5 |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|||
|
|
0 |
1 |
1 |
|
3 |
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|||||
17. |
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
5 |
5 |
2 |
|
|
7 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||
|
|
3 |
3 |
4 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
19. |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||
|
5 |
5 |
|
7 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
2 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
0 |
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
21. |
|
1 |
1 |
8 |
|
8 |
|
; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
5 |
3 |
0 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
3 |
1 |
|
2 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
23. |
|
4 |
3 |
|
0 |
|
2 |
; |
|
|
|
|
||||||
|
2 |
7 |
5 |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
2 |
1 |
|
8 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
8 |
7 |
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
2 |
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
25. |
|
2 |
3 |
2 |
3 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
3 |
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
5 |
2 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
14. |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
|
1 |
5 |
|
0 |
7 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
5 |
|
7 |
1 |
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
|
7 |
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
5 |
|
1 |
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
3 |
|
|
||
16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
5 |
|
|
|
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
3 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
1 |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4 |
0 |
4 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
18. |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
1 |
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
1 |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. |
|
|
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
2 |
|
5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
5 |
4 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
0 |
|
1 |
|
|
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
||
|
|
3 |
|
2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
22. |
|
|
|
|
3 |
; |
|
|
||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
6 |
|
4 |
2 |
|
4 |
|
6 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
8 |
6 |
|
1 |
4 |
|
6 |
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||
24. |
|
4 |
3 |
|
2 |
|
|
|
3 |
; |
|
|||||||
|
8 |
6 |
7 |
4 |
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4 |
3 |
5 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
1 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
26. |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4 |
1 |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
|
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
3 |
2 |
1 |
|
0 |
|
27. |
|
|
|
||||
|
1 |
2 |
4 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
7 |
5 |
0 |
|
|
|
|
|
3 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
29. |
|
9 |
8 |
1 |
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
15 |
6 |
0 |
|
|
|
|
1 |
6 |
7 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1
1
;
|
|
2 |
|
|
|
5 |
|
28. |
|
||
|
4 |
||
|
|||
|
|
||
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
30.4
1
2
4 |
0 |
3 |
|
|
3 |
1 |
2 |
|
|
|
; |
|||
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
1 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|||
3 |
1 |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
1 |
|
|
4 |
2 |
7 |
|
|
|
|
Обратная матрица
Квадратная матрица порядка
n
a |
a |
... a |
|
||
|
11 |
12 |
1n |
|
|
|
|
|
|||
a21 |
a22 |
... a2n |
|||
A |
|
|
|
|
|
|
..................... |
||||
|
|
||||
|
|
|
|||
|
|
an2 |
... ann |
|
|
an1 |
|
называется невырожденной,
a11 |
a12 ... a1n |
|
если её определитель (детерминант) det A a21 |
a22 ... a2n |
0 . |
..................... |
|
|
an1 |
an2 ... ann |
|
В случае, когда det A 0, матрица A называется вырожденной.
Только для квадратной невырожденной матрицы A вводится понятие обратной
матрицы A 1 . |
|
|
Матрица A 1 |
называется обратной для квадратной невырожденной матрицы |
A , |
если A A 1 A 1 A E , где E - единичная матрица порядка n . |
|
|
Для матрицы |
A существует единственная обратная матрица, которая определяется |
|
по формуле: |
|
|
где
A*
A 1 |
1 |
|
A* |
|
A 1 |
|
1 |
~ |
|
|
|
|
или |
|
|
A |
, |
||||
det A |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~
или A - союзная или присоединённая матрица, её элементами являются
алгебраические дополнения
Aij
транспонированной матрицы
AT
, т.е. матрицы,
полученной из данной матрицы A заменой её строк столбцами с теми же номерами.
26
AT
a |
a |
21 |
... a |
n1 |
|
|||||
|
11 |
|
|
|
|
|
||||
a |
a |
|
... a |
|
||||||
|
22 |
n2 |
|
|||||||
12 |
|
|
|
|
|
|||||
..................... |
|
|||||||||
|
a |
a |
|
|
... a |
|
|
|
|
|
|
2n |
nn |
|
|||||||
1n |
|
|
,
т.е.
|
A |
A |
... A |
|
|
|
|
11 |
21 |
n1 |
|
|
|
|
|
||
~ |
|
A |
A |
... A |
|
12 |
22 |
n2 |
|||
A |
|
|
|
|
|
|
|
..................... |
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
A |
A |
... A |
|
|
|
|
|||
|
1n |
2n |
nn |
Пример 2.2. Найти обратную матрицу двумя способами: с помощью алгебраических дополнений и путем элементарных преобразований. Сделать проверку.
Дана матрица
Найти: A 1 .
Решение:
|
3 |
7 |
|
|
|
A |
4 |
2 |
|
2 |
3 |
|
7
.
1 способ. С помощью алгебраических дополнений.
Найдем обратную матрицу по формуле |
A |
|
где |
- определитель матрицы A ; |
|
~ |
- союзная или присоединённая |
|
A |
дополнений транспонированной матрицы |
A . |
1 |
|
1 |
~ |
|
|
A , |
|
|
|
|
матрица, состоящая из алгебраических
Согласно существует.
Найдем:
34 2
формуле можно сказать, что если |
0 |
, то обратная матрица не |
7 |
6 3 |
7 |
|
2 |
1 4 |
2 3 2 7 7 1 2 6 4 3 2 2 6 3 1 3 7 4 7 101 0 |
, |
3 |
7 2 |
3 |
|
значит обратная матрица существует.
Составим союзную матрицу, для этого найдем алгебраические дополнения по формуле
A |
i j |
M |
|
1 |
ij |
||
ij |
|
|
A |
|
2 |
|
||
11 |
|
3 |
|
|
4
A12 2
4
A13 2
1 |
11 |
; |
|
7 |
|||
|
|
17 26 ;
23 8 ;
A 7 |
6 31; |
A 7 |
|
6 5; |
|||
21 |
|
3 |
7 |
31 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
||||
A 3 |
|
6 9 ; |
A 3 |
6 21; |
|||
22 |
2 |
|
7 |
32 |
|
4 |
1 |
|
|
|
|
||||
A 3 |
7 5; |
A 3 |
|
7 22 . |
|||
23 |
|
2 |
3 |
33 |
4 |
|
2 |
|
|
|
|
27
Отсюда:
|
|
11 |
31 |
5 |
|
~ |
|
26 |
9 |
21 |
|
A |
|
||||
|
|
8 |
5 |
22 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
31 |
|
|
|
|
|
11 |
31 |
5 |
|
|
101 |
101 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
9 |
A |
|
|
26 |
9 |
21 |
|
|
|
|||||
|
101 |
|
101 |
101 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
8 |
5 |
|
|
|
8 |
|
5 |
||
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
101 |
101 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
101 |
|
||
|
|||
|
21 |
|
|
101 |
|||
|
|||
|
22 |
|
|
101 |
|
||
|
.
2 способ. Основан на элементарных преобразованиях вспомогательной матрицы, которая получается путём приписывания к данной матрице единичной матрицы того же порядка. Схематически это выглядит так:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A E E A |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Итак, запишем матрицу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
7 |
6 1 |
0 |
0 : 3 |
|
1 |
7 |
|
2 |
|
|
0 |
0 |
|
4 2 |
||||
|
1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
2 |
1 0 |
1 |
0 |
~ |
4 |
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
~ |
||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
7 0 |
0 |
1 |
|
2 |
3 |
7 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
7 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
||||
~ |
0 |
22 |
3 |
7 |
4 |
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
5 |
3 |
3 |
2 |
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
3 |
|
||
|
0 |
|
||||
1 |
|
|
|
~ |
||
|
||||||
|
|
|
|
|
22 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
||
|
0 |
|
|
||
|
||
|
0 |
|
|
|
7 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
21 |
22 |
|
2 |
11 |
3 |
22 |
0 |
7 |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5 |
3 |
3 |
|
|
2 |
3 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
3 |
|
|
|
|
~
|
1 |
0 |
|
5 |
22 |
|
1 |
7 |
22 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
~ |
0 |
1 |
21 |
22 |
2 |
11 |
3 |
22 |
0 |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
0 |
101 |
|
4 |
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
11 |
|
22 |
|
|
101 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 0 |
|
5 |
|
|
|
1 |
|
7 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
22 |
|
|
|
11 |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
~ |
0 |
1 |
21 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
11 |
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
5 |
|||||
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
8 |
|
5 |
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
101 |
|
101 |
|
|
101 |
|
|
22 |
|
22 |
28
|
|
|
|
|
11 |
31 |
|
|
5 |
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
101 |
|
101 |
|
101 |
|
|
~ |
|
0 |
1 |
0 |
26 |
|
9 |
|
|
21 |
|
|
101 |
|
101 |
101 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
5 |
22 |
|
||||
|
|
|
|
|
101 |
|
|
101 |
|
101 |
|
Итак: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
31 |
|
5 |
|
|
|
|
|
101 |
101 |
101 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
A |
1 |
|
|
|
26 |
|
9 |
|
21 |
|
|
|
101 |
101 |
101 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
8 |
|
5 |
|
22 |
|
|
|
|
|
101 |
101 |
101 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Проверка. Сделаем
Остановимся на произведении виде:
проверку исходя из свойства |
A A 1 |
|||
A |
1 |
A. Для удобства умножения матриц |
1 |
|
|
A |
A 1 A E .
запишем в
|
|
|
|
|
11 |
31 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
A |
|
|
26 |
9 |
|||
|
101 |
||||||
|
|
|
|
8 |
5 |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Тогда:
5 |
|
|
21 |
|
|
|
||
22 |
|
|
|
||
|
.
|
|
|
|
|
11 |
31 |
5 |
3 |
7 |
|||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
A |
|
26 |
9 |
21 4 |
2 |
||||||
|
101 |
|||||||||||
|
|
|
|
8 |
5 |
22 |
|
|
2 |
3 |
||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
1 |
|
|
|
||
7 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
101 |
|||
|
|
|
11 3 |
31 4 |
|
5 2 |
11 7 |
31 2 |
5 3 |
11 6 |
31 1 |
5 7 |
|
|||||||
|
26 3 |
|
|
|
|
26 7 |
|
|
|
26 6 |
|
|
|
|
|
|||
|
9 4 |
|
|
21 2 |
9 2 |
|
21 3 |
9 1 |
|
21 7 |
|
|
||||||
|
8 3 |
|
5 4 |
|
22 2 |
8 7 |
|
5 2 |
22 3 |
8 6 |
|
5 1 22 7 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
101 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
||
|
1 |
|
|
101 |
|
|
|
|
|
|
|
E |
101 |
|
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
101 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- верно (смотри определение A 1 )
Задание 2.2. Найти обратную матрицу двумя способами: с помощью алгебраических дополнений и путем элементарных преобразований. Сделать проверку.
29
|
|
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
A |
2 |
1 |
6 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
2 |
4 |
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
3. |
A |
2 |
1 ; |
|
|
|
||||
|
|
4 |
6 |
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
|
|
|||||
|
|
4 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
A |
2 |
1 |
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
2 |
6 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
A |
4 |
2 |
1 |
; |
|
|
|
||
|
|
2 |
3 |
7 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
1 |
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
9. |
A |
1 |
|
2 |
; |
|||||
|
|
2 |
3 |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
11. A |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
1 |
; |
|
|||||
|
|
|
|
4 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
1 |
3 |
|
|||
13. A |
|
|
|
5 |
|
|
|
|||
|
|
2 |
1 |
; |
||||||
|
|
|
1 |
4 |
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
5 |
|
|
|||
15. A |
|
|
|
3 |
7 |
|
||||
|
|
2 |
; |
|||||||
|
|
|
|
2 |
3 |
5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
A |
2 |
|
1 |
2 |
; |
|
||||||
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
||
4. |
A |
7 |
|
|
|
5 |
; |
||||||
|
|
|
4 |
|
7 |
|
|
|
6 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
A |
|
1 |
6 |
; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
A |
5 |
|
1 |
2 |
; |
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
7 |
|
5 |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
|
4 |
|
1 |
|
1 ; |
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
2 |
|||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
|
3 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
; |
|||
|
|
|
|
3 |
|
5 |
|
|
6 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|||
|
|
A |
|
8 |
|
|
3 |
|
6 |
|
|||
14. |
|
|
|
|
; |
||||||||
|
|
|
|
4 |
1 |
|
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
16. A |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
3 ; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30