Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

2125 (Линейная алгебра)

.pdf
Скачиваний:
84
Добавлен:
09.04.2015
Размер:
953.65 Кб
Скачать

 

1

1

1

3

 

2

1

0

4

 

~

 

 

 

 

 

1

1

0

3

 

 

 

 

 

 

4

1

0

2

 

1

 

5

 

 

2

 

 

 

1

 

 

~

2 шаг.

Теперь четвертую строчку складываем со второй и с третьей. Получим новую эквивалентную матрицу:

 

1

1

1

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

0

0

2

6

 

~

3

0

0

1

3

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

1

0

2

1

 

 

 

 

 

2 +

+ 4 +

 

3 шаг.

2

Умножим элементы второго столбца на

столбца. Затем умножим элементы второго

и сложим с элементами четвертого

столбца на

4

и сложим с

соответствующими элементами первого столбца. И окончательно элементы второго столбца сложим с соответствующими элементами пятого столбца. Получим новую эквивалентную матрицу:

3

1

1

1

 

6

0

0

2

 

~

 

 

 

 

 

3

0

0

1

 

 

 

 

 

 

0

1

0

0

 

0

 

 

6

 

 

 

 

3

 

 

 

 

0

 

 

 

 

2

~

4 шаг.

Умножим элементы третьей строки на

2

и сложим с соответствующими

элементами второй строки. Получим новую эквивалентную матрицу:

3

1

1

1

0

 

 

 

0

0

0

0

0

 

 

 

 

 

~

3

0

0

1 3

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

0

0

0

 

 

 

 

 

+

21

5 шаг.

Сложим элементы пятого столбца с соответствующими элементами первого столбца. Получим новую эквивалентную матрицу:

3

1

 

0

0

 

~

 

 

 

0

0

 

 

 

 

0

1

 

+

1

1

0

0

0

1

0 0

3

0

 

0

 

 

3

 

 

 

0

 

 

~

6 шаг.

Умножим элементы третьего столбца на 3 и сложим с соответствующими элементами первого столбца. Получим новую эквивалентную матрицу:

 

0

 

0

 

~

 

 

0

 

 

 

0

 

1 0 0

1 +

1 0 0

0

1

1 01 0

+

0

 

0

 

 

3

 

 

 

0

 

 

~

7 шаг.

Умножим на

1

элементы третьего столбца и сложим с соответствующими

элементами второго и четвертого столбцов. Получим новую эквивалентную матрицу:

 

0

0

 

0

0

 

~

 

 

 

0

0

 

 

 

 

0

1

 

1

0

0

0

0

0

0

1

3

0

0

0

3 +

1

     

~

8 шаг.

 

Умножим элементы четвертого столбца на

элементами пятого столбца. Затем просто умножим1 . Получим новую эквивалентную матрицу:

3

и сложим с соответствующими

элементы четвертого столбца на

 

0

0

1

0

0

 

 

 

0

0

0

0

0

 

 

 

 

- rangA 3, так как осталось 3 единицы.

~

0

0

0

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

2. Метод окаймляющих миноров. Минор

M k 1

порядка

k

1

, содержащий

в

себе минор M k

порядка k , называется окаймляющим минором

существует минор M k 0 , а все окаймляющие его миноры

M k 1

Найдем этим методом rang из предыдущего примера.

 

M k . Если у матрицы

0 , то rangA k .

A

 

 

 

 

1

 

1

 

2

3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

0

4

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

0

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

3

 

4

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Начнем с левого верхнего угла:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M 2

1

1

1

2 3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M3

2

 

1

0 4 2 6

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

2

3

2

 

1

1

 

2

3

 

 

 

 

 

2

1

4

 

 

 

 

 

2

 

1

0

4

 

 

 

 

 

2

1

0

4

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

2 A

 

2

1

1

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

0

3

 

 

 

 

 

1

1

0

3

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

1

2

 

 

 

 

 

6

 

3

 

4

8

 

 

 

 

4

1

 

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 4 12 4 16 6 2 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как видно, что эта матрица содержит всего два минора 4-го порядка. Проверим

второй:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

3

 

1 2

1

2

 

3

1

 

 

 

 

 

 

1

4

5

 

 

1

0

4

5

 

 

 

 

1

0

4

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

A

2

1 1

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

3

2

 

 

 

 

1

0

3

2

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

1

 

 

 

3

4

 

8

 

3

 

 

 

1

0

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1 3 8 10 15 4 4 0

То есть

rangA 3

23

ЗАДАНИЯ

Задание 2.1. Найти ранг матрицы

1)Методом единиц и нулей;

2)Методом окаймляющих миноров.

 

 

2

1

3

 

 

2

 

4

 

 

 

 

4

2

 

2

 

 

1

 

7

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

;

 

2

1

 

1

 

 

8

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

1

 

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

1

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

2

1

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

7

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

4

 

5

 

1

 

 

 

 

4

2

1

2

 

4

 

 

 

5.

 

 

 

;

 

 

1

 

3

3

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

1

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

4

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

6

1

 

 

 

 

 

 

7.

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

3

5

10

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

8

14

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

3

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

4

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

3

2

2

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

5

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

5

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

4

1

1

3

 

 

8

 

 

 

 

 

11.

 

 

 

 

;

 

 

 

 

2

3

4

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

4

5

5

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

 

1

1

5

 

7

 

 

 

 

 

 

 

1

3

2

 

4

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

;

 

 

 

 

3

5

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

9

7

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

11

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

4

1

 

 

 

 

 

4.

 

 

;

 

 

 

 

11

4

5

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

5

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

9

19

1

 

 

 

 

1

0

3

 

5

 

1

 

 

6.

 

 

 

 

;

 

2

1

1

 

 

0

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

3

 

 

4

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

 

0

2

6

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

5

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

5

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

4

6

 

 

 

 

 

10.

 

 

;

 

 

 

 

4

0

2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

6

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

5

1

 

 

 

 

 

 

 

12.

 

 

;

 

 

 

 

 

4

8

17

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

10

16

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

7

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

1

2

4

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

13.

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

5

0

10

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

6

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

 

 

 

 

3

2

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

3

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

5

3

 

 

2

 

 

 

 

1

 

4

 

 

 

0

1

1

 

3

 

 

4

 

5

 

 

17.

 

 

 

 

 

 

;

 

1

0

1

 

 

 

5

 

 

 

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

5

2

 

 

7

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

3

3

4

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

19.

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

5

5

 

7

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

3

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

1

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21.

 

1

1

8

 

8

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

3

0

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

3

1

 

2

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23.

 

4

3

 

0

 

2

;

 

 

 

 

 

2

7

5

 

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

1

 

8

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

7

4

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

1

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25.

 

2

3

2

3 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

3

 

2

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

5

2

 

3

4

 

 

 

 

 

 

 

14.

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

3

 

1

5

 

0

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

7

1

 

4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

7

4

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

5

 

1

 

2

 

 

0

 

 

 

 

3

 

 

16.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

1

 

2

 

1

 

 

 

5

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

1

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

0

4

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

2

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.

 

 

3

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

5

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

4

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

0

 

1

 

 

3

 

5

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

22.

 

 

 

 

3

;

 

 

 

1

 

2

 

2

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

4

2

 

4

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

6

 

1

4

 

6

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

24.

 

4

3

 

2

 

 

 

3

;

 

 

8

6

7

4

 

 

2

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

3

5

2

 

 

3

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26.

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

1

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

2

3

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

1

2

3

 

4

 

 

 

3

2

1

 

0

 

27.

 

 

 

 

1

2

4

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

5

4

 

3

 

 

 

 

 

 

4

7

5

0

 

 

 

 

3

1

2

1

 

 

 

 

 

 

29.

 

9

8

1

2

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

15

6

0

 

 

 

 

1

6

7

2

 

 

 

 

 

 

1

1

;

 

 

2

 

 

5

28.

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

30.4

1

2

4

0

3

 

 

3

1

2

 

 

 

;

2

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

1

2

 

 

1

3

5

 

 

 

 

3

1

2

.

 

 

 

 

 

 

0

2

1

 

 

4

2

7

 

 

 

 

Обратная матрица

Квадратная матрица порядка

n

a

a

... a

 

 

11

12

1n

 

 

 

 

a21

a22

... a2n

A

 

 

 

 

 

.....................

 

 

 

 

 

 

 

an2

... ann

 

an1

 

называется невырожденной,

a11

a12 ... a1n

 

если её определитель (детерминант) det A a21

a22 ... a2n

0 .

.....................

 

an1

an2 ... ann

 

В случае, когда det A 0, матрица A называется вырожденной.

Только для квадратной невырожденной матрицы A вводится понятие обратной

матрицы A 1 .

 

 

Матрица A 1

называется обратной для квадратной невырожденной матрицы

A ,

если A A 1 A 1 A E , где E - единичная матрица порядка n .

 

Для матрицы

A существует единственная обратная матрица, которая определяется

по формуле:

 

 

где

A*

A 1

1

 

A*

 

A 1

 

1

~

 

 

 

или

 

 

A

,

det A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

или A - союзная или присоединённая матрица, её элементами являются

алгебраические дополнения

Aij

транспонированной матрицы

AT

, т.е. матрицы,

полученной из данной матрицы A заменой её строк столбцами с теми же номерами.

26

AT

a

a

21

... a

n1

 

 

11

 

 

 

 

 

a

a

 

... a

 

 

22

n2

 

12

 

 

 

 

 

.....................

 

 

a

a

 

 

... a

 

 

 

 

 

2n

nn

 

1n

 

 

,

т.е.

 

A

A

... A

 

 

 

11

21

n1

 

 

 

 

 

~

 

A

A

... A

 

12

22

n2

A

 

 

 

 

 

 

.....................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

A

... A

 

 

 

 

 

1n

2n

nn

Пример 2.2. Найти обратную матрицу двумя способами: с помощью алгебраических дополнений и путем элементарных преобразований. Сделать проверку.

Дана матрица

Найти: A 1 .

Решение:

 

3

7

 

 

 

A

4

2

 

2

3

 

7

.

1 способ. С помощью алгебраических дополнений.

Найдем обратную матрицу по формуле

A

где

- определитель матрицы A ;

 

~

- союзная или присоединённая

A

дополнений транспонированной матрицы

A .

1

 

1

~

 

 

A ,

 

 

 

матрица, состоящая из алгебраических

Согласно существует.

Найдем:

34 2

формуле можно сказать, что если

0

, то обратная матрица не

7

6 3

7

 

2

1 4

2 3 2 7 7 1 2 6 4 3 2 2 6 3 1 3 7 4 7 101 0

,

3

7 2

3

 

значит обратная матрица существует.

Составим союзную матрицу, для этого найдем алгебраические дополнения по формуле

A

i j

M

 

1

ij

ij

 

 

A

 

2

 

11

 

3

 

 

4

A12 2

4

A13 2

1

11

;

7

 

 

17 26 ;

23 8 ;

A 7

6 31;

A 7

 

6 5;

21

 

3

7

31

2

 

1

 

 

 

 

A 3

 

6 9 ;

A 3

6 21;

22

2

 

7

32

 

4

1

 

 

 

 

A 3

7 5;

A 3

 

7 22 .

23

 

2

3

33

4

 

2

 

 

 

 

27

Отсюда:

 

 

11

31

5

 

~

 

26

9

21

 

A

 

 

 

8

5

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

31

 

 

 

 

 

11

31

5

 

 

101

101

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

26

 

9

A

 

 

26

9

21

 

 

 

 

101

 

101

101

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

5

 

 

 

8

 

5

 

 

 

 

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

101

101

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

101

 

 

 

21

 

101

 

 

22

 

101

 

 

.

2 способ. Основан на элементарных преобразованиях вспомогательной матрицы, которая получается путём приписывания к данной матрице единичной матрицы того же порядка. Схематически это выглядит так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A E E A

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, запишем матрицу:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

7

6 1

0

0 : 3

 

1

7

 

2

 

 

0

0

 

4 2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2

1 0

1

0

~

4

2

1

0

1

0

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

7 0

0

1

 

2

3

7

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

7

 

 

 

2

1

 

 

 

 

3

 

 

3

~

0

22

3

7

4

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

5

3

3

2

3

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

3

 

 

0

 

1

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

22

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

7

 

 

2

 

1

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

21

22

 

2

11

3

22

0

7

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

3

3

 

 

2

3

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

3

 

 

 

~

 

1

0

 

5

22

 

1

7

22

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

0

1

21

22

2

11

3

22

0

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

101

 

4

 

5

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

 

 

 

11

 

22

 

 

101

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0

 

5

 

 

 

1

 

7

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

 

 

11

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

0

1

21

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

 

 

11

 

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

5

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

8

 

5

 

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

101

 

101

 

 

101

 

 

22

 

22

28

 

 

 

 

 

11

31

 

 

5

 

 

 

1

0

0

101

 

101

 

101

 

~

 

0

1

0

26

 

9

 

 

21

 

 

101

 

101

101

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

 

5

22

 

 

 

 

 

 

101

 

 

101

 

101

 

Итак:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

31

 

5

 

 

 

 

 

101

101

101

 

 

 

 

 

 

 

A

1

 

 

 

26

 

9

 

21

 

 

 

101

101

101

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

5

 

22

 

 

 

 

 

101

101

101

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверка. Сделаем

Остановимся на произведении виде:

проверку исходя из свойства

A A 1

A

1

A. Для удобства умножения матриц

1

 

A

A 1 A E .

запишем в

 

 

 

 

 

11

31

 

1

 

1

 

 

 

A

 

 

26

9

 

101

 

 

 

 

8

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда:

5

 

21

 

 

22

 

 

 

.

 

 

 

 

 

11

31

5

3

7

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

A

A

 

26

9

21 4

2

 

101

 

 

 

 

8

5

22

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

1

 

 

 

7

 

 

 

 

 

1

 

101

 

 

 

11 3

31 4

 

5 2

11 7

31 2

5 3

11 6

31 1

5 7

 

 

26 3

 

 

 

 

26 7

 

 

 

26 6

 

 

 

 

 

 

9 4

 

 

21 2

9 2

 

21 3

9 1

 

21 7

 

 

 

8 3

 

5 4

 

22 2

8 7

 

5 2

22 3

8 6

 

5 1 22 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

101

0

0

 

 

1

0

0

 

 

1

 

 

101

 

 

 

 

 

 

 

E

101

 

0

0

 

 

0

1

0

 

 

0

0

 

 

 

0

0

1

 

 

 

 

 

101

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- верно (смотри определение A 1 )

Задание 2.2. Найти обратную матрицу двумя способами: с помощью алгебраических дополнений и путем элементарных преобразований. Сделать проверку.

29

 

 

3

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

A

2

1

6

;

 

 

 

 

 

 

4

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

4

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3.

A

2

1 ;

 

 

 

 

 

4

6

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

4

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

A

2

1

3

;

 

 

 

 

 

 

3

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

A

4

2

1

;

 

 

 

 

 

2

3

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

9.

A

1

 

2

;

 

 

2

3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

2

 

 

 

11. A

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

;

 

 

 

 

 

4

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

3

 

13. A

 

 

 

5

 

 

 

 

 

2

1

;

 

 

 

1

4

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

 

5

 

 

15. A

 

 

 

3

7

 

 

 

2

;

 

 

 

 

2

3

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

A

2

 

1

2

;

 

 

 

 

1

 

3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

4.

A

7

 

 

 

5

;

 

 

 

4

 

7

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

A

 

1

6

;

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

A

5

 

1

2

;

 

 

 

 

 

 

 

3

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

5

 

1

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

 

4

 

1

 

1 ;

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

4

 

2

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.

 

3

 

 

1

 

 

1

 

;

 

 

 

 

3

 

5

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

1

 

 

 

A

 

8

 

 

3

 

6

 

14.

 

 

 

 

;

 

 

 

 

4

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

4

 

 

2

 

 

 

16. A

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

3 ;

 

 

 

 

 

 

1

 

5

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]