2125 (Линейная алгебра)

				3x			4x		1
	2x
			1		2		3
				9x2			x3	3
17.	7x1									;
				6x			3x		7
	5x
			1		2		3
	8x1 x2 3x3 2
				x2 6x3				1
19.	4x1									;
	4x 2x					2	3x 7
			1				3
	3x			x		3x		1
			1		2		3
				2x2			2x3		9
21.	2x1									;
		x		x		x 2
					2
			1				3
	7x			2x			x	2
			1			2	3
				4x2			5x3		3;
23.	6x1
		x	2x			4x		5
					2
		1					3
	x		5x		2	x 3
		1					3
				2x2			x3	7 ;
25.	3x1
				3x			1
	4x					2
			1
				7x			2x		0
	4x					2
			1				3
				3x2			4x3		6
27.	2x1									;
				4x			2x		2
	2x					2
			1				3
				2x			4x		8
	3x					2
			1				3
				4x2			5x3		1
29.	2x1									;
				6x			9x		2
	5x					2
			1				3

			3x				4x		5
	2x				2
		1					3
		x2		5x3 6
18.	x1									;
			4x				9x		0
	3x				2
		1					3
	6x1 3x2 5x3 3
			4x2				7x3		3;
20.	9x1
	3x		x	2		2x		5
		1					3
	4x		3x				x	3
		1			2		3
		x2		x3 4
22.	x1									;
			4x				2x		2
	3x
		1			2		3
	5x		5x				4x		3
		1			2		3
		x2		5x3 1
24.	x1									;
			4x				9x		8
	4x					2
		1					3
			9x				4x		6
	5x				2
		1					3
		7x2 5x3						1
26.	x1									;
			2x				x	2
	4x					2
		1					3
	3x		x			2x		3
		1		2			3
			2x2				5x3		5
28.	2x1									;
			3x				7x		1
	5x				2
		1					3
	3x		4x				x	2
		1			2		3
		5x2 3x3 4 .
30.	x1
			x			4x		5
	2x			2
		1					3

41

№3.

	x		2x		2	x		0
		1					3
				x2		3x3 0
1.	2x1									;
								4x		0
	2x 3x
				1			2		3
	8x			x		3x			0
			1		2		3
			5x2			x3 0
3.	x1									;
				7x			2x 0
	4x					2
			1						3

	x			5x				2		x						0
			1											3
										x3 0
5.	2x1 x2																	;
			x	2x						x					0
									2
			1											3
	x			3x				2		x					0
			1										3
										x3 0
7.	2x1 x2																			;
					2x								2x					0
		x									2
				1											3
		2x					x						3x				0
				1							2				3
				3x2						2x3 0
9.	x1																			;
										4x					0
		4x x							2
				1										3
		3x1 x2 2x3 0
																	0
11.		x1 3x2 2x3																		;
							2x							3x					0
			x									2
				1													3
			x				x						x			0
				1							2				3
					2x2								x3				0
13.		3x1																		;
															x		0
			2x
				1											3
		4x1 2x2 3x3 0
													2x3					0 ;
15. x1 x2
							5x							4x					0
			x									2
				1													3

	x				7x			2	3x 0
			1												3
						5x2					x3 0
2.	3x1																		;
						4x						2x				0
		3x							2
					1										3
						5x						4x				0
		6x							2
					1										3
					x2 x3 0
4.	x1																		;
						4x						3x				0
		3x							2
					1										3
	x				2x			2	x						0
			1											3
											x3 0
6.	x1 x2																	;
						2x						x 0
		2x							2
					1										3
						4x						2x				0
		3x							2
					1										3
					5x2 x3 0
8.	x1																		;
							x						3x				0
		2x								2
						1									3
		x				2x			2			2x				0
					1										3
								x2						2x3				0
10.		4x1																		;
								3x							4x				0
			2x											2
							1										3
			x				x						x			0
						1				2					3
						2x2						3x3				0;
12.		x1
							x					3x				0
			4x						2
						1									3
													6x				0
			8x 3x								2
						1										3
								x2						3x3				0
14.		4x1																		;
				x		x			x							0
								2
					1									3
		6x1 3x2 8x3 0
							2x2 3x3										0
16. 4x1																				;
							3x							2x				0
			x									2
						1										3

42

17.

19.

21.

23.

25.

27.

29.

4x			x			3x					0
		1			2					3
		x2 3x3 0
x1													;
			2x				4x					0
7x						2
		1								3
13x1 7x2 x3 0
			3x2 2x3 0 ;
3x1
										3x 0
10x 3x									2
			1										3
			2x				3x					0
6x						2
		1								3
4x1 x2 8x3 0														;
	x	x			3x					0
				2
	1								3
2x			5x				x				0
		1				2				3
		2x2 4x3 0
x1														;
									x				0
2x 2x								2
			1								3

3x1 5x2 x3 0
		3x2 x3 0 ;
4x1
		x		5x 0
2x			2
	1			3

x		2x		2	x				0
	1							3
			5x2 3x3 0
3x1											;
			7x			x				0
2x					2
		1						3
2x 3x								x 0
			1				2			3
			4x2 x3 0
3x1											;
	x	2x			2x					0
				2
	1							3

18.

20.

22.

24.

26.

28.

30.

43

x				2x							3x			0
		1						2					3
			4x2 2x3 0
3x1															;
			5x							x			0
2x							2
		1										3
5x1 2x2 x3 0
			x2 4x3 0 ;
3x1
2x			3x			2				x			0
		1										3
x		2x			2		x 0
	1											3
			7x							x			0
3x						2
		1										3
				5x								3x 0
2x											2
			1											3
			2x							5x				0
4x							2
		1										3
			4x2 x3 0
3x1															;
				6x							4x			0
x								2
		1											3
3x			2x							x			0
		1				2						3
			3x2 2x3 0
4x1															;
				2x							x		0
x								2
		1										3
2x			x				3x						0
		1			2							3
		4x2 2x3 0
x1															;
			2x							2x				0
3x						2
		1										3
8x			5x						x				0
		1				2						3
4x1 3x2 x3 0 .
				x							5x			0
2x								2
			1										3

;

№4.

		2x			x				4x			0
				1			2				3
					5x2					3x3 0
1.	7x1													;
					4x					x		0
		5x						2
				1							3
					8x					5x			0
		5x						2
				1							3
					5x2					x3 0
3.	7x1													;
					3x					4x			0
		2x
				1				2			3
	x			8x					7x			0
			1			2					3
					5x2					4x3 0
5.	3x1													;
					3x					3x			0
		4x
				1				2			3
		7x			6x					x		0
				1					2		3
					3x2					4x3 0
7.	3x1													;
					3x					5x			0
		4x						2
				1							3
		3x			4x					x		0
				1				2			3
				5x2 2x3 0;
9.	x1
					x				x 0
		4x					2
				1							3
		4x1 x2 5x3 0
						3x2 2x3 0 ;
11.		2x1
		2x 2x								2	3x 0
					1								3
			5x			x				2x			0
					1			2			3
						x2				x3		0
13.		3x1												;
						2x					3x		0
			2x							2
					1							3
		2x1 x2 3x3 0
					3x2					2x3 0 ;
15. x1
		x			2x				2	x		0
				1							3

		5x			x				6x				0
				1			2				3
					3x2					7x3 0
2.	4x1														;
			x	2x					x			0
							2
			1								3
					3x					2x				0
		5x						2
				1								3
					4x2					3x3 0
4.	2x1														;
					7x					5x				0
		3x
				1				2				3
					4x					3x				0
		2x							2
				1								3
				3x2 2x3 0
6.	x1														;
					x				x			0
		3x					2
				1							3
	x			5x			2		x			0
			1								3
					3x2					7x3 0
8.	2x1														;
					2x					6x				0
		3x						2
				1								3
						2x					3x			0
			3x							2
					1								3
						3x2					x3			0
10.		2x1													;
						x				2x				0
			5x					2
					1							3
		x			3x			2		2x				0
				1								3
						x2				4x3				0
12.		3x1													;
						2x					x			0
			2x							2
					1								3
		2x1 x2 2x3 0
						2x2					3x3 0;
14. 3x1
		5x				x		2		x			0
					1						3
		x			2x				2	5x				0
				1								3
16. x1					2x2					4x3				0 ;
		2x								9x				0
					1							3

44

17.

19.

21.

23.

25.

27.

29.

x		3x			2		5x			0
	1								3
		2x2 3x3 0
x1												;
			x				2x			0
2x					2
		1							3
5x1 x2 2x3 0
			2x2 4x3 0 ;
3x1
2x			x		2		2x			0
		1							3
4x			x				4x			0
		1				2			3
			2x2 x3 0
3x1												;
			x				3x			0
7x					2
		1							3
2x			x				3x			0
		1				2			3
		2x2 4x3 0
x1												;
	x	x				x				0
				2
	1							3
3x			x				x		0
		1			2			3
			3x2 4x3 0
2x1													;
			2x					3x			0
5x							2
		1								3
x		x				x			0
	1			2				3
			3x2 4x3 0
2x1													;
			2x					5x			0
3x
		1				2				3
			6x					4x			0
5x
		1				2				3
			3x2 x3 0
3x1													;
			3x					3x			0
2x
		1				2				3

	3x			2x				x	0
			1			2		3
				3x2				5x3		0
18.	2x1										;
				x			4x		0
	5x				2
			1					3
	2x1 x2 2x3 0
				x2 5x3					0
20.	4x1										;
	2x 2x						2	3x 0
			1					3
	x		2x		2		x 0
		1						3
				3x2				5x3		0
22.	3x1										;
				x			6x		0
	4x				2
			1					3
	x		2x		2		4x		0
		1						3
				x2			2x3		0 ;
24.	5x1
				x			2x		0
	4x				2
			1					3
	x		2x		2		5x		0
		1						3
				4x2				x3	0
26.	2x1										;
				2x				4x		0
	3x					2
			1					3
				3x				4x		0
	5x					2
			1					3
				2x2				x3	0
28.	3x1										;
				x			3x		0
	8x
			1	2				3
				4x				5x		0
	2x						2
			1					3
			2x2 3x3 0 .
30.	x1
				6x				2x		0
	3x
			1			2		3

45

Пример 3.1. Дана система линейных алгебраических уравнений.

x x2 x3 x4 32x1 x2 2x3 3x4 23x1 2x2 x3 2x4 1

4x1 3x2 2x3 x4 0

Решить ее:

а) методом Гаусса б) методом Жордана-Гаусса.

Решение:

а) Решаем методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы:

1		1	1	1 3		2		3		4
				3 2
	2	1	2
	3	2	1	2 1
	4	3	2	1 0

1шаг:

Элементы первой строки умножаем на 2 и сложим с соответствующими элементами 2-й строки, затем элемент 1-й строки умножим на 3 и сложим с 3-й строкой, умножим на 4 и сложим с 4-й строкой. Получим эквивалентную матрицу:

	1		1	1
		0	3	4
	~
		0	5	4
		0	7	6

1 5 5 5

3

8

10

12

~

2 шаг.

Поменяем местами 2-й и 4-й столбцы, отметим, в эквивалентной матрице какой переменной соответствуют столбцы.

x			x		x	x
	1			4	3		2
	1		1		1	1		3		1 ~
~	0	5			4	3		8
	0		5		4	5		10
	0		5		6	7
								12
						46

3 шаг.

Умножим элементы 2-й строки на (-1) и сложим с элементами 3-й и 4-й строк.

	1		1	1
		0	5	4
	~
		0	0	0
		0	0	2

4 шаг.

Поменяем местами 3-ю и 4-ю строки

1 3 2 4

3

8

2

4

~

	x		x		x	x
		1		4	3		2
		1	1		1	1		3
~		0	5		4	3		8
		0	0		2	4		4
		0	0		0	2
								2

теперь уже точно система приведена к треугольному виду. Обратный ход:

2x2 2;

x2 1

2x3 4x2 4;

x3 2x2 2;

x3 2 2x2 2 2 0; x3 0

5x4 4x3 3x2 8;

5x4 3x2 8;

5x4 8 3x2 8 3 5;

5x4 5; x4 1

x1 x4 x3 x2 3;

x1 3 x4 x3 x2 3 1 1 1; x1 1

47

Проверка. Подставим найденные значения в исходную систему.

1 1 0 1 3
	1 0	3 2
2
	2 0	2 1
3
4 3 0		1 0

получим тождества

	3		3
			2
	2
		1	1
		0	0

Ответ: x1 1; x2 1; x3 0; x4 1

б) Решим систему методом Жордана-Гаусса.

Запишем расширенную матрицу системы

1		1	1	1 3 3				2
	2	1	2	3 2
	3	2	1	2 1
	4	3	2	1	0

1

~

1 шаг.

Умножим элементы 1-й строки на (-3) сложим с элементами 2-й строки; потом на (-2) сложим с элементами 3-й строки; затем на (-1) и сложим с элементами 4-й строки, получим эквивалентную матрицу:

1		1	1	1 3
5		2	1	0	7 :			1
~	5	0	1	0	5				~
	5	2	1	0	3

2 шаг.

Всю 2-ю строку разделим на (-1). Сложим элементы второй строки с элементами первой и четвертой строк и затем сложим с элементами 3-й строки:

4		1 0		1	4		4		1 0		1	4
	5							5
		2	1	0 7					2	1	0 7
~	0	2	0	0 2 : 2			~	0	1	0	0 1			2 ~
	10	0	0	0 10				10	0	0	0 10

48

3 шаг.

Умножим элементы 3-й строки на 2 и сложим с элементами 2-й строки, затем просто сложим элементы 3-й строки с элементами 1-й строки, получим эквивалентную матрицу:

	4	0	0	1		3
	5
		0	1	0		5
~
	0	1	0	0		1
	10	0	0	0		10		:10	5

~

4

4 шаг.

Разделим 4-ю строку на 10; затем умножим элементы 4-й строки на эквивалентную матрицу:

умножим на 5 и сложим с элементами второй строки,4 и сложим с элементами 1-й строки. Получим

	0		0	0
		0	0	1
	~
		0	1	0
		1	0	0
	получаем ответ: x1 1; x2 1; x3 0; x4		1

1 0 0 0

1
0
1
1

.

Задание 3.2. Решить системы линейных алгебраических уравнений

а) Методом Гаусса б) Методом Жордана-Гаусса.

3x1 x2 x3 3x4 6												2x1 x2 3x3 3x4 14
	2x	5x			6x			8						3x			x x					2
			2			4						x			2					4
	1									;	2.		1				3								;
1.	x	2x			x 3x				0				4x	7x			5x		x					20
				2				4								2							4
	1				3								1				3
2x 3x			2		x 2x		4		15				x	4x		2	x	x			4		3
	1				3								1				3

	x		2x				2x				x				5
		1			2				3				4
			3x			2x				3x					12
	2x			2										4
3.		1						3
								x			2x					12
	2x 2x						2								4
			1						3
			3x			2x				x				2
	4x			2								4
		1						3

;

4.

		2x		x	2
			1
		x	2x
					2
		1
		2x		x
					2
			1
	x		4x		2
		1

  

x	4x			4	7
3
x	x		4	3
3
3x		x		4	12
3
2x		5x			4	3
3

;

x1 x2 x3 x4 2
	2x1 x2				x3 x4 1
											;
5.	2x x				x 2x					0
				2				4
	1					3
	x x	2	x			3x	4	2
	1				3

x1 x2 3x3 x4 1
				2x3 x4		1
2x1 x2								;
6.	x 4x			2x 3x			18
		2			4
	1			3
	3x 2x		2	3x 4x		4	16
	1			3

49

			x				2x											x					x								5
					1								2								3						4
			2x				x							3x									x								2
										2																	4
7.					1																3																				;
			x			3x							2x										4x											5
										2																					4
				1																	3
			x				2x											x					x									5
													2															4
					1																3
			2x			4x										x						x									6
				1								2									3					4
				x		2x										3x								x									0
												2																	4
9.				1																		3																				;
			x				3x											x					2x																6
													2																		4
					1																3
						5x									4x									2x												11
		3x									2																					4
				1																		3
				2x				3x						2					x					x					4				10
						1																3
				x		3x									2x									x									5
											2																		4
11.				1																		3																					;
				x				5x												2x											2x									9
																2																					4
						1																		3
				2x					4x												x				2x															5
																				2																		4
								1																3
				2x				4x											x					x										2
						1									2							3								4
				x		2x										3x								x									12
												2																	4
13.				1																		3																					;
							x								2x									2x												5
			3x								2																					4
						1																3
				3x					x											x				3x														13
																2																	4
								1														3
		2x1 x2 x3 x4 1
					x1			3x2 2x3 2x4																															13
																																												;
15.				3x 2x																	2x x																			15
																				2																	4
								1																	3
		x x											2					3x 2x																4				6
						1																3
		2x							2x										2		x				3x										4				3
							1																3
				3x					x											2x					x													9
																2																		4
17.								1																3																				;
						x		x										3x						5x														8
													2																				4
						1																3
				2x					4x												x					2x														11
																				2																		4
								1																3
				2x					x								2			4x						3x											4			12
								1																3
				x				x										3x						5x														17
													2																					4
19.						1																3																					;
				3x				2x												x				x										12
																2															4
						1																3
					x			3x						2					x					x					4				5
						1																3

		x 2x						2				x x										4		0
		1																3
				3x							4x								5x											6
							2																		4
																		3																	;
8.			3x										x						x						2
	x								2														4
		1																3
					x									x					2x										7
	2x									2															4
		1																3
		x			2x												2x				x											5
		1											2							3									4
		3x		2x													x			2x												3
												2																4
10.		1																3																			;
		2x				3x												x			x											11
															2													4
				1																3
		2x			x				2				3x							4x								4				15
		1																3
		3x				x						2					2x				x							4				11
				1																3
		2x				x									x					2x												11
											2																4
12.			1															3																		;
		x			2x												3x				2x														8
													2																			4
		1																		3
		2x				3x												x			3x												7
																2																4
				1																3
		x			2x												x			3x												4
		1											2					3										4
		2x				x									3x						x										11
											2															4
14.			1																3																		;
		2x				x											5x				x											15
													2															4
				1																3
		x			3x							2					x			2x								4				11
		1																3
	3x			x							4x									x							1
		1						2										3						4
		x		2x											2x						4x												1
											2																			4
16.		1																	3																	;
		2x				3x												x			x											4
																2												4
				1																3
		x				x					2				x					3x						4					5
			1															3
	x1 3x2 x3 x4 4
																																		13
	2x1 2x2 3x3 4x4																																					;
18.		x			x								2x 2x																					5
									2																				4
		1																3
		2x 3x												2				x x								4					7
			1																3
	2x1 x2 5x3 x4 10
																													6
	3x1 3x2 x3 2x4																																			;
20.		x 2x														x 3x																	9
		1									2							3							4
	2x 3x 4x 3x 3
				1										2						3												4

50