Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

2638 ЭИ

.pdf
Скачиваний:
13
Добавлен:
09.04.2015
Размер:
433.32 Кб
Скачать

2638

Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

Кафедра высшей математики

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ для студентов первых курсов всех специальностей

очной формы обучения

Составители: Ю.В. Гуменникова О.Е. Лаврусь

Самара

2010

1

УДК 519.7

Элементы векторной алгебры : методические указания и задания для студентов первых курсов всех специальностей очной формы обучения / составители : Ю.В. Гуменникова, О.Е. Лаврусь. – Самара : СамГУПС, 2010. – 32 с.

Утверждены на заседании кафедры 15.09.2010 г., протокол № 2. Печатается по решению редакционно-издательскогосовета университета.

Методические указания составлены в соответствии с Государственным образовательным стандартом, с действующей программой по высшей математике и охватывают основные разделы векторной алгебры.

В методических указаниях приведены индивидуальные задания, необходимые теоретические сведения, а также примеры решения задач.

Предназначены для студентов 1-гокурса всех специальностей очной формы обучения.

Составители: Ю.В. Гуменникова, к.ф.-м.н.,доцент О.Е. Лаврусь, к.т.н., доцент

Рецензенты: к. ф.-м.н., доцент СамГУ Г.В. Воскресенская; к.ф.-м.н., доцент СамГУПС Л.В. Кайдалова

Под редакцией составителей

Подписано в печать 28.09.2010. Формат 60×90 1/16. Усл. печ. л. 2,0. Заказ № 225.

© Самарский государственный университет путей сообщения, 2010

2

1. Векторы

Вектором называется направленный отрезок. Если начало вектора находится в точке

A, а конец в точкеB, то вектор обозначаетсяAB :

B

A

Если начало и конец вектора не указываются, то его обозначают строчной буквой

латинского алфавита – a ,

 

, c и т. д:

 

 

 

b

 

 

 

 

 

a

 

 

c

 

 

b

Направление вектора

 

изображается

стрелкой. Через BA обозначается вектор,

направленный противоположно AB , черезa вектор, направленный противоположноa .

 

B

B

 

A

A

a

a

 

 

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается 0 . Длиной, или модулем вектора, называется расстояние между его началом и концом.

Записывается AB илиa , соответственно.

Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой, икомпланарными, если они параллельны одной плоскости.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине.

Два вектора называются ортогональными, если они перпендикулярны друг другу. Свободным вектором в пространстве называется вектор, который без изменения

дины и направления может быть перенесен в любую точку пространства.

2.Линейные операции над векторами

Клинейным операциям над векторами относятся: умножение вектора на число и сложение (вычитание) векторов.

Произведением вектора a на числоm называется векторma , направление которого совпадает с направлением вектораa , еслиm > 0 и противоположно ему, еслиm < 0.

Длина вектора обозначается m a илиma . Например:

2a

a

3a

3

Сумму (разность) двух свободных векторов можно найти по правилу параллелограмма.

Пример. Даны свободные векторыa иb :

a b

Поместим их начала в одну точку и достроим до параллелограмма:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

d

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

Тогда вектор

 

= a

+

 

направлен по диагонали, берущей начало из этой же точки, а

c

b

вектор

 

= a

 

 

 

будет направлен по

другой диагонали параллелограмма от

d

b

вычитаемого к уменьшаемому.◄ Если векторов больше двух, то применяют правило многоугольника, согласно

которому векторы помещают последовательно (начало последующего помещается в конец предыдущего), а суммой векторов будет являться вектор, начало которого находится в начале первого вектора, а конец – в конце последнего вектора.

Пример. Даны векторыa ,b ,c :

a b c

Найти линейную комбинацию d = 2a b + 3c .Решение. Найдем векторы 2a , –b , 3c :

2a

b

3c

Применив правило многоугольника, получаем

b

3c

2a

d

4

a cosϕ

3. Проекция вектора на ось. Координаты вектора

Если взять ось l и векторa и опустить перпендикуляр из конца вектораa на осьl, то получим отрезокMN, который является проекцией вектораa на осьl.

Итак, проекцией вектора a на осьl называется число, обозначаемое прl a и равное, гдеϕ – угол между положительным направлением осиl и направлением вектораa (длина отрезкаMN).

Если свободный вектор a перенести в координатное пространство систему координат)Oxyz, то он может быть представлен в виде

a = ax i+ ay j+ az k.

a

φ

M N l

(декартову

z

az

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

ay

 

 

 

0

 

 

 

y

i

 

 

 

ax

x

Такое представление вектора a называется егоразложением по осям координат или

разложением по ортам.

Здесь ax,ay,az – проекции вектораa на соответствующие оси координат (их называют координатами вектораa );i ,j ,k – орты этих осей (единичные векторы, направление которых совпадает с положительным направлением соответствующей оси).

Векторы axi ,ay j ,az k , в виде суммы которых представлен векторa , называются

составляющими (компонентами) вектора a по осям координат. Применяется также запись

a = (ax,ay,az).

Длина (модуль) вектора a обозначаетсяa и определяется по формуле

a = ax2+ a2y + az2.

5

Направление вектора a определяется угламиα,β,γ, образованными векторомa с осями координатOx,Oy,Oz. Косинусы этих углов (так называемые направляющие косинусы вектора) определяются по формулам:

 

 

 

 

 

 

 

 

cosα =

ax

=

ax

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

ax2+ ay2+ az2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos β =

ay

=

ay

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

ax2+ ay2+ az2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosγ =

az

=

az

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

ax2+ ay2+ az2.

Направляющие косинусы вектора связаны соотношением

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.

Если векторы

a и

 

 

 

заданы их разложениями по ортам, то их сумма и разность

b

определяются по формулам:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a +

 

 

= (ax +bx )i

+ (a y +by )

 

 

 

+ (a z +bz )k

,

 

b

 

j

 

a

 

= (a x bx )i

+ (a y by )

 

+ (a z bz )k

.

 

b

 

j

Произведение вектора a на скалярный множительm определяется по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

+ may

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ maz k

.

 

 

 

 

 

 

 

ma = maxi

j

В частности,

если

m = 1

, то вектор

a

 

имеет длину, равную единице, и

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

направление, совпадающее с направлением вектора a . Этот вектор называют единичным вектором (ортом) вектораa и обозначаютa0 . Нахождение единичного вектора того же направления, что и данный векторa , называется нормированием вектораa .

Вектором ОМ , начало которого находится в начале координат, а конец – в точкеM(x,y,z) называютрадиус-векторомточкиM и обозначаютr (M) или простоr . Так как его координаты совпадают с координатами точкиM, то его разложение по ортам имеет вид

r = xi+ yj+ zk.

Вектор AB , имеющий начало в точкеA(x1,y1,z1) и конец в точкеB(x2,y2,z2) может быть записан в видеAB = r2 r1, гдеr 2 радиус-векторточкиB, аr 1 радиус-векторточкиA. Поэтому разложение вектора AB по ортам имеет вид

AB = (x2 x1 )i+ (y2 y1 ) j+ (z2 z1 )k.

4. Деление отрезка в данном соотношении

Пусть на произвольной прямой задан отрезок AB. Тогда всякая точкаC этой прямой делит отрезокAB в некотором отношенииλ = ± |AC|:|CB|. Если отрезкиAC иCB

6

направлены в одну сторону (т.е. точка C лежит внутри отрезкаAB), тоλ приписывают знак «+». Если же отрезкиAC иCB направлены в противоположные стороны (т.е. точкаC лежит вне отрезкаAB), тоλ приписывают знак«–».

Если точка A имеет координаты (x1,y1,z1), а точкаB – координаты (x2,y2,z2), то координаты точкиC (x ,y ,z ) определяются по формулам:

x =

x

 

+ λx

2

;

 

y =

y1+ λy2

;

 

z =

z + λz

2

.

 

1

+ λ

 

1 + λ

 

1+ λ

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

В частности, если точка C делит отрезокAB пополам, тоλ = 1 и координаты точки

C(x ,y ,z ) определяются по формулам:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

x1+ x2

;

y =

y1+ y2

;

z =

z1+ z2

.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

5. Скалярное произведение векторов и его приложения

Скалярным произведением двух векторов a иb называется числоc =a b , равное произведению данных векторов на косинус угла между ними

a b= a bcos(a b),

где (a^b ) обозначает меньший угол между направлениями векторовa иb , причем всегда 0(a ^ b )≤ π .

Свойства скалярного произведения векторов:

1)a b= ba ;

2)(λa ) b = λ(a b )= a (λb );

3)a (b+ c )= a b+ a c ;

4) a b =a npa b =b npb a ;

5)a a = a 2 ;

6)a ·b = 0 ↔a b , т.е. если ненулевые векторы ортогональны.

Если векторы a иb разложены по осям координат, т. е.a = (ax , ay , az ) иb = (bx , by , bz ), то скалярное произведение находится по формуле

a b = axbx+ a yby+ azbz,

т. е. сумме произведений соответствующих координат.

С помощью скалярного произведения можно определить угол между векторами:

cos(a ^

 

)=

a b

=

axbx+ a yby+ azbz

.

b

 

 

 

a b

 

ax2+ a 2y + az2bx2+ by2+ bz2

 

Работа A силыF , произведенная этой силой при перемещении тела на пути |S|, определяемом векторомS , вычисляется по формуле

A = F S= F S cos(F S).

7

a = – 3 AB
a = 5 CB
a = 3 AC
a = 2 AB
= AB ,
= AB ,
= AC ,

Задание 1

По координатам точек A,B иC для указанных векторов найти: а) модуль вектораa ;

б) скалярное произведение векторов a иb ; в) проекцию вектораc на векторd ;

г) координаты точки M, делящей отрезокl в отношенииα:β; д) угол между векторамиa иb ;

е) направляющие косинусы вектора d .

1.1. A(4, 6, 3),B(– 5, 2, 6),C(4, – 4, – 3),

a = 4CB AC ,b =AB ,c =CB ,d =AC ,l =AB,α = 5,β = 4.

1.2. A(4, 3, – 2),B(– 3, – 1, 4),C(2, 2, 1),

a = – 5AC + 2CB ,b =AB ,c =AC ,d =CB ,l =BC,α = 2,β = 3.

1.3. A(– 2, – 2, 4),B(1, 3, – 2),C(1, 4, 2),

a = 2AC – 3BA,b =BC ,c =BC ,d =AC ,l =BA,α = 2,β = 1.

1.4. A(2, 4, 3),B(3, 1, – 4),C(– 1, 2, 2),

a = 2BA + 4AC ,b =BA,c =b ,d =AC ,l =BA,α = 1,β = 4.

1.5. A(2, 4, 5),B(1, – 2, 3),C(– 1, – 2, 4),

a = 3AB – 4AC ,b =BC ,c =b ,d l =AB,α = 2,β = 3.

1.6. A(– 1, – 2, 4),B(– 1, 3, 5),C(1, 4, 2),

a = 3AC – 7BC ,b =AB ,c =b ,d l =AC,α = 1,β = 7.

1.7. A(1, 3, 2),B(– 2, 4, – 1),C(1, 3, – 2),

+ 5CB ,b =AC ,c =b ,d l =AB,α = 2,β = 4.

1.8. A(2, – 4, 3),B(– 3, – 2, 4),C(0, 0, – 2),

– 4CB ,b =c =AB ,d =CB ,l =AC,α = 2,β = 1.

1.9. A(3, 4, – 4),B(– 2, 1, 2),C(2, – 3, 1),

+ 4AC ,b =c =BA,d =AC ,l =BA,α = 2,β = 5.

1.10. A(0, 2, 5),B(2, – 3, 4),C(3, 2, – 5),

+ 4CB ,b =c =AC ,d =AB ,l =AC,α = 3,β = 2.

8

a = – 7 AC
a = – 7 BC
a = 11 AC
a = – 6 BC
a = 9 AB

1.11. A(– 2, – 3, – 4),B(2, – 4, 0),C(1, 4, 5),a = 4AC – 8BC ,b =c =AB ,d =BC ,l =AB,α = 4,β = 2.

1.12. A(– 2, – 3, – 2),B(1, 4, 2),C(1, – 3, 3),a = 2AC – 4BC ,b =c =AB ,d =AC ,l =BC,α = 3,β = 1.

1.13. A(5, 6, 1),B(– 2, 4, – 1),C(3, – 3, 3),a = 3AB – 4BC ,b =c =AC ,d =AB ,l =BC,α = 3,β = 2.

1.14. A(10, 6, 3),B(– 2, 4, 5),C(3, – 4, – 6),a = 5AC – 2CB ,b =c =BA,d =AC ,l =CB,α = 1,β = 5.

1.15. A(3, 2, 4),B(– 2, 1, 3),C(2, – 2, – 1),

a = 4BC – 3AC ,b =BA,c =AC ,d =BC ,l =AC,α = 2,β = 4.

1.16. A(– 2, 3, – 4),B(3, – 1, 2),C(4, 2, 4),a = 7AC + 4CB ,b =c =AB ,d =CB ,l =AB,α = 2,β = 5.

1.17. A(4, 5, 3),B(– 4, 2, 3),C(5, – 6, – 2),

– 4BC ,b =c =AC ,d =AB ,l =BC,α = 5,β = 1.

1.18. A(2, 4, 6),B(– 3, 5, 1),C(4, – 5, – 4),

+ 2BA,b =c =CA,d =BA,l =BC,α = 1,β = 3.

1.19. A(– 4, – 2, – 5),B(3, 7, 2),C(4, 6, – 3),a = 9BA + 3BC ,b =c =AC ,d =BC ,l =BA,α = 4,β = 3.

1.20. A(5, 4, 4),B(– 5, 2, 3),C(4, 2, – 5),

– 6AB ,b =BC ,c =AB ,d =AC ,l =BC,α = 3,β = 1.

1.21. A(3, 4, 6),B(– 4, 6, 4),C(5, – 2, – 3),

+ 4CA,b =BA,c =CA,d =BC ,l =BA,α = 5,β = 3.

1.22. A(– 5, – 2, – 6),B(3, 4, 5),C(2, – 5, 4),a = 8AC – 5BC ,b =c =AB ,d =BC ,l =AC,α = 3,β = 4.

1.23. A(3, 4, 1),B(5, – 2, 6),C(4, 2, – 7),

+ 5AB ,b =c =BC ,d =AC ,

9

= (5, – 1, 6), 4 AB

l =AB,α = 2,β = 3.

1.24. A(4, 3, 2),B(– 4, – 3, 5),C(6, 4, – 3),a = 8AC – 5BC ,b =c =BA,d =AC ,l =BC,α = 2,β = 5.

1.25. A(– 5, 4, 3),B(4, 5, 2),C(2, 7, – 4),

a = 3BC + 2AB ,b =c =CA,d =AB ,l =BC,α = 3,β = 4.

1.26. A(6, 4, 5),B(– 7, 1, 8),C(2, – 2, – 7),

a = 5CB – 2AC ,b =AB ,c =CB ,d =AC ,l =AB,α = 3,β = 2.

1.27. A(6, 5, – 4),B(– 5, – 2, 2),C(3, 3, 2),a = 6AB – 3CB ,b =c =AC ,d =CB ,l =BC,α = 1,β = 5.

1.28. A(– 3, – 5, 6),B(3, 5, – 4),C(2, 6, 4),

a = 4AC – 5BA,b =CB ,c =BA,d =AC ,l =BA,α = 4,β = 2.

1.29. A(3, 5, 4),B(4, 2, – 3),C(– 2, 4, 7),

a = 3BA – 4AC ,b =AB ,c =BA,d =AC ,l =BA,α = 2,β = 5.

1.30. A(4, 6, 7),B(2, – 4, 1),C(– 3, – 4, 2),a = 5AB – 2AC ,b =c =BC ,d =AB ,l =AB,α = 3,β = 4.

Пример решения задания 1

По координатам точек A(– 5, 1, 6),B(1, 4, 3) иC(6, 3, 9) найти: а) модуль вектораa = 4AB +BC ;

б) скалярное произведение векторов a иb =BC ;

в) проекцию вектора c =b на векторd =AB ;

г) координаты точки M, делящей отрезокl =AB в отношении 1:3; д) угол между векторамиa иb ;

е) направляющие косинусы d .

►а) Последовательно находим AB = (6, 3, – 3),BC

 

4AB+ BC

 

= 292 +112 +(6)2 =998 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) Имеем: a = (29, 11, – 6),

 

 

 

= (5, – 1, 6). Тогда

 

b

 

 

 

a ·

 

=29·5 + 11·(– 1) + (– 6)·6 = 98;

 

 

 

b

 

в) Так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прd c

=

c

 

d

,

 

 

= (6, 3, – 3),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

d

 

 

+ BC = (29, 11, – 6),

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Калькулятор

Сервис бесплатной оценки стоимости работы

  1. Заполните заявку. Специалисты рассчитают стоимость вашей работы
  2. Расчет стоимости придет на почту и по СМС

Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с политикой конфиденциальности и на обработку персональных данных.

Номер вашей заявки

Прямо сейчас на почту придет автоматическое письмо-подтверждение с информацией о заявке.

Оформить еще одну заявку