Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

2638 ЭИ

.pdf
Скачиваний:
13
Добавлен:
09.04.2015
Размер:
433.32 Кб
Скачать

2638

Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

Кафедра высшей математики

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ для студентов первых курсов всех специальностей

очной формы обучения

Составители: Ю.В. Гуменникова О.Е. Лаврусь

Самара

2010

1

УДК 519.7

Элементы векторной алгебры : методические указания и задания для студентов первых курсов всех специальностей очной формы обучения / составители : Ю.В. Гуменникова, О.Е. Лаврусь. – Самара : СамГУПС, 2010. – 32 с.

Утверждены на заседании кафедры 15.09.2010 г., протокол № 2. Печатается по решению редакционно-издательского совета университета.

Методические указания составлены в соответствии с Государственным образовательным стандартом, с действующей программой по высшей математике и охватывают основные разделы векторной алгебры.

В методических указаниях приведены индивидуальные задания, необходимые теоретические сведения, а также примеры решения задач.

Предназначены для студентов 1-го курса всех специальностей очной формы обучения.

Составители: Ю.В. Гуменникова, к.ф.-м.н., доцент О.Е. Лаврусь, к.т.н., доцент

Рецензенты: к. ф.-м. н., доцент СамГУ Г.В. Воскресенская; к. ф.-м. н., доцент СамГУПС Л.В. Кайдалова

Под редакцией составителей

Подписано в печать 28.09.2010. Формат 60×90 1/16. Усл. печ. л. 2,0. Заказ № 225.

© Самарский государственный университет путей сообщения, 2010

2

1. Векторы

Вектором называется направленный отрезок. Если начало вектора находится в точке

A, а конец в точке B, то вектор обозначается AB :

B

A

Если начало и конец вектора не указываются, то его обозначают строчной буквой

латинского алфавита – a ,

 

, c и т. д:

 

 

 

b

 

 

 

 

 

a

 

 

c

 

 

b

Направление вектора

 

изображается

стрелкой. Через BA обозначается вектор,

направленный противоположно AB , через a вектор, направленный противоположно a .

 

B

B

 

A

A

a

a

 

 

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается 0 . Длиной, или модулем вектора, называется расстояние между его началом и концом.

Записывается AB или a , соответственно.

Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой, и компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине.

Два вектора называются ортогональными, если они перпендикулярны друг другу. Свободным вектором в пространстве называется вектор, который без изменения

дины и направления может быть перенесен в любую точку пространства.

2.Линейные операции над векторами

Клинейным операциям над векторами относятся: умножение вектора на число и сложение (вычитание) векторов.

Произведением вектора a на число m называется вектор ma , направление которого совпадает с направлением вектора a , если m > 0 и противоположно ему, если m < 0.

Длина вектора обозначается m a или ma . Например:

2a

a

3a

3

Сумму (разность) двух свободных векторов можно найти по правилу параллелограмма.

Пример. Даны свободные векторы a и b :

a b

Поместим их начала в одну точку и достроим до параллелограмма:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

d

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

Тогда вектор

 

= a

+

 

направлен по диагонали, берущей начало из этой же точки, а

c

b

вектор

 

= a

 

 

 

будет направлен по

другой диагонали параллелограмма от

d

b

вычитаемого к уменьшаемому.◄ Если векторов больше двух, то применяют правило многоугольника, согласно

которому векторы помещают последовательно (начало последующего помещается в конец предыдущего), а суммой векторов будет являться вектор, начало которого находится в начале первого вектора, а конец – в конце последнего вектора.

Пример. Даны векторы a , b , c :

a b c

Найти линейную комбинацию d = 2a b + 3c . Решение. Найдем векторы 2 a , – b , 3 c :

2a

b

3c

Применив правило многоугольника, получаем

b

3c

2a

d

4

a cosϕ

3. Проекция вектора на ось. Координаты вектора

Если взять ось l и вектор a и опустить перпендикуляр из конца вектора a на ось l, то получим отрезок MN, который является проекцией вектора a на ось l.

Итак, проекцией вектора a на ось l называется число, обозначаемое прl a и равное , где ϕ – угол между положительным направлением оси l и направлением вектора a (длина отрезка MN).

Если свободный вектор a перенести в координатное пространство систему координат) Oxyz, то он может быть представлен в виде

a = ax i + ay j + az k .

a

φ

M N l

(декартову

z

az

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

ay

 

 

 

0

 

 

 

y

i

 

 

 

ax

x

Такое представление вектора a называется его разложением по осям координат или

разложением по ортам.

Здесь ax, ay, az – проекции вектора a на соответствующие оси координат (их называют координатами вектора a ); i , j , k – орты этих осей (единичные векторы, направление которых совпадает с положительным направлением соответствующей оси).

Векторы axi , ay j , az k , в виде суммы которых представлен вектор a , называются

составляющими (компонентами) вектора a по осям координат. Применяется также запись

a = (ax, ay, az).

Длина (модуль) вектора a обозначается a и определяется по формуле

a = ax2 + a2y + az2 .

5

Направление вектора a определяется углами α, β, γ, образованными вектором a с осями координат Ox, Oy, Oz. Косинусы этих углов (так называемые направляющие косинусы вектора) определяются по формулам:

 

 

 

 

 

 

 

 

cosα =

ax

=

ax

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

ax2 + ay2 + az2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos β =

ay

=

ay

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

ax2 + ay2 + az2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosγ =

az

=

az

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

ax2 + ay2 + az2 .

Направляющие косинусы вектора связаны соотношением

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 .

Если векторы

a и

 

 

 

заданы их разложениями по ортам, то их сумма и разность

b

определяются по формулам:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a +

 

 

= (ax + bx )i

+ (a y + by )

 

 

 

+ (a z + bz )k

,

 

b

 

j

 

a

 

= (a x bx )i

+ (a y by )

 

+ (a z bz )k

.

 

b

 

j

Произведение вектора a на скалярный множитель m определяется по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ma y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ maz k

.

 

 

 

 

 

 

 

ma = maxi

j

В частности,

если

m = 1

, то вектор

a

 

имеет длину, равную единице, и

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

направление, совпадающее с направлением вектора a . Этот вектор называют единичным вектором (ортом) вектора a и обозначают a0 . Нахождение единичного вектора того же направления, что и данный вектор a , называется нормированием вектора a .

Вектором ОМ , начало которого находится в начале координат, а конец – в точке M(x, y, z) называют радиус-вектором точки M и обозначают r (M) или просто r . Так как его координаты совпадают с координатами точки M, то его разложение по ортам имеет вид

r = xi + yj + zk .

Вектор AB , имеющий начало в точке A(x1, y1, z1) и конец в точке B(x2, y2, z2) может быть записан в виде AB = r2 r1, где r 2 – радиус-вектор точки B, а r 1 – радиус-вектор точки A. Поэтому разложение вектора AB по ортам имеет вид

AB = (x2 x1 )i + (y2 y1 ) j + (z2 z1 )k .

4. Деление отрезка в данном соотношении

Пусть на произвольной прямой задан отрезок AB. Тогда всякая точка C этой прямой делит отрезок AB в некотором отношении λ = ± |AC|:|CB|. Если отрезки AC и CB

6

направлены в одну сторону (т.е. точка C лежит внутри отрезка AB), то λ приписывают знак «+». Если же отрезки AC и CB направлены в противоположные стороны (т.е. точка C лежит вне отрезка AB), то λ приписывают знак «–».

Если точка A имеет координаты (x1, y1, z1), а точка B – координаты (x2, y2, z2), то координаты точки C ( x , y , z ) определяются по формулам:

x =

x

 

+ λx

2

;

 

y =

y1 + λy2

;

 

z =

z + λz

2

.

 

1

+ λ

 

1 + λ

 

1+ λ

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

В частности, если точка C делит отрезок AB пополам, то λ = 1 и координаты точки

C( x , y , z ) определяются по формулам:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

x1 + x2

;

y =

y1 + y2

;

z =

z1 + z2

.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

5. Скалярное произведение векторов и его приложения

Скалярным произведением двух векторов a и b называется число c = a b , равное произведению данных векторов на косинус угла между ними

a b = a b cos(a b ),

где (a^b ) обозначает меньший угол между направлениями векторов a и b , причем всегда 0 (a ^ b )≤ π .

Свойства скалярного произведения векторов:

1)a b = b a ;

2)(λ a ) b = λ (a b )= a (λ b );

3)a (b + c )= a b + a c ;

4) a b = a npa b = b npb a ;

5)a a = a 2 ;

6)a ·b = 0 ↔ a b , т.е. если ненулевые векторы ортогональны.

Если векторы a и b разложены по осям координат, т. е. a = (ax , ay , az ) и b = (bx , by , bz ), то скалярное произведение находится по формуле

a b = ax bx + a y by + az bz ,

т. е. сумме произведений соответствующих координат.

С помощью скалярного произведения можно определить угол между векторами:

cos(a ^

 

)=

a b

=

ax bx + a y by + az bz

.

b

 

 

 

a b

 

ax2 + a 2y + az2 bx2 + by2 + bz2

 

Работа A силы F , произведенная этой силой при перемещении тела на пути |S|, определяемом вектором S , вычисляется по формуле

A = F S = F S cos(F S ).

7

a = – 3 AB
a = 5 CB
a = 3 AC
a = 2 AB
= AB ,
= AB ,
= AC ,

Задание 1

По координатам точек A, B и C для указанных векторов найти: а) модуль вектора a ;

б) скалярное произведение векторов a и b ; в) проекцию вектора c на вектор d ;

г) координаты точки M, делящей отрезок l в отношении α:β; д) угол между векторами a и b ;

е) направляющие косинусы вектора d .

1.1. A(4, 6, 3), B(– 5, 2, 6), C(4, – 4, – 3),

a = 4 CB AC , b = AB , c = CB , d = AC , l = AB, α = 5, β = 4.

1.2. A(4, 3, – 2), B(– 3, – 1, 4), C(2, 2, 1),

a = – 5 AC + 2 CB , b = AB , c = AC , d = CB , l = BC, α = 2, β = 3.

1.3. A(– 2, – 2, 4), B(1, 3, – 2), C(1, 4, 2),

a = 2 AC – 3 BA, b = BC , c = BC , d = AC , l = BA, α = 2, β = 1.

1.4. A(2, 4, 3), B(3, 1, – 4), C(– 1, 2, 2),

a = 2 BA + 4 AC , b = BA, c = b , d = AC , l = BA, α = 1, β = 4.

1.5. A(2, 4, 5), B(1, – 2, 3), C(– 1, – 2, 4),

a = 3 AB – 4 AC , b = BC , c = b , d l = AB, α = 2, β = 3.

1.6. A(– 1, – 2, 4), B(– 1, 3, 5), C(1, 4, 2),

a = 3 AC – 7 BC , b = AB , c = b , d l = AC, α = 1, β = 7.

1.7. A(1, 3, 2), B(– 2, 4, – 1), C(1, 3, – 2),

+ 5 CB , b = AC , c = b , d l = AB, α = 2, β = 4.

1.8. A(2, – 4, 3), B(– 3, – 2, 4), C(0, 0, – 2),

– 4 CB , b = c = AB , d = CB , l = AC, α = 2, β = 1.

1.9. A(3, 4, – 4), B(– 2, 1, 2), C(2, – 3, 1),

+ 4 AC , b = c = BA, d = AC , l = BA, α = 2, β = 5.

1.10. A(0, 2, 5), B(2, – 3, 4), C(3, 2, – 5),

+ 4 CB , b = c = AC , d = AB , l = AC, α = 3, β = 2.

8

a = – 7 AC
a = – 7 BC
a = 11 AC
a = – 6 BC
a = 9 AB

1.11. A(– 2, – 3, – 4), B(2, – 4, 0), C(1, 4, 5), a = 4 AC – 8 BC , b = c = AB , d = BC , l = AB, α = 4, β = 2.

1.12. A(– 2, – 3, – 2), B(1, 4, 2), C(1, – 3, 3), a = 2 AC – 4 BC , b = c = AB , d = AC , l = BC, α = 3, β = 1.

1.13. A(5, 6, 1), B(– 2, 4, – 1), C(3, – 3, 3), a = 3 AB – 4 BC , b = c = AC , d = AB , l = BC, α = 3, β = 2.

1.14. A(10, 6, 3), B(– 2, 4, 5), C(3, – 4, – 6), a = 5 AC – 2 CB , b = c = BA, d = AC , l = CB, α = 1, β = 5.

1.15. A(3, 2, 4), B(– 2, 1, 3), C(2, – 2, – 1),

a = 4 BC – 3 AC , b = BA, c = AC , d = BC , l = AC, α = 2, β = 4.

1.16. A(– 2, 3, – 4), B(3, – 1, 2), C(4, 2, 4), a = 7 AC + 4 CB , b = c = AB , d = CB , l = AB, α = 2, β = 5.

1.17. A(4, 5, 3), B(– 4, 2, 3), C(5, – 6, – 2),

– 4 BC , b = c = AC , d = AB , l = BC, α = 5, β = 1.

1.18. A(2, 4, 6), B(– 3, 5, 1), C(4, – 5, – 4),

+ 2 BA, b = c = CA, d = BA, l = BC, α = 1, β = 3.

1.19. A(– 4, – 2, – 5), B(3, 7, 2), C(4, 6, – 3), a = 9 BA + 3 BC , b = c = AC , d = BC , l = BA, α = 4, β = 3.

1.20. A(5, 4, 4), B(– 5, 2, 3), C(4, 2, – 5),

– 6 AB , b = BC , c = AB , d = AC , l = BC, α = 3, β = 1.

1.21. A(3, 4, 6), B(– 4, 6, 4), C(5, – 2, – 3),

+ 4 CA, b = BA, c = CA, d = BC , l = BA, α = 5, β = 3.

1.22. A(– 5, – 2, – 6), B(3, 4, 5), C(2, – 5, 4), a = 8 AC – 5 BC , b = c = AB , d = BC , l = AC, α = 3, β = 4.

1.23. A(3, 4, 1), B(5, – 2, 6), C(4, 2, – 7),

+ 5 AB , b = c = BC , d = AC ,

9

= (5, – 1, 6), 4 AB

l = AB, α = 2, β = 3.

1.24. A(4, 3, 2), B(– 4, – 3, 5), C(6, 4, – 3), a = 8 AC – 5 BC , b = c = BA, d = AC , l = BC, α = 2, β = 5.

1.25. A(– 5, 4, 3), B(4, 5, 2), C(2, 7, – 4),

a = 3 BC + 2 AB , b = c = CA, d = AB , l = BC, α = 3, β = 4.

1.26. A(6, 4, 5), B(– 7, 1, 8), C(2, – 2, – 7),

a = 5 CB – 2 AC , b = AB , c = CB , d = AC , l = AB, α = 3, β = 2.

1.27. A(6, 5, – 4), B(– 5, – 2, 2), C(3, 3, 2), a = 6 AB – 3 CB , b = c = AC , d = CB , l = BC, α = 1, β = 5.

1.28. A(– 3, – 5, 6), B(3, 5, – 4), C(2, 6, 4),

a = 4 AC – 5 BA, b = CB , c = BA, d = AC , l = BA, α = 4, β = 2.

1.29. A(3, 5, 4), B(4, 2, – 3), C(– 2, 4, 7),

a = 3 BA – 4 AC , b = AB , c = BA, d = AC , l = BA, α = 2, β = 5.

1.30. A(4, 6, 7), B(2, – 4, 1), C(– 3, – 4, 2), a = 5 AB – 2 AC , b = c = BC , d = AB , l = AB, α = 3, β = 4.

Пример решения задания 1

По координатам точек A(– 5, 1, 6), B(1, 4, 3) и C(6, 3, 9) найти: а) модуль вектора a = 4 AB + BC ;

б) скалярное произведение векторов a и b = BC ;

в) проекцию вектора c = b на вектор d = AB ;

г) координаты точки M, делящей отрезок l = AB в отношении 1:3; д) угол между векторами a и b ;

е) направляющие косинусы d .

►а) Последовательно находим AB = (6, 3, – 3), BC

 

4AB + BC

 

= 292 + 112 + (6)2 = 998 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) Имеем: a = (29, 11, – 6),

 

 

 

= (5, – 1, 6). Тогда

 

b

 

 

 

a ·

 

=29·5 + 11·(– 1) + (– 6)·6 = 98;

 

 

 

b

 

в) Так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прd c

=

c

 

d

,

 

 

= (6, 3, – 3),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

d

 

 

+ BC = (29, 11, – 6),

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]