2638 ЭИ

базис. Любой вектор a в пространстве можно разложить по базису e1 , e2 , e3 , т.е. представить a в виде линейной комбинации базисных векторов:

a = xe1 + y e2 + ze3 ,

где x, y, z – координаты вектора a в базисе e1 , e2 , e3 .

Базис называется ортонормированным, если его векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину. Обозначают этот базис i , j , k .

Задание 3

Доказать, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

3.1. a = (5, 4, 1), b = (–3, 5, 2), c = (2, –1, 3), d = (7, 23, 4). 3.2. a = (2, –1, 4), b = (–3, 0, –2), c = (4, 5, –3), d = (0, 11, –14).

3.3. a = (–1, 1, 2), b = (2, –3, –5), c = (–6, –3, –1), d = (28, –19, –7). 3.4. a = (1, 3, 4), b = (–2, 5, 0), c = (3, –2, –4), d = (13, –5, –4). 3.5. a = (1, –1, 1), b = (–5, –3, 1), c = (2, –1, 0), d = (–15, –10, 5). 3.6. a = (3, 1, 2), b = (–7, –2, –4), c = (–4, 0, 3), d = (16, 6, 15). 3.7. a = (–3, 0, 1), b = (2, 7, –3), c = (–4, 3, 5), d = (–16, 33, 13). 3.8. a = (5, 1, 2), b = (–2, 1, –3), c = (4, –3, 5), d = (15, –15, 24). 3.9. a = (0, 2, –3), b = (4, –3, –2), c = (–5, –4, 0), d = (–19, –5, –4). 3.10. a = (3, –1, 2), b = (–2, 3, 1), c = (4, –5, –3), d = (–3, 2, –3). 3.11. a = (5, 3, 1), b = (–1, 2, –3), c = (3, –4, 2), d = (–9, 34, –20). 3.12. a = (3, 1, –3), b = (–2, 4, 1), c = (1, –2, 5), d = (1, 12, –20). 3.13. a = (6, 1, –3), b = (–3, 2, 1), c = (–1, –3, 4), d = (15, 6, –17). 3.14. a = (4, 2, 3), b = (–3, 1, –8), c = (2, –4, 5), d = (–12, 14, –31). 3.15. a = (–2, 1, 3), b = (3, –6, 2), c = (–5, –3, –1), d = (31, –6, 22). 3.16. a = (1, 3, 6), b = (–3, 4, –5), c = (1, –7, 2), d = (–2, 17, 5). 3.17. a = (7, 2, 1), b = (5, 1, –2), c = (–3, 4, 5), d = (26, 11, 1). 3.18. a = (3, 5, 4), b = (–2, 7, –5), c = (6, –2, 1), d = (6, –9, 22). 3.19. a = (5, 3, 2), b = (2, –5, 1), c = (–7, 4, –3), d = (36, 1, 15). 3.20. a = (11, 1, 2), b = (–3, 3, 4), c = (–4, –2, 7), d = (–5, 11, –15). 3.21. a = (9, 5, 3), b = (–3, 2, 1), c = (4, –7, 4), d = (–10, –13, 8). 3.22. a = (7, 2, 1), b = (3, –5, 6), c = (–4, 3, –4), d = (–1, 18, –16). 3.23. a = (1, 2, 3), b = (–5, 3, –1), c = (–6, 4, 5), d = (–4, 11, 20). 3.24. a = (–2, 5, 1), b = (3, 2, –7), c = (4, –3, 2), d = (–4, 22, –13). 3.25. a = (3, 1, 2), b = (–4, 3, –1), c = (2, 3, 4), d = (14, 14, 20). 3.26. a = (3, –1, 2), b = (–2, 4, 1), c = (4, –5, –1), d = (–5, 11, 1). 3.27. a = (4, 5, 1), b = (1, 3, 1), c = (–3, –6, 7), d = (19, 33, 0). 3.28. a = (1, –3, 1), b = (–2, –4, 3), c = (0, –2, 3), d = (–8, –10, 13).

21

3.29. a = (5, 7, –2), 3.30. a = (–1, 4, 3),

b = (–3, 1, 3), b = (3, 2, –4),

c = (1, –4, 6), d = (14, 9, –1). c = (–2, –7, 1), d = (6, 20, –3).

Пример решения задания 3

Доказать, что векторы a = (3, – 1, 0),

b

= (2, 3, 1), c = (– 1, 4, 3) образуют базис, и

найти координаты вектора

= (2, 3, 7) в этом базисе.

d

Вычисляем

3

−1

0

= 22 ≠ 0 .

a

c =

2

3

1

b

−1

4

3

Следовательно, векторы a , b , c образуют базис, и вектор d линейно выражается через базисные векторы:

d = αa + βb + γc

или в координатной форме

3α + 2β − γ = 2, − α + 3β + 4γ = 3, β + 3γ = 7.

Решаем полученную систему по формулам Крамера. Находим:

= 22,				(α) =			2		2	− 1			= 66,	(β) =		3	2	− 1		= – 44,
							3		3	4						− 1	3	4
							7		1	3						0	7	3
(γ) =			2	2	2			= 66,
			3	3	3
			7	1	7									(γ ) = 3, поэтому
α =	(α)			= 3, β				=	(β)		= – 2, γ =

d = (3, – 2, 3) = 3 a – 2b + 3 c .◄

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Вариант 1

1.

Найти площадь треугольника, построенного на векторах a и

:

b

a = – 2

+ 3

,

= 3 i – 2

.

k

b

j

j

2.

Найти проекцию вектора c на направление вектора

:

d

c = (– 2, 0, 1),

= (1, 2, – 3).

d

3.

Найти угол между векторами a и

при указанных условиях:

b

| a | = 1, |

| = 2, ( a –

)2 + ( a + 2

)2 = 20.

b

b

b

22

4.

Выяснить, при каком значении α вектора a ,

и c

будут компланарны:

b

a

= (3, – 1, 4),

= (2, α, – 5), c

= (1, 0, 2).

b

5.

Даны три вектора a = (3, – 2),

= (– 5, 1), c = (0, 4). Найти:

b

3 a 2 – 4 a

+ 5

2 – 6

c – 2 c 2.

b

b

b

Вариант 2

1.

Найти площадь треугольника, построенного на векторах a и

:

b

a = 2 i – 3

+

,

= i +2

– 4

.

k

k

b

j

j

2.

Найти проекцию вектора c

на направление вектора

:

d

c

= (4, – 5, 1),

= (3, 2, – 4).

d

3.

Найти угол между векторами a и

при указанных условиях:

b

| a | = 2, |

| = 3, (2 a – 3

)2 – ( a + 4

)2 = 69.

b

b

b

4.

Выяснить, при каком значении α векторы a ,

и c

будут компланарны:

b

a

= (4, – 2, α),

= (– 5, 1, 3),

c

= (2, 4, – 3).

b

5.

Даны три вектора a

= (3, – 2, 4),

= (2, 1,

3), c

= (3, 0,

2). Найти вектор x ,

b

удовлетворяющий одновременно трем уравнениям:

a x = – 5,

x = 1,

c x = 1.

b

Вариант 3

1.

Найти площадь треугольника, построенного на векторах a и

:

b

a = 3 i – 2

–

,

= – 2 i +

– 7

.

k

k

b

j

j

2.

Найти проекцию вектора c

на направление вектора

:

d

c = (2, – 8, 1),

= (– 3, – 1, 2).

d

3.

Найти угол между векторами a и

при указанных условиях:

b

| a | = 4, |

| = 1, (3 a + 2

)2 + ( a – 5

)2 = 189.

b

b

b

4.

Выяснить, при каком значении α вектора a ,

и c

будут компланарны:

b

a = (3, – 1, 4),

= (1, – 4, 0),

c

= (α, 3, 2).

b

5.

Найти угол между векторами a = 2 m

+ 4 n ,

=

m

– n , где

m и n – единичные

b

векторы, образующие угол в 120о.

Вариант 4

1.

Найти площадь треугольника, построенного на векторах a и

:

b

a = 6 i – 4

+

,

= 2 i + 3

– 4

.

k

k

b

j

j

2.

Найти проекцию вектора c

на направление вектора

:

d

c

= (– 4, 5, 2),

= (3, 4, – 6).

d

3.

Найти угол между векторами a и

при указанных условиях:

b

| a | = 3, |

| = 5, ( a – 3

)2 + (2 a + 4

)2 = 595.

b

b

b

4.

Выяснить, при каком значении α векторы a ,

и c

будут компланарны:

b

a = (α, 2, – 5),

= (3, 1, 1),

c = (4, – 1, 0).

b

23

5.

Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах

a = (2, 1, 0) и

= (0, – 1, 1).

b

Вариант 5

1.

Найти площадь треугольника, построенного на векторах a и

:

b

a = 7 i – 4

+ 2

,

= i + 3

– 4

.

k

k

b

j

j

2.

Найти проекцию вектора c

на направление вектора

:

d

c = (9, 5, – 4),

= (3, 2, 6).

d

3.

Найти угол между векторами a и

при указанных условиях:

b

| a | = 5, |

| = 4, (4 a –

)2 – (3 a – 2

)2 = 77.

b

b

b

4.

Выяснить, при каком значении α векторы a ,

и c

будут компланарны:

b

a = (– 1, 5, – 7),

= (4, 2, α),

c = (3, 5, 1).

b

5.

Какой угол в треугольнике с вершинами A(1, 2, – 3), В(4, – 1, 3) и С(5, 4, – 4) прямой?

Вариант 6

1.

Найти площадь треугольника, построенного на векторах a и

:

b

a = i + 2

– 3

,

= 3 i –

.

k

k

b

j

2.

Найти проекцию вектора c

на направление вектора

:

d

c

= (3, – 4, 11),

= (– 2, 5, 3).

d

3.

Найти угол между векторами a и

при указанных условиях:

b

| a | = 4, |

| = 3 ,

(2 a – 5

)2 – ( a + 2

)2 = 93.

b

b

b

4.

Выяснить, при каком значении α векторы a ,

и c

будут компланарны:

b

a = (2, 1, – 1),

= (4, – 2, 1), c

= (α, – 3, – 2).

b

5.

Векторы a и

образуют угол π/3. Зная, что | a |

= 3 и |

| = 4, найти длину вектора

b

b

c

= 3 a + 2

.

b

Вариант 7

1.

Найти площадь треугольника, построенного на векторах a и

:

b

a = 4 i –

+ 6

,

= 2 i – 3

.

k

k

j

b

2.

Найти проекцию вектора c

на направление вектора

:

d

c

= (3, 7, – 5),

= (1, 4, – 9).

d

3.

Найти угол между векторами a и

при указанных условиях:

b

| a | = 4, |

| = 1, ( a – 3

)2 – (2 a – 2

)2 = – 48.

b

b

b

4.

Выяснить, при каком значении α векторы a ,

и c

будут компланарны:

b

a = (4, – 3, 3),

= (2, α, – 1),

c = (1, 0, 3).

b

5. Даны векторы a = 3i – 6

–

,

= i + 4

– 5

, c = 3i

+ 4

+ 2

. Найти проекцию вектора

k

k

k

b

j

j

j

a

+ c на вектор

+ c .

b

Вариант 8

1.

Найти площадь треугольника, построенного на векторах a и

:

b

a = – 3 i + 2

+ 2

,

= i + 2

+ 4

.

k

k

b

j

j

24

2.

Найти проекцию вектора c на направление вектора

:

d

c = (3, – 6, 5),

= (1, 4, 4).

d

3.

Найти угол между векторами a и

при указанных условиях:

b

| a | = 5,

= 4, (3 a –

)2 – ( a + 3

)2 = 0.

b

b

b

4.

Выяснить, при каком значении α векторы a ,

и c

будут компланарны:

b

a = (3, – 2, 1),

= (1, – 5, 2),

c = (α, 4, – 1).

b

5. Силы f1 = 4i + 7

+ 3

и f2 = 3i – 5

+

приложены к одной точке. Найти величину

k

k

j

j

работы, которую производит равнодействующая этих сил при прямолинейном перемещении из точки M1(5, 3, – 7) в точку M2(4, – 1, 4).

Вариант 9

1.

Найти площадь треугольника, построенного на векторах a и

:

b

a = 3 i + 2

– 2

,

= i –

+ 3

.

k

k

b

j

j

2.

Найти проекцию вектора c

на направление вектора

:

d

= (– 7, – 5, 1),

= (3, – 4, – 2).

c

d

3.

Найти угол между векторами a и

при указанных условиях:

b

| a | = 7, |

| = 2, ( a + 4

)2 + (3 a – 7

)2 = 274.

b

b

b

4.

Выяснить, при каком значении α векторы a ,

и c

будут компланарны:

b

a = (2, – 3, 5),

= (1, – 4, α),

c

= (2, 1, – 3).

b

5.

Вектор x перпендикулярен к векторам a

= (2, 3, – 1),

(1, – 2, 3) и удовлетворяет

b

условию x = (2i –

+

) = – 6. Найти вектор x .

k

j

Вариант 10

1.

Найти площадь треугольника, построенного на векторах a и

:

b

a = i – 6

– 2

,

= 5 i + 4

.

k

b

j

j

2.

Найти проекцию вектора c

на направление вектора

:

d

c = (5, 4, – 1),

= (2, – 4, 6).

d

3.

Найти угол между векторами a и

при указанных условиях:

b

| a | = 3, |

| = 6 ,

(5 a – 2

)2 – ( a + 3

)2 = 270.

b

b

b

4.

Выяснить, при каком значении α векторы a ,

и c

будут компланарны:

b

a = (1, 1, α),

= (– 1, 3, 1),

c

= (2, 1, – 3).

b

5. Вектор x , перпендикулярный к оси Oz и вектору a

= (8, – 15, 3), образует острый угол

с осью Ox. Зная, что | x | = 51, найти координаты x .

Вариант 11

1.

Параллелограмм построен на векторах a и

.

Найти его высоту, опущенную на

b

сторону, совпадающую с вектором a .

a = i – 2

+ 3

,

= – i – 2

– 2

.

k

k

b

j

j

25

2. Вектор x , коллинеарный вектору a , образует острый угол с осью Oz. Найти координаты вектора, если | x | = t.

a = (4, – 7, 1),

t =

264 .

3.

Найти угол между векторами m и n , если | m | = | n | = 1 и указанные векторы a

и

b

взаимно перпендикулярны.

a = 5 m – 4 n ,

= m + 2 n .

b

4.

Найти объем пирамиды, построенной на векторах a ,

и c :

b

a = (5, 2, 0),

= (2, 5, 0),

c

= (1, 2, 4).

b

5.

Векторы a и

взаимно перпендикулярны, а вектор c образует с ними углы, равные

b

π/3. Зная, что | a | = |

| = 2, | c | = 1, найти (2 a

–

) ( c

– a ).

b

b

Вариант 12

1.

Параллелограмм построен на векторах a и

.

Найти его высоту, опущенную на

b

сторону, совпадающую с вектором a .

a = – 4 i – 9

+ 2

,

= i – 4

+

.

k

k

b

j

j

2.

Вектор x , коллинеарный вектору a , образует

острый угол

с осью Oz. Найти

координаты вектора, если | x | = t.

a = (5, – 3, – 1),

t =

315 .

3.

Найти угол между векторами m и n , если | m | = | n | = 1 и указанные векторы a

и

b

взаимно перпендикулярны.

a = 3 m + 2 n ,

= m – n .

b

4.

Найти объем пирамиды, построенной на векторах a ,

и c :

b

a = (– 12, 2, – 4),

= (– 4, 2, 3),

c

= (– 3, 4, – 3).

b

5.

Даны два вектора a = (3, – 1, 5) и

= (1, 2, – 3). Найти вектор x

при условии, что он

b

перпендикулярен к оси Oz и удовлетворяет условиям: x a = 9, x

= – 4.

b

Вариант 13

1.

Параллелограмм построен на векторах a и

.

Найти его высоту, опущенную на

b

сторону, совпадающую с вектором

.

b

a = 3 i – 2

+ 4

,

= 4

– 4

.

k

k

b

j

j

2.

Вектор x , коллинеарный вектору a , образует

острый угол

с осью Oz. Найти

координаты вектора, если | x | = t.

a = (4, 5, – 6),

t =

308 .

3.

Найти угол между векторами m и n , если | m | = | n | = 1 и указанные векторы a

и

b

взаимно перпендикулярны.

a = m + n ,

= 2 m – n .

b

4.

Найти объем пирамиды, построенной на векторах a ,

и c :

b

a = (0, 1, – 1),

= (1, 0, – 1),

c

= (3, 2, 0).

b

5.

Даны точки А(2, 3, 4), В(3, 2, 5), С(1, – 1, 2) и D(3, 2, – 4). Найти проекцию вектора

(

+

) на вектор (

+

).

AB

AD

AC

DB

26

Вариант 14

1.

Параллелограмм построен на векторах

a и

.

Найти его высоту, опущенную на

b

сторону, совпадающую с вектором a .

a = 4 i – 3

–

,

= i + 2

+ 3

.

k

k

b

j

j

2.

Вектор x , коллинеарный вектору a ,

образует

острый угол с

осью

Oz.

Найти

координаты вектора, если | x | = t.

a = (3, – 5, 7),

t =

1328 .

3.

Найти угол между векторами m

и n , если | m | = | n | = 1 и указанные векторы a и

b

взаимно перпендикулярны.

a = m + 2 n ,

= 5 m – 4 n .

b

4.

Найти объем пирамиды, построенной на векторах a ,

и c :

b

a = (– 5, 6, – 8),

= (– 2, – 3, 1),

c

= (– 3, 1, 1).

b

5.

Векторы a и

взаимно перпендикулярны. Вектор c

образует с ними углы,

равные

b

π/3. Зная, что | a | = 3, |

| = 5,

c

= 2, вычислить

b

(3 a – 2

) (

+ 3 c ).

b

b

Вариант 15

1.

Параллелограмм построен на векторах

a и

.

Найти его высоту, опущенную на

b

сторону, совпадающую с вектором a .

a = 4 i – 3

+

,

= 2 i – 3

+ 3

.

k

k

b

j

j

2.

Вектор x , коллинеарный вектору a ,

образует

острый угол с

осью

Oz.

Найти

координаты вектора, если | x | = t.

a = (4, – 2, 2),

t = 10

6 .

3.

Найти угол между векторами m

и n , если | m | = | n | = 1 и указанные векторы a и

b

взаимно перпендикулярны.

a = m – 2 n ,

= 5 m + 4 n .

b

4.

Найти объем пирамиды, построенной на векторах a ,

и c :

b

a = (4, 4, – 6),

= (1, 3, 1),

c

= (0, – 2, 0).

b

5.

Найти угол

между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах

a = 2 m + n и b = m – 2 n , где m и n – единичные векторы, угол между которыми равен 60о.

Вариант 16

1.

Параллелограмм построен на векторах

a и

. Найти его высоту, опущенную на

b

сторону, совпадающую с вектором

.

b

a = 5 i + 2

+ 3

,

= 5 i + 2

.

k

k

b

j

2.

Вектор x , коллинеарный вектору a ,

образует

острый угол с осью Oz. Найти

координаты вектора, если | x | = t.

a = (5, 6, – 7),

t = 3

110 .

3.

Найти угол между векторами m и n , если | m | = | n | = 1 и указанные векторы a и

b

взаимно перпендикулярны.

27

a = 3 m – 2 n ,

= m + 4 n .

b

4.

Найти объем пирамиды, построенной на векторах a ,

и c :

b

a = (1, 2, – 1),

= (0, 2, 2),

c

= (– 1, 1, – 2).

b

5.

Векторы a и

взаимно перпендикулярны, а вектор c образует с ними углы, равные

b

π/3. Зная, что | a | = |

| = 2 и | c | = 1, вычислить ( a

+

+ c )2.

b

b

Вариант 17

1.

Параллелограмм построен на векторах a и

.

Найти его высоту, опущенную на

b

сторону, совпадающую с вектором

.

b

a = 4 i +

+

,

= 2 i +

–

.

k

k

b

j

j

2.

Вектор x , коллинеарный вектору a , образует

острый угол с осью Oz. Найти

координаты вектора, если | x | = t.

t = 2

a = (5, – 3, 9),

115 .

3.

Найти угол между векторами m и n , если | m | = | n | = 1 и указанные векторы a и

b

взаимно перпендикулярны.

a = 2 m – 3 n ,

= m – n .

b

4.

Найти объем пирамиды, построенной на векторах a ,

и c :

b

a = (– 1, 3, 3),

= (0, 4, 2),

c

= (3, 3, – 4).

b

5.

Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах

a = m + 2 n и b = 2 m – n , где m и n – единичные векторы, угол между которыми равен 60о.

Вариант 18

1.

Параллелограмм построен на векторах

a и

. Найти его высоту,

опущенную на

b

сторону, совпадающую с вектором

.

b

a = 3 i – 2

+ 4

,

= i + 3

–

.

k

k

b

j

j

2.

Вектор x , коллинеарный вектору a , образует

острый угол с осью Oz. Найти

координаты вектора, если | x | = t.

t = 5

a = (5, – 3, 1),

35 .

3.

Найти угол между векторами m

и n , если | m | = | n | = 1 и указанные векторы a и

b

взаимно перпендикулярны.

a = 2 m + n ,

= m – n .

b

4.

Найти объем пирамиды, построенной на векторах a ,

и c :

b

a

= (– 3, 6, 2),

= (– 4, – 1, – 5),

c

= (1, 0, 5).

b

5.

Даны три вектора

a = (4, 3,

–

2),

=

(6, 5, 1),

c

=

(2, –

3, 0). Найти вектор x ,

b

перпендикулярный вектору c и удовлетворяющий условиям: a x

= 4,

x

= 35.

b

Вариант 19

1.

Параллелограмм построен на векторах

a и

. Найти его высоту,

опущенную на

b

сторону, совпадающую с вектором

.

b

a = – 3 i + 4

+ 2

,

= 2 i + 3

+ 3

.

k

k

b

j

j

28

2. Вектор x , коллинеарный вектору a , образует острый угол с осью Oz. Найти координаты вектора, если | x | = t.

a = (7, – 4, 2),

t = 4

69 .

3.

Найти угол между векторами m

и n , если | m | = | n | = 1 и указанные векторы a

и

b

взаимно перпендикулярны.

a = 2 m + 4 n ,

= m – n .

b

4.

Найти объем пирамиды, построенной на векторах a ,

и c :

b

a = (3, – 2, 1),

= (1, 4, 0),

c

= (5, 2, 3).

b

5.

Векторы a и

образуют угол,

равный π/3. Зная,

что | a | = 6,

|

|

= 2,

вычислить

b

b

(2 a –

)( a + 3

).

b

b

Вариант 20

1.

Параллелограмм построен на векторах a и

. Найти его высоту,

опущенную на

b

сторону, совпадающую с вектором a .

a = i – 5

+ 4

,

= 2 i –

.

k

b

j

j

2.

Вектор x , коллинеарный вектору

a , образует острый угол

с осью

Oz. Найти

координаты вектора, если | x | = t.

a = (3, – 1, 7),

t = 6

59 .

3.

Найти угол между векторами m

и n , если | m | = | n | = 1 и указанные векторы a

и

b

взаимно перпендикулярны.

a = 3 m – 4 n ,

= m + n .

b

4.

Найти объем пирамиды, построенной на векторах a ,

и c :

b

a

= (– 3, 0, – 2),

= (– 1, – 1, 3),

c

= (– 4, – 1, 0).

b

5.

Векторы a и

образуют угол 2/3π. Зная, что

| a | = 11 и

|

|

= 2,

вычислить

b

b

(2 a + 3

) (2 a –

).

b

b

Вариант 21

1.

Найти | a ×

|, если | a | = k, |

| = l, a

= p:

b

b

b

k =

29 ,

l =

61 ,p = 36.

2.

Вектор x перпендикулярен вектору

и оси Oz. Найти координаты вектора x ,

если

b

x a = 6:

a =(4, 2, – 2),

=(5, 1, – 3).

b

3.Найти проекцию вектора a = (1, 2, 3) на вектор b = (2, 1, 0).

4.Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c , если за основание взят параллелограмм, построенный на векторах a и c :

a = (2, 3, – 1), b = (– 2, 4, 5), c = (3, – 1, 4).

5. Векторы a и b образуют угол 2/3π. Зная, что | a | = 3 и | b | = 4, вычислить

(3 a + 2 b ) ( a – 2 b ).

29

Вариант 22

1.

Найти | a ×

|, если | a | = k, |

| = l, a

= p:

b

b

b

k =

74 ,

l = 20 ,

p = 20.

2.

Вектор x перпендикулярен вектору a

и оси Oy. Найти координаты вектора

x , если

x

= 3:

b

a = (7, 5, 2),

= (0, 4, 3),

p = 26 .

b

3.

Найти проекции

на

:

AB

BC

A(1, 1, 0), B(1, – 1, 1), C(2, 0,1).

4.

Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на векторах a ,

и

,

если за

b

c

основание взят параллелограмм, построенный на векторах a и

:

b

a = (3, 6, 0),

= (– 2, 4, – 2),

c

= (5, 2, –1).

b

5.

Дан треугольник с вершинами

А(– 1, 5, 1), В(1, 1, – 2) и С(– 3, 3, 2). Определить его

угол при вершине С.

Вариант 23

1.

Найти | a ×

|, если | a | = k, |

| = l, a

= p:

b

b

b

k = 45 ,

l = 14 ,p = 5.

2. Вектор x перпендикуляренвектору

иосиOy. Найтикоординатывектора x , если a x = 5:

b

a =(4, 3, – 1),

=(3, 4, 8).

b

3.Найти проекцию вектора a = (4, – 1, 3) на вектор b = (2, 3, 5).

4.Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c , если за основание взят параллелограмм, построенный на векторах a и b :

a = (– 4, 5, – 4),

= (– 4, 0, 2),

c = (– 3, 3, – 5).

b

5.

Найти длину вектора a = 3 m – 4 n , зная, что m и n – взаимно перпендикулярные орты.

Вариант 24

1.

Найти | a ×

|, если | a | = k, |

| = l,

a

= p:

b

b

b

k =

33 ,

l =

59 , p = 25.

2. Вектор x перпендикуляренвектору

иосиOz. Найтикоординатывектора x , еслиxa = 4:

b

a = (2, 0, 2),

= (4, – 6, 0).

b

3.

Найти длину вектора a = 2 m – n , если | m | = | n | = 1 и угол между ними равен 60о.

4.

Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на векторах a ,

и c , если за

b

основание взят параллелограмм, построенный на векторах a и

:

b

a = (– 1, – 2, 5),

= (– 4, – 2, 5),

c = (1, – 3, – 2).

b

5.

Векторы a и

образуют угол π/6. Зная, что | a | =

3 и |

| = 1, вычислить угол между

b

b

векторами ( a +

) и ( a –

).

b

b

Вариант 25

1.

Найти | a ×

|, если | a | = k, |

| = l,

a

= p:

b

b

b

k = 46 ,

l =

38 ,

p = – 24.

30