2638 ЭИ
.pdf2. |
Вектор x перпендикулярен вектору a и оси Ox. Найти координаты вектора x , если |
||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
= – 10: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
a = (3, 4, – 1), |
|
|
|
|
= (4, 6, – 4). |
|
|||||||||||||||||||
|
|
b |
|
||||||||||||||||||||||||||||
3. |
Единичные векторы m и n образуют угол π/3. Найти a · |
|
, если a = m – n , |
|
= m – 2 n . |
||||||||||||||||||||||||||
b |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
Вычислить высоту параллелепипеда, |
|
построенного на векторах a , |
|
и |
c , если за |
|||||||||||||||||||||||||
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||
основание взят параллелограмм, построенный на векторах a и |
|
: |
|
||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a = (2, – 1, 1), |
|
|
|
= (– 3, 0, 4), |
c = (0, 4, 3). |
|
|||||||||||||||||||
|
|
b |
|
||||||||||||||||||||||||||||
5. Даны три вектора a = (3, – 6, – 1), |
|
|
|
|
= (1, 4, – 5), c |
= (3, – 4, 12). Вычислить проекцию |
|||||||||||||||||||||||||
b |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
вектора ( a + |
|
|
) на вектор c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1. |
Найти | a |
|
|, если | a | = k, | |
|
| = l, a |
|
|
= p: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
b |
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k = 30 , |
|
|
|
l = |
29 , |
|
|
p = - 28. |
|
||||||||||||||||
2. |
Вектор x перпендикулярен вектору |
|
|
|
и образует с осью Oy прямой угол. Найти |
||||||||||||||||||||||||||
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||
координаты вектора x , если x a = 33: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
a =(4, 6, 5), |
|
|
|
|
|
|
=(– 1, 2, 7). |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
3. Единичные векторы m и n образуют угол π/2. Найти угол между векторами a = m + n
и |
|
= 2 m – n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. |
Вычислить высоту параллелепипеда, |
построенного на векторах a , |
|
и c , если за |
||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
основание взят параллелограмм, построенный на векторах a и |
|
|
|
: |
||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a = (– 2, 5, 0), |
|
|
|
|
= (– 2, 1, – 1), |
|
|
= (– 5, 1, 5). |
||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
c |
||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
Даны три вектора a = (1, – 4, 8), |
|
|
|
|
|
= (4, 4, – 2), |
c = (2, 3, 6). Вычислить проекцию |
||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
вектора ( |
|
+ c ) на вектор a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
Найти | a |
|
|, если | a | = k, | |
|
| = l, a |
|
|
|
= p: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
b |
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k = |
50 , |
|
|
l = 14 ,p = – 23. |
||||||||||||||||||||||
2. |
Найти площадь треугольника, построенного на векторах a и |
|
|
: |
||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a = 5 i – 4 |
|
+ 2 |
|
, |
|
|
= – 2 i + 3 |
|
– 3 |
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
k |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
j |
j |
3.Найти проекцию вектора c = (7, 5, – 4) на направление вектора d = (3, – 2, 4).
4.Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c , если за основание взят параллелограмм, построенный на векторах a и b :
a = (– 2, 3, 0), |
|
|
|
|
= (– 2, 0, 6), |
c |
= (0, 3, – 2). |
|
b |
||||||||
5. Даны три вектора a = (2, – 1, 3), |
|
|
|
= (1, – 3, 2), |
|
|
= (3, 2, – 4). Найти вектор x , |
|
|
b |
|
c |
|||||
удовлетворяющий условиям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
( x a ) = – 3,( x b ) = – 7, , ( x c ) = 11.
Вариант 28
1. Параллелограмм построен на векторах
a = 3 i – 2 j + 3 k и b = 7 j + 4 k .
31
Найти его высоту, опущенную на сторону, совпадающую с вектором a .
2. Вектор x коллинеарен вектору a = (– 1, 9, 2) и образует с осью Oz острый угол. Найти
координаты вектора x , если | x | = |
27 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3. |
Найти угол между единичными векторами m |
и |
n , если векторы a |
= |
3 m |
+ n и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= 2 m – n перпендикулярны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4. |
Вычислить высоту параллелепипеда, |
|
построенного на векторах a , |
|
|
и |
c , |
если за |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
основание взят параллелограмм, построенный на векторах a и |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = (4, – 6, 4), |
|
|
|
|
|
|
= (4, – 1, 2), c |
|
= (3, 2, 7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
Даны три вектора a = (3, – 2, 1), |
|
|
|
|
|
= (0, 4, 5), |
c |
= (1, 2, 0). Найти проекцию ( a + c ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1. |
Найти | a |
|
|, если | a | = k, | |
|
|
| = l, |
a |
|
|
|
= p: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
b |
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = |
53 , |
|
|
|
|
|
|
l = |
30 , |
|
|
|
p = 12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2. |
Вектор x перпендикулярен вектору a и образует с осью Oz прямой угол. Найти |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
координаты вектора x , если |
|
x = 5: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = (4, 5, 0), |
|
|
|
|
|
|
|
= (5, 2, – 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
Вычислить высоту параллелепипеда, |
|
построенного на векторах a , |
|
|
и |
c , |
если за |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
основание взят параллелограмм, построенный на векторах a и |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a = (– 12, 2, – 4), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (– 4, 2, 3), |
c = (– 3, 4, – 3). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
Даны три вектора a = (3, – |
2, |
4), |
|
|
|
|
= |
(5, 1, 6), |
c |
= (– 3, |
0, 2). Найти вектор x , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
удовлетворяющий одновременно трем уравнениям: a x |
= 4, |
|
x |
= 35, |
|
x |
= 0. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
c |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
Выяснить, при каком значении α векторы a , |
|
|
и c будут компланарны: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
= (2, – 3, 1), |
|
|
|
|
|
= (– 2, 5, – 2), |
|
|
c = (α, 1, – 3). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1. |
Найти | a |
|
|, если | a | = k, | |
|
| = l, |
a |
|
|
|
= p: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
b |
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = |
98 , |
|
|
|
|
l = 21 ,p = 10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2. |
Найти объем пирамиды, построенной на векторах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
= (1, 1, – 1), |
|
|
= (1, – 1, – 1), |
|
|
|
|
|
|
c = (3, 2, 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
Вычислить высоту параллелепипеда, |
|
построенного на векторах a , |
|
|
и |
c , |
если за |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
основание взят параллелограмм, построенный на векторах a и |
|
: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = (5, 2, 0), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (2, 5, 0), |
|
c = (1, 2, 4). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
Найти угол между векторами a |
|
|
= 2 m + 4 n , |
|
|
|
= |
m – n , где m и n |
– единичные |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
векторы, образующие угол в 60о. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5. |
Даны три вектора a = (3, – 1, 1), |
|
|
= (1, 4, 2), |
c |
= (2, 1, – 3). Найти проекцию ( a + |
|
) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32