11-09-12_13-37-11 / ТТ-Бочкарев,Кайдалова

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Ф Е Д Е Р А Л Ь Н О Е А Г Е Н Т С Т В О П У Т Е Й С О О Б Щ Е Н И Я

							САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
	СамГУПС
							УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

К а ф е д р а в ы с ш е й м а т е м а т и к и

Вы с ш а я

мат ем ат ик а

Т Р Е Н И Р О В О Ч Н Ы Е Т Е С Т Ы

Д Л Я С Т У Д Е Н Т О В З А О Ч Н О Й Ф О Р М Ы О Б У Ч Е Н И Я И Н Ж Е Н Е Р Н О - Т Е Х Н И Ч Е С К И Х

И Э К О Н О М И Ч Е С К И Х С П Е Ц И А Л Ь Н О С Т Е Й ( 1 С Е М Е С Т Р )

z

0

у

x

Cамара – 2009

УДК 519.7

Высшая математика. Тренировочные тесты для студентов заочной формы обучения инженерно-технических и экономических специальностей (1 семестр) / А.Д. Бочкарев, Л.В. Кайдалова; Самара: СамГУПС, 2009. 40 с.

Утверждена на заседании кафедры, протокол № 4 от 22.12.08.

Печатается по решению редакционно-издательского совета университета.

Методические указания составлены в соответствии с Государственным образовательным стандартом, с действующей программой по высшей математике для технических и экономических специальностей и охватывают следующие разделы курса высшей математики: абстрактная алгебра, линейная алгебра, аналитическая геометрия, комплексные числа, введение в теорию множеств, математическая логика и введение в математический анализ.

В методических указаниях приведены рабочая программа первого семестра, примеры решения тестовых задач, а также тест для самопроверки.

Рекомендуются студентам инженерно-технических и экономических специальностей заочной формы обучения.

Ил. 17. Табл. 7. Библиогр.: 9 назв.

Составители:	А.Д. Бочкарев, к. ф.-м. н., доцент,
	Л.В. Кайдалова, к. ф.-м. н., доцент
Рецензенты: к. т. н.,	доц. СамГТУ	Егорова Г.Ф.,
к. ф.-м. н., доц. СамГУПС		Харьковский С.И.

Бочкарев А.Д., Кайдалова Л.В.

Самарский государственный университет путей сообщения, 2009

2

В В Е Д Е Н И Е

Тесты предназначены для использования в процедурах подготовки и самопроверки студентов заочной формы обучения с целью оценки уровня остаточных знаний по курсу «Математика» за первый семестр.

Уровень сложности заданий и их содержание соответствует требованиям ГОС по математике для студентов инженерно-технических и экономических специальностей.

Проверочный тест состоит из заданий с выбором одного ответа из пяти предложенных. Классификация уровня сложности заданий – решение типовой задачи (известное сочетание типовых действий).

Алгоритм проверки – за правильный ответ испытуемый получает 1 балл, за неправильный получает – 0,25 балла, за неуказанный ответ – 0 баллов.

Для данного теста установлены следующие критерии перевода тестовых бал-

лов в 4-х балльную шкалу оценок
неудовлетворительно	– до 50 % баллов,
удовлетворительно	– от 50 до 69 % баллов,
хорошо	– от 70 до 84 % баллов,
отлично	– более 85 % баллов.

Р А Б О Ч А Я П Р О Г Р А М М А

1 . А Б С Т Р А К Т Н А Я А Л Г Е Б Р А

1.1.Определение и свойства бинарной алгебраической операции.

1.2.Основные алгебраические структуры: группы, кольца, поля.

2 . Л И Н Е Й Н А Я А Л Г Е Б Р А

2.1.Определители второго и третьего порядков. Основные свойства определителей, минор и алгебраическое дополнение. Понятие об определителе n-ого порядка и его вычислении.

2.2.Матрицы. Их виды. Алгебра матриц. Обратная матрица.

2.3.Решение систем линейных уравнений (СЛУ) методом Крамера и матричным методом.

2.4.Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛУ методом Га-

усса.

3 . В Е К Т О Р Н А Я А Л Г Е Б Р А И А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я

3.1.Векторы. Линейные операции над векторами, их свойства. Базис в пространстве, орты, декартова система координат. Направляющие косинусы.

3.2.Скалярное произведение, его свойства, приложения.

3.3.Векторное произведение. Его свойства. Геометрический и механический смысл векторного произведения. Условие коллинеарности векторов.

3

3.4.Смешанное произведение. Его свойства, приложения смешанного произведения.

3.5.Линейные (векторные) пространства. Определения и примеры. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Базис и размерность линейного пространства. Евклидовы пространства (общие понятия). Норма вектора в евклидовом пространстве; нормирование векторов.

3.6.Нормальное уравнение плоскости в векторной и координатной формах. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

3.7.Векторное, канонические и параметрические уравнения прямой. Пересечение прямой и плоскости. Деление отрезка в данном отношении. Расстояние от точки до плоскости. Параллельность и перпендикулярность прямых; прямой и плоскости.

3.8.Уравнение линии на плоскости. Простейшие задачи аналитической геометрии.

3.9.Линейные операторы (отображения). Матрица линейного оператора в заданном базисе. Действия с операторами. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Изменение матрицы линейного оператора при преобразовании базиса.

3.10.Линии второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

3.11.Приведение к каноническому виду кривых второго порядка.

3.12.Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Приведение общего уравнения кривых второго порядка к каноническому виду. Приведение общего уравнения поверхностей второго порядка к каноническому виду.

3.13.Цилиндрические и сферические координаты.

3.14.Полярная система координат. Уравнения кривых второго порядка в полярных координатах.

4 . Э Л Е М Е Н Т Ы Т Е О Р И И М Н О Ж Е С Т В

4.1.Понятия множества и подмножества. Операции над множествами.

4.2.Декартово произведение множеств. Мощность множества.

5 . Э Л Е М Е Н Т Ы М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Л О Г И К И

5.1.Понятие о высказывании. Логические операции.

5.2.Булева алгебра высказываний. Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы. Кванторы.

6 . К О М П Л Е К С Н Ы Е Ч И С Л А

6.1.Комплексные числа, действия над ними. Изображение комплексного числа на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа.

6.2.Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа. Формула Эйлера. Показательная форма записи комплексного числа. Формула Муавра.

4

7 . В В Е Д Е Н И Е В М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й

АН А Л И З

7.1.Понятие отображения. Числовые функции одной (ФОП) и нескольких переменных (ФНП), вектор-функция скалярного аргумента. Числовая последовательность. Элементы топологии: определение метрического пространства, предел отображения, пределы ФОП и ФНП.

7.2.Функции и графики. Область определения и область значений функции. Способы задания. Основные элементарные функции. Обратные и сложные функции.

7.3.Числовая последовательность. Предел последовательности. Пределы ФОП и ФНП

7.4.Понятие бесконечно малой (БМ) и бесконечно большой (ББ) величин, их свойства. Простейшие свойства пределов. Сравнение БМ и ББ. Свойства эквивалентных БМ и ББ.

7.5.Предельный переход в равенстве и неравенстве. Признаки существования предела. Первый и второй замечательные пределы и их следствия. Таблица основных эквивалентных БМ.

7.6.Непрерывность отображения. Непрерывность ФОП. Односторонние пределы функции в точке. Точки разрыва функции и их классификация. Свойства функций, непрерывных в точке и на отрезке. Непрерывность ФНП.

7.7.Численные методы решения нелинейных уравнений. Отделение корней.

Метод половинного деления, хорд и касательных.

7.8. Интерполяция функций. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона.

Т Р Е Н И Р О В О Ч Н Ы Й Т Е С Т С Р Е Ш Е Н И Я М И П О К У Р С У « М А Т Е М А Т И К А » Д Л Я П Е Р В О Г О С Е М Е С Т Р А 1

№		З А Д А Н И Е		Р Е Ш Е Н И Е
	Множество		N натуральных	На множестве N выполнимы только
1.	чисел замкнуто относительно			операции сложения и умножения, так
	операций…			как в результате действия операций вы-
	1)	вычитания; 2) сложения;		читания и деления могут появиться от-
	3)	деления;	4) умножения.	рицательные и дробные числа.
	Бинарная операция сложе-
	ния выполнима и однозначна
	на множестве чисел…
2.	1)	нечетных натуральных;		Только для множеств 2) и 4).
	2)	натуральных;
	3)	А {x : 1 x 3};
	4)	целых.

1 Для экономических специальностей в первом семестре дополнительно изучается раздел «Дифференциальное исчисление».

5

№

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

Элемент b M называется симмет-

Дано множество рациональ-

ричным элементу a M, если справед-

ливо соотношение b

a = a b = e, где

ных чисел с

операцией « »

е – нейтральный элемент. Во множестве

3.

(умножение)

и

нейтральным

Q для бинарной операции умножение

элементом 1

(единица). Эле-

симметричный элемент а–1 для а 0 бу-

мент, симметричный элементу

1

1

1

1 / 2, равен…

дет

. Тогда

2 2

1 симмет-

а

2

2

ричный элемент равен 2.

Отношение R называется отношением

эквивалентности, если оно рефлексивно

(aRa) , симметрично

(aRb bRa)

и

Свойством

эквивалентно-

транзитивно (aRb, bRc aRc) .

В 1) не выполняется условие рефлек-

сти обладает бинарное отно-

сивности.

шение…

В 2) все три условия выполняются.

4.

1) иметь разный рост;

В 3) не выполняются условия рефлек-

2) быть подобным;

сивности и симметричности.

3) быть отцом;

В 4) не выполняется условия рефлек-

4) быть перпендикулярным.

сивности

( aRa )

и

транзитивности

( aRb, bRc aRc ).

Так что только

от-

ношение «быть подобным» есть отно-

шение эквивалентности.

Дана матрица

Элемент а21 расположен на пересече-

нии второй строки и первого столбца,

3

1

2

т.е. а21 =

0. Минор элемента а21 равен

1

2

.

Тогда алгебраическое допол-

5.

А = 0

4

3 .

7

2

7

нение равно

1

2

Алгебраическое дополнение

(–1)

1

2

,

7

2

элемента а21 равно…

так как (–1)2 + 1 = –1.

Определитель

Разложим определитель по элементам

6.

3

2

1

второй строки, так

как в этой строке

0

b2

0

только один отличный от нуля элемент

b2:

c1

0

c3

6

№		З А Д А Н И Е														Р Е Ш Е Н И Е
	равен…														3	2	1			= b2				3		1			b2 (3c3 c1) =
															0 b2		0
																								с1	с3
															c1	0	c3
													= 3b2c3 – b2c1.
															Вычислим определитель разложением
	Определитель												по элементам второго столбца и далее
													по элементам третьего столбца
				1		0	4		3								1	0			4		3						1	4		3
																	2	3			5		1
				2		3	5		1																= 3				1	2		0
7.																	1	0			2		0
				1		0	2		0																				3	5		0
																	3	0			5		0
				3		0	5		0
																		= 9(1 5 3 2) 9 .
	равен…														Замечание. Разложение удобно осуще-
													ствлять по строке (столбцу), содержа-
													щей наибольшее количество нулей.
							1			2																					2			4
	Если				A						и				Найдем			сначала 2А: 2А =
							4																									8		.
8.									5				Далее вычислим																					10
		1	1
	B																									1					3
			2		, то С = 2А + В
		0															С = 2А + В =
	имеет вид…																													8		.
																										8
															Протранспонируем матрицу А, т. е.
													строки заменим столбцами (с теми же
																					T			1		2
									1		1		номерами)																	.	Умножение
																					A				1
	Если											,														1
							A						возможно, поскольку число																			столбцов
9.									2		1
		5	1										первой матрицы равно числу строк вто-
							T
	C				, то A C равно…								рой; в результате умножения получается
		0	2										матрица порядка 2 2
																T		1			2 5							1			5			3
																														=
															A C																			.
																		1 1 0										2				5 1
	Обратная матрица A–1 для														Матрица А имеет обратную, так как
													определитель det A = 2 0.
10.						3		2							Найдем			транспонированную матрицу
	матрицы			A												3		5
								4	равна…						Т
						5															, а затем союзную, состав-
															A		2
																		4

7

№

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

ленную из алгебраических дополнений

АТ

~

4

2

A

3

.

5

–1

1

~

Тогда

A

=

A

det A

1

4

2

2

1

=

5

3

.

2

2,5

1,5

Из определения ранга матрицы следу-

ет:

а) ранг m n матрицы А не превосхо-

дит меньшего из ее размеров, т. е. rang A

min (m, n);

Ранг матрицы

б) rang A = 0 тогда и только тогда, ко-

гда

все элементы матрицы равны 0, т. е.

0

6

5

0

А = О;

11.

в)

для квадратной матрицы n-ого по-

0

0

рядка rang A = n тогда и только тогда,

3

1

когда матрица А невырожденная (det A

равен...

0).

В данном примере rang A min (2, 4) =

2. Проверим, существует ли отличный

от нуля минор 2 порядка:

0

6

3 6 18 0 rang A = 2.

3

0

Если (x0, y0) – решение сис-

По формулам Крамера

темы

линейных

уравнений

3

2

x 2y 3;

12.

(СЛУ)

х

5

2

х0

.

3x 2y 5,

то х0

1

2

может

определяться по

3

2

формуле…

Если (x0, y0) – решение СЛУ

Найдем решение СЛУ.

Для этого из

x 2y 3;

второго

уравнения

вычтем

почленно

13.

первое, получим уравнение относитель-

но х и решим его:

2x 8

x 4 . Под-

3x 2y 5,

ставим полученное значение в первое

то x0 + y0 равно…

уравнение

системы

и

получим:

8

№

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

4 2y 3

y 3,5 . Таким образом,

x0 = 4, у0 = –3,5

x0 + y0 = 0,5.

СЛУ не имеет решений, если 0 ,

Дана СЛУ

x 0 ,

у

0 . Тогда

2

5

10 5а 0 а 2 .

2x 5y 1;

а

5

14.

При этом

аx 5y 2.

1

5

Система не имеет решений

x

5 10 5 0 ,

2

5

при а равном…

у

2

1

4 2 2 0 .

2

2

Составим расширенную матрицу

В СЛУ

1

3

1 2

1

0

1

1

2

1

A = 0

0 rang A=

x1 3x2 x3 2x4 x5 0,

0 0

2

1 4

0

x x 2x x 0,

2

3

4

5

= 3 каждую из троек переменных

15.

2x x 4x

0

можно

брать

за базисную (соответст-

3

4

5

базисными

(несвободными)

вующие им миноры матрицы не равны

0) С53 10

(х1, х2, х3), (х1, х2, х4), (х1,

переменными

можно счи-

х2, х5), (х1,

х3,

х4), (х1,

х3,

х5), (х1, х4, х5),

тать…

(х2, х3, х4), (х2,

х3, х5), (х2, х4, х5), (х3, х4,

х5).

Система имеет бесчисленное множе-

ство решений,

так как

rang A = rang B =

2 < n = 4 (n – число неизвестных). Всего

Число

базисных

решений

групп переменных по 2 из четырех

шесть: (х1, х2), (х1, х3), (х1, х4), (х2, х3), (х2,

системы

х4), (х3, х4).

16.

x1 3x2 2x3 3x4

1,

Только 3 из них (х1, х2), (х2, х3), (х2, х4)

можно выбирать за базисные (миноры

5x2 4x3 6x4 0

матрицы системы при них соответствен-

2x1

но не равны нулю). Полагая в общем

равно…

решении при каждом выборе базисных

переменных равными нулю свободные

переменные, получаем одно базисное

решение. Таким образом, система имеет

три базисных решения.

9

№

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

Базисное решение системы

Если базисные переменные – х1, х4, то

свободные – х2, х3, х5, тогда, полагая х2 =

x

x 2x x

x

1,

= х3 = х5 = 0, из системы имеем

1

2

3

4

5

17.

x x 4x 2x 2x 3,

х

х

1,

х

5,

1

2

3

4

5

если в качестве базисных пе-

1

4

1

ременных взять

х1

и

х4, име-

х 2х

4

3

х

4

4

1

ет вид…

Хбаз = (5; 0; 0; 4; 0).

Число линейно независимых

Однородная СЛУ имеет

ненулевые

решений в

фундаментальной

решения,

так как rang A = rang B = 2 < n

системе однородной СЛУ

= 4 (n – число неизвестных). Число ре-

x1 x2 x3 x4

x5

0,

18.

шений в фундаментальной системе рав-

2x5 0

но разности между числом неизвестных

x1 2x2 3x3 x4

при каждом из выборов базис-

и рангом матрицы n – rang A = 5 – 2 =

ных переменных равно…

3.

Собственные

значения

линейного

~

, заданного матрицей

оператора А

Собственные

значения соб-

а

а

А =

11

12

ственных векторов линейного

а21

а22

преобразования,

заданного в

есть корни характеристического уравне-

19.

некотором

базисе

матрицей

ния

1

2

a11

a12

A

0 .

3

, могут быть най-

a21

a22

4

дены по формуле…

В нашем случае

1

2

0 .

3

4

Даны векторы

a

= i j

k

2

;

b

6i 2 j 4k

20.

и b =

3i j 2k . Тогда ли-

2

.

нейная

комбинация

2

a

b

= 5i j 3k

a

b

этих векторов равна…

Координаты и длина вектора

= 4,

5, 3 ,

A1A2

A1A2

21. A1A2 ,

если А1(4, 2, 5),

4 2

52

3 2

5

.

А2(0, 7, 2), равны…

50

2

22.Даны вершины треугольниКоординаты точки D (середина отрез-

10