Типовик 2 семестр ч4

110

ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

1 уровень

а) 1 sin22xdx;

б) 2e13xdx;

в) 1 ctg22xdx;

г) 2

dx

.

5x 1 4

2 уровень

а)

1

3 e9x

dx;

б)

cos(9 1 2x)dx;

в)

dx

.

4

1sin6x

2

2

2

25x2 1

1

3 уровень

1

cos(5x 41)

а) 5

1

e3x

4

3 73x 4 sh22x2dx;

22

3

б) 3((5 1 x)5 2 e13x21 2 25x24 )dx.

3. Вычислить интегралы, используя метод замены пе ременной:

1 уровень

а) 2 22arctgx dx;

1 1 x2

2 уровень

а) 1 tg x dx; x

3 уровень

а) 2 x 1 ln2 2x dx; x

в) 3 x 1 2arctgx dx. 12 x2

б) 24x x2 11dx;			в) 2e1 sinx cosxdx.
б) 2	sinxdx		в) 2	x2dx
		;			.
				22 1 x6
	1 1 4cos2 x

б) 2 arcsin4 x 1 4 dx; 1 1 x2

4. Вычислить интегралы, используя метод интегриро вания по частям:

1 уровень
а) 2(x 1 1)exdx; б) 1 xcosxdx;	в) 1 lnx5dx.

ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

111

2 уровень

a) 2(x 1 6)cos7xdx; б) 1 x

5

x

ln

3 dx; в) 2arctg

22x 11dx.

3 уровень

а) 1 ex cos2xdx;

б) 1 x2 sin3xdx;

в) 1

x ln2 xdx.

5. Вычислить интегралы от рациональных дробей:

1 уровень

а) 2

dx

б) 2

dx

в) 3

dx

.

;

;

x2 1 2x 1 26

x2 1 2x 115

(x 1 2)(x 2 9)

2 уровень

а) 3

3x 11

dx;

б) 2

dx

; в) 3

5x3 1 9x2 2 22x 2 8

dx.

x2 2 x 11

x3 1 64

x2 2 4x

3 уровень

а) 3

x3

dx; б) 2

dx

; в) 2

dx

.

x

3

1 x

2

2 x 2

x

2

2

x

4

1 8x

2

1

15

1

(x 11)

6. Вычислить интегралы от тригонометрических функ

ций:

1 уровень

а) 1 sin5xcosxdx;

б) 2

dx

в) 1

sinx

dx.

;

8 1 3sinx

cos3 x

2 уровень

а) 1 sin4 2xdx;

б) 1 sin5 xcos2 xdx;

в) 3

dx

.

8 1 4sinx 2 7cosx

3 уровень

3x

в) 1

dx

а) 2(1 1 3cos2x)3 dx;

б) 1 tg4 2 dx;

.

sin3 xcosx

7. Вычислить интегралы от иррациональных функций:

112

ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

1 уровень

а) 2

dx

;

б) 2

dx

;

в) 2

2 1

x 11

dx.

2

1 8x 1

5

x 1

3

x

3

x 11

x

2 уровень

а) 3

x 1 1

dx;

б) 2

x2 1 9dx;

в) 4

dx

.

x11 3 3 x 23

12 x 1 x2

3 уровень

а) 3

4x 11 2 5

dx;

б) 2

1 1 3 x

dx;

(4x 11)2 2 4x 11

x3

в) 2

x2dx

.

2 1 3/2

(x

9)

Вариант 23

1. Вычислить интегралы непосредственным интегри рованием:

1 уровень

а) 123x dx;														б) 123tgxdx;
в) 2(x7 1 cosx)dx;														г) 1	x4		dx.
																x
2 уровень
										1				б) 8	1	23sinx 3					3		2
а)				x		x	3					dx;			4									5dx;
	4	1							sin2 x		2
															6							x5 7
	8	1				6		3		23	x 2
в)		4								x		5dx.
							9
		6 x2 3										7
3 уровень
а) 3					x3 1 x 2 x5 2 x6									б) 9	1	34		x	4		11 2
													dx;		5											6dx.
																					3 4x		2
							x			x
															7				4							8

2. Вычислить интегралы, используя метод линейной замены:

ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ									113
1 уровень
а) 1 cos23xdx; б) 2412x dx; в) 1 tg23xdx;				г) 2		dx		.
						3 1 7x
2 уровень
а) 2(sin8x 1 e5x )dx;		б) 2cos(4 1 23x)dx;		в) 2		dx			.
						1 1	23x
3 уровень
1	ctg(5x 4 4)
а) 51523x 4			3 e7x 4 ch23x2dx;
	2

б) 51 (2 3 6x)7 4 e432x 4 26x45 2dx.

3. Вычислить интегралы, используя метод замены пе ременной:

1 уровень

	1arcctgx
а) 3 e12 x2 dx;				б) 2x2 (x3 1 2)24 dx;				в) 2 e1 cosx sinxdx.
2 уровень
а) 1	sh x			б) 2	xdx			в) 2x2 9 1 1 x3 dx.
	x dx;					;
					(1 1 x2 )7
3 уровень
а) 2	23 1 tg27x	dx;		б) 2	arccos3 x 1 23		dx;
	cos2 7x				1 1 x2
в) 3	5x 1 arctg5x		dx.
	1 2 x2

4. Вычислить интегралы, используя метод интегриро вания по частям:

1 уровень

а) 1 x23x dx;	б) 17xsinxdx;	в) 1 lnx3dx.
2 уровень
а) 2(x 1 4)e5xdx;	б) 1 x23 lnxdx;	в) 2arctg 23x 11dx.

114

ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

3 уровень

а) 1 ex sinxdx;

б) 1 x2 cos9xdx;

в) 1 3 x ln2 xdx.

5. Вычислить интегралы от рациональных дробей:

1 уровень

а) 2

dx

б) 2

dx

в) 3

dx

;

;

.

x2 1 x 1 0,5

(x 11)(x 2 8)

x2 1 4x 112

2 уровень

а) 2

2x 11

б) 3

dx

;

в) 2

dx

dx;

.

(x 11)(x 2 4)(x 1 3)

1 1 x2 1 6x

x3 1 x2

3 уровень

а) 3

2x3 1 6x2 1 7x

б) 2

x3

1 5x2 1 12x 1 4

dx;

dx;

(x 2 2)(x 1

3

(x

2

1

4)(x 1 2)

2

1)

в)

dx

.

2 x4 1 4x2 1 3

6. Вычислить интегралы от тригонометрических функ

ций:

1 уровень

а) 1 sin7xcosxdx;

б) 2

dx

;

в) 1 cosxsin4 xdx.

sinx 1 cosx

2 уровень

а) 1 cos4 6xdx;

б) 1 sin3 2xcos3 2xdx;

в) 2

sinx 1 cosx

dx.

3 1 sinx

3 уровень

а) 2

(1 1 2sinx)

3

б) 1 ctg

4 x

в) 2

sin3 x

dx;

5 dx;

dx.

cosx 1 6

7. Вычислить интегралы от иррациональных функций:

1 уровень

а) 3

dx

;

б) 3

3 1

xdx

;

в) 2

x

dx.

x2 1 4x 2 3

1 2 4x

x 116

	ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ										115
	2 уровень
	а) 3			3x 1 5				dx;	б) 3	11 x2 2 2xdx;
			16 1 6x 2 x2
	в) 2	3	3x 1 7 1 2				dx.
		1	1	3	3x 1	7
	3 уровень									dx
	а) 2x5 3 (2 1 x3 )2 dx;								б) 2		;
										x 1 3 x 1 24 x
	в) 2	3	1 1 4 x3			dx.
				x2

Вариант 24

1. Вычислить интегралы непосредственным интегри рованием:

1 уровень

а) 1 x24			3dx;
в) 41x2			x 3 sinx2dx;
2 уровень
а) 415 x2 3				1		2dx;
				x2 316
	8	2 x 1 24x2			13		3
в)		4						5dx.
			x		x2 1
		6					17

3 уровень
а) 3	x3	1 3x3 2 x5 2 x7	dx;
		x2

б) 2(15)cosxdx;

г) 1 3xx2 x dx.

б) 8	1	3chx 3	24	2
	4			5dx;
			7
	6		x	7

б) 9	1	324e	x	4	1			2
	5							6dx.
					64 4	64x	2
	7							8

2. Вычислить интегралы, используя метод линейной замены:

1 уровень

а) 1 sh24xdx; б) 2	214x dx; в) 1 cos5xdx; г) 2	dx			.
		15	1
				2x

116					ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ
2 уровень
а) 2(tg24x 1 5e13x )dx;								б) 2sin(2 17x)dx; в) 2					dx		.
												1	1 81x	2
3 уровень
	9	2	1		1x		8			3
а)		5		e		4		1	1 4 5x	4 ctg24x6dx;
			2				sin2 (2x 1 4)
		7								8

б) 515 (1 4 5x)2 4 24e43x 4 93x41 2dx.

3. Вычислить интегралы, используя метод замены пе ременной:

1 уровень

а) 2

exdx

;

б) 1

sinx

dx;

в) 124cosx sinxdx.

24

1 e

x

5

cos

x

2 уровень

24

x2dx

3

а) 1 lnx x dx;

б) 2

;

в) 12x

x2dx.

(1 1 x3 )4

3 уровень

а) 2

3 ctgx 1 24

dx; б) 2

arcsin6 x 11

dx;

sin2 x

1 1 x2

в) 35x 1 arctgx dx. 1 2 x2

4. Вычислить интегралы, используя метод интегриро вания по частям:

1 уровень
а) 1 x24x dx;	б) 2(x 1 24)sinxdx;	в) 1lnx6dx.
2 уровень
а) 3(3x 2 2)e1xdx;	б) 1 x x lnxdx;

в) 2arcsin 1 1 24x2 dx.

ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

117

3 уровень

а) 15x sinxdx;

б) 1 x2 cos24xdx;

в) 1 6 x ln2 xdx.

5. Вычислить интегралы от рациональных дробей:

1 уровень

а)

dx

;

б)

dx

;

в)

dx

.

2 x2 1 2x 1

50

3 (x 1 4)(x 2

6)

2 x2 1 2x 1 35

2 уровень

а) 3

3x 11

dx;

б) 2

xdx

;

в) 3

dx

.

(x 11)(x 2 5)2

x2 2 2x 2 3

x3 1 8

3 уровень

а)

3

x3 1 6x2 1 18x 2 4

dx; б)

dx

;

в)

x5dx

.

(x 2 2)(x 1 2)3

2 x3 1 x2 1 x 1

1

2 x4 11

6. Вычислить интегралы от тригонометрических функ

ций:

1 уровень

а) 1 sin5xsin7xdx;

б) 2

dx

в) 1

;

sinx cosxdx.

1 1 sinx

2 уровень

а) 1 cos4 5xdx;

б) 1 cos5 xdx;

в) 2

dx

.

(sinx 1 cosx)

2

3 уровень

dx

а) 2(2 1 4sin3x)3 dx;

б) 2

; в) 1

dx

.

4 1 tgx

sinxcos3 x

7. Вычислить интегралы от иррациональных функций:

1 уровень

а) 3

dx

б) 4

dx

в) 2

x3

;

;

dx.

x2 1 2x 2 8

x 13 x 3 92

x 1 1

2 уровень

а) 3

x 1 1

dx;

б) 2

x3

dx;

в) 2

2 1 x

dx.

5 2 4x 2 x

2

4 1 x

2

1

1

3

2 1 x

118 ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

3 уровень

а) 2

dx

5 113 4 x3 24

dx

;

б) 4

dx; в) 2

.

(x2 11)5

x2 (x2 116)1/2

20 x47

Вариант 25

1. Вычислить интегралы непосредственным интегри

рованием:

1 уровень

25

а) 125

x7 dx;

б) 2

dx;

x2 1 25

1x3 3 25tgx2dx;

3

в) 4

г) 1

5x

dx.

x x

2 уровень

б) 418sinx 3

2dx;

а) 5

13ex 4 cos25x 2dx;

3

x2

3 25

в)

9

2

x

4

x2

1 5x 3

5

3

x2

6dx.

7

8

3 уровень

x 1 x 2 x2 2 x3

1

5

2

а) 3

dx;

б) 845ctgx

3

5dx.

25 3 25x

3

x

2

6

7

2. Вычислить интегралы, используя метод линейной замены:

1 уровень

а) 1

dx

dx

; б) 2e12xdx;

в) 1 ch5xdx;

г) 2

.

cos2 25x

(1

1 25x)

2

2 уровень

а) 2(sin7x 1 e25x )dx; б) 2

dx

;

в) 2

dx

.

sin

2

(25 1

5

3x)

(11 3x)

ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ										119
3 уровень
	9	2		1x		tg(7 1 6x)			25	3
а)		5	5e		4		1			4 cos25x6dx;
						3			4 49x2
		7					1			8

б) 51 (2 4 5x)9 4 2e1325x 4 252x46 2dx.

3. Вычислить интегралы, используя метод замены пе ременной:

1 уровень

а) 1	dx	;		б) 1	xdx		;
	3xlnx				2	2
					cos x
2 уровень
а) 1	3x dx		;	б) 2	4 25 1 lnx				dx;
	sin2 3x
					x
3 уровень
а) 2	dx			; б) 2	25 1 ln3 x			dx;
	ex (2 1 e12x )				x

в) 1 cos3 x sinxdx.

в) 2e416x3 x2dx.

в) 3 arcctg2x 1 x dx. 1 2 x2

4. Вычислить интегралы, используя метод интегриро вания по частям:

1 уровень

а) 1 x25x dx;	б) 2(x 1 25)sinxdx; в) 1 lnx5dx.
2 уровень
а) 3(2x 2 7)e12xdx; б) 2ln(x 1 25)dx;		в) 2arcсtg 6x 11dx.
3 уровень
а) 1 sinlnxdx;	б) 1 x2 cos5xdx;	в) 1 x7 ln2 xdx.

5. Вычислить интегралы от рациональных дробей:

1 уровень

а)

dx

; б)

dx

;

в)

3

dx

.

2 x2

1 6x

1 34

3 x2

1 x 2

42

(x 11)(x 2

5)