Типовик 2 семестр ч3

ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

87

2 уровень

а) 2(x 1 2)cos14xdx; б) 2ln(1 1 8x)dx;

в) 2arcctg

3x 11dx.

3 уровень

а) 17x cosxdx;

б) 2(x2 1 2)e2xdx;

в) 1 x5 ln2 xdx.

5. Вычислить интегралы от рациональных дробей:

1 уровень

а)

dx

;

б)

dx

;

в)

3

dx

.

2 x2

3 x2 1 x 2 2

(x 110)(x 2

2)

1 6x 118

2 уровень

а) 2

x 1 3

dx;

б) 2

dx

в) 2

x3 1 3x2

;

dx.

x2 1 2x 1 5

x3 1 27

x2 1 x 112

3 уровень

2x3 1 x 1 1

5x 1 8

а) 3

dx; б) 2 x3 (x 1 1)

dx;

x3 2 4x2 1 5x

в) 3

x3 1 x 210

dx.

2 1

1

2

2

(x

2x

5)(x

5)

6. Вычислить интегралы от тригонометрических функ

ций:

1 уровень

а) 1 cos2xcos5xdx;

б) 2

dx

в) 1 cosx

4

;

sinxdx.

3 1 2sinx

2 уровень

а) 1 tg2 3xdx;

б) 1 cos7 xdx;

в) 2

dx

.

2 1 2sinx 1 cosx

3 уровень

а) 2(11 sin3x)3 dx;

б) 2tg5 (3x 1 2)dx;

в) 2 cos5 x dx. sinx 11

88

ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

7. Вычислить интегралы от иррациональных функций:

1 уровень

а) 2

dx

; б) 2

dx

; в) 2

x

11 11

dx.

1 2x 1

3

x

2

17

x

2

3

1 9 x

x 11

2 уровень

а) 3

x 1 2

dx; б) 3

10 1 x2 2 2xdx;

6 2 4x 2 x2

в) 4

24 x 3 1

dx.

4 x3

1

x 3 42

3 уровень

(16 1 x2 )3

а) 2x3/5 (2 1 x4/5 )1/2 dx;

б) 2

dx;

x2

в) 2

dx

.

x

2

(x

2

1/2

1 36)

Вариант 15

1. Вычислить интегралы непосредственным интегри рованием:

1 уровень

а) 1 x3/5dx;

б) 115cosxdx;

в) 2(4x 1 sinx)dx;

г) 1

x2

dx.

x6

2 уровень

а) 41x15 3

1

2dx;

б) 4

1x4 3 7chx2dx;

sin2 x

в) 2

x4 110

dx.

x2

3 уровень

а) 3

x5

1 x 2 x6 1 x9

б) 8

1

3

1

2

dx;

415tgx

5dx.

49 3

49x

2

x

6

7

ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

89

2. Вычислить интегралы, используя метод линейной

замены:

1 уровень

а) 1 sin15xdx;

б) 1 e4xdx;

в) 1 ctg15xdx;

г) 2

dx

.

2x 115

2 уровень

а) 2(tg9x 1 e6x )dx;

б) 2cos(4 1 4x)dx;

в) 2

dx

.

(3 1 15x)3

3 уровень

а) 9

2

1

cos(3x 1 5)

3

5

4

4155x 4 sh2x6dx;

4x

2

1 1

15

7 3

8

9

2

3

1

2x14

3

б)

5(3

4 4x)

1

4 7

6dx.

7

cos2 (43x 1 2)

8

3. Вычислить интегралы, используя метод замены пе

ременной:

1 уровень

arctgx

а) 2 e11 x2 dx;

б) 2x

x2 1 5dx;

в) 115sin x cosxdx.

2 уровень

а) 1

2 x

б) 2

chxdx

в) 2

x2

dx;

11 shx;

dx.

2 x

1 1 x3

3 уровень

а) 2

x15

1 ln5 x

dx;

б) 3

arccos2 x 1 3

dx;

x

1 2 x2

в) 27x 1 arcctg4x dx. 1 1 x2

4. Вычислить интегралы, используя метод интегриро вания по частям:

1 уровень
а) 2xe1xdx;	б) 2(x 17)cosxdx; в) 1 xlnx3dx.

90

ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

2 уровень

a) 2(x 1 4)sin5xdx; б) 2ln(2x 1 5)dx; в) 2arctg

6x 11dx.

3 уровень

а) 2e1x cosxdx;

б) 1 x2 sin3xdx; в) 1 xln2 xdx.

5. Вычислить интегралы от рациональных дробей:

1 уровень

а) 2

dx

б) 2

dx

в) 3

dx

.

;

;

x2 1 3x 17

x2 1 4x

(x 1 5)(x 21)

2 уровень

а) 3

3x 1 4

б) 2

xdx

в) 3

4x4

1 2x2 2 x 2 3

dx;

;

dx.

x2 2 x 2 2

x3 1 27

x2 1 x

3 уровень

а) 2

3x3 1 4x2 1 x

3

x2 1 2x 2 3

dx; б)

dx;

(x2 1 2)(x2 1 2x 1 2)

x3 1 x2 1 5x

в)

x2dx

.

2 x4 1 81

6. Вычислить интегралы от тригонометрических функ ций:

1 уровень

а) 1 sin3xsin7xdx; б) 2				dx		в) 1 cos4 xsinxdx.
					;
				2 1 3cosx
2 уровень
а) 1 ctg2 4xdx;			б) 1 sin5 xcos3 xdx;			в) 2	dx
									.
							sin2x 1 cos2 x
3 уровень
а) 1	cos4 5x		б) 1 tg5 8xdx;			в) 1	sin3 x
		dx;						dx.
							cos3 x
	sin2 5x

ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

91

7. Вычислить интегралы от иррациональных функций:

1 уровень

а) 2

dx

;

б) 2

x 1 2

dx;

в) 2

3x 1 1

dx.

x

2

1 3x 1

4

3

x 11

2x 1 1

2 уровень

а) 2

x

dx;

б) 2

9 1 x2 1 4xdx;

6 1 x 1 x2

в) 2

x

dx.

3

x

2

1

4

x

3

3 уровень

а) 2

1 1 3 x2

б) 2

5

3

в) 2

x2dx

dx;

x

1 1

xdx;

(x2 1 4)3/2 .

x2

Вариант 16

1. Вычислить интегралы непосредственным интегри рованием:

1 уровень
а) 13x dx;													б) 116tgxdx;
																3
в) 2(x6 1 2cosx)dx;													г) 1			x		dx.
																x3
2 уровень
				3			1								1					5		2
а)						x2 3					dx;		б)		416sinx 3							5dx;
	4	1					sin2 x 2							8	6					x	x 7
	9	1				16		3	4 x 2
в)		4									5dx.
		7 x2 616 x2									8
3 уровень
	3				x 1 x		2 x2 2 x4						б) 9		1	x				1		2
а)												dx;			5	32		4					6dx.
																			16x2		4
						x		x							7							16 8

2. Вычислить интегралы, используя метод линейной замены:

92

ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

1 уровень

а) 1 sh8xdx;

б) 1416x dx;

в) 1

1

dx;

г) 2

dx

.

2

5

1

4x

cos 16x

2 уровень

dx

а) 2(sin16x 1 e12x )dx;

б) 2cos(4 1 5x)dx; в) 2

.

1116x

3 уровень

3

ctg(33x 4 5)

а) 512

163x

3 e3x

4 ch16x2dx;

4

б) 51 (13 2x)9 4 e4x31 4 243x 2dx.

3. Вычислить интегралы, используя метод замены пе ременной:

1 уровень

а) 2	2x	dx;		б) 2x3 x4 11dx;			в) 2e1 sinx cosxdx.
	1 1 9x2
2 уровень
а) 1	cos4 x			б) 2	5xdx		в) 23x2 3 111 5x3 dx.
		dx;				;
	4 x3				(16 1 x2 )3
3 уровень
а) 2	tgx 116		dx;	б) 2	arccos5 x 1 2x		dx;
	cos2 x				1 1 x2

в) 2 x 1 arctg4x dx. 1 1 x2

4. Вычислить интегралы, используя метод интегриро вания по частям:

1 уровень

а) 1 x16x dx; б) 2(x 116)sinxdx; в) 1 lnx5dx.

ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

93

2 уровень

а) 2(x 1 4)cos16xdx; б) 1 x9 lnxdx;

в) 2arctg 6x 11dx.

3 уровень

а) 1 ex sin2xdx;

б) 1 x2 sin16xdx;

в) 1 4 x ln2 xdx.

5. Вычислить интегралы от рациональных дробей:

1 уровень

а) 2

dx

б) 3

dx

в) 3

dx

;

;

.

x2 1 2x 1 26

x2 1 x 2 6

(x 1 9)(x 2 2)

2 уровень

а) 2

3x 1 5

б) 2

(1 1 x)dx

в) 3

dx

dx;

;

.

(x 1 1)(x 210)2

x2 1 2x 1 2

x3 1 9x

3 уровень

а) 2

3x 1 2

dx; б) 3

5x2 1 6x 1 9

dx;

(x 1 1)2 (x 2 3)2

x4 1 3x3 1 3x2 1 x

в) 2

x3 1 x 11

dx.

x3 1 x

6. Вычислить интегралы от тригонометрических функ ций:

1 уровень

а) 1 sinxsin9xdx;

б) 2

dx

в) 1

cosx

;

dx.

4 1 3cosx

sin2 x

2 уровень

а) 1 cos2 2xsin2 2xdx;

б) 1 sin2 xcos3 xdx;

в) 2

dx

.

4sin

2

x 1 9cos

2

x

3 уровень

а) 3

11 tgx

1

dx

в) 1

sin3 x

dx;

б)

;

dx.

1 2 tgx

sin4 3x

5 cos2 x

94

ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

7. Вычислить интегралы от иррациональных функций:

1 уровень

а) 3

dx

11 3 2x

x3

2x 1 5 2 x2

; б) 2

2x

dx;

в) 2

dx.

16 1 9x

2 уровень

а) 2

2x 1 5

dx;

б) 2 1x2

1 6x 1 8dx;

2

9x 1 6x 1 2

в) 4

3 x

dx.

x13 x 3 x 2

3 уровень

а) 2

dx

;

б) 2

dx

;

в)

2

x2 1 49

dx.

2

3

x

2

(2 1 x

3

5

(4 1 x

)

)

x

									Вариант 17
1. Вычислить интегралы непосредственным интегри
рованием:
1 уровень
а) 1 x4 3dx;										б) 117cosxdx;
в) 41x x 3 tgx2dx;										г) 1	3 x	dx.
											x4
2 уровень
	13 x4 3					1			2dx;	1						3		2
а) 5										б) 8417sinx			3					5dx;
				x	2	4	25									7
										6							x	7
	3
в) 51		2x 1	3		17				2dx.
		x			x2 41
3 уровень
	x x 1 5x3 1 x6 1 x9									1			x					1		2
а) 2				x		4				dx; б) 94 317e				3						5dx.
																	4 6 4x		2
										7										8

2. Вычислить интегралы, используя метод линейной замены:

ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

95

1 уровень

а) 1 sh17xdx;

б) 2212x dx;

в) 1 cos17xdx;

г) 2

dx

.

17 1 2x

2 уровень

а) 41

1

3 17e4x 2dx;

б) 2sin(4x 1 5)dx;

в) 2

dx

.

9x2 11

sin2 3x

3 уровень

9

1

3

3x

17

2

а)

5

e

3

4 10 4 2x 3 ctg17x6dx;

2

cos2

(1 4

7

7x)

8

б) 513 (17 3 x)5 4 7e436x 4 92x41 2dx.

3. Вычислить интегралы, используя метод замены пе ременной:

1 уровень

	x
а) 2	e	dx;
	3 1 ex
2 уровень
	8
а) 1 lnx x dx;
3 уровень
а) 2	3ctgx 1 5			dx;
	sin2 x

б) 1	sinx			в) 1	2
		dx;			2x	xdx.
	cos3 x
б) 2	x2dx				4
			;	в) 1 ex		x3dx.
	(17 1 x3 )6

б) 3 arcsin4 x 1 17 dx; 1 2 x2

в) 36x 1 arctg2x dx. 1 2 x2

4. Вычислить интегралы, используя метод интегриро вания по частям:

1 уровень

а) 1 x17x dx; б) 2(x 1 2)sinxdx; в) 1 ln3xdx.

96

ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

2 уровень

а) 2(3x 15)cos4xdx;

б) 1

x9 lnxdx;

в) 2arcsin 1 1 6x2 dx.

3 уровень

а) 117x sinxdx;

б) 1 x2e3xdx;

в) 1 xln2 xdx.

5. Вычислить интегралы от рациональных дробей:

1 уровень

а)

dx

;

б)

dx

;

в)

3

dx

.

2 x2

3 x2 1 4x 2

3

(x 1 4)(x 2

1)

1 8x 117

2 уровень

а) 3

x

б) 3

5x2 1 6x 1 9

в) 2

dx

dx;

dx;

.

x2 1 6x 210

(x 2 3)(x 1 1)

x3 1 8

3 уровень

а)

5x3 1 2

dx;

б)

dx

;

3 x3

25x2 1

4x

2 x3 1 x2 1 2x 1

2

в) 3 x3 1 6x2 1 9x 1 6 dx. (x 1 2)(x 2 2)3

6. Вычислить интегралы от тригонометрических функ ций:

1 уровень

а) 1 sin10xsin15xdx;						б) 2	dx
								;
							cosx 1 sinx
в) 1 sin3 xcosxdx.
2 уровень
а) 1 xcos2 x2dx;						б) 1 3 cos4 x sin3 xdx;
в) 2		dx			.
	1	1 3cos	2
				x