Ekonometrika / Пример1
.DOCРяды динамики (к задаче 1)
Решение задачи – измерения тренда – достигается методом аналитического выравнивания.
Основным содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что основная тенденция развития рассчитывается как функция времени.
Определение теоретических (расчетных) уровней производится на основе так называемой адекватной математической функции, которая наилучшим образом отображает основную тенденцию ряда динамики.
Важнейшей проблемой, требующей своего решения при применении метода аналитического выравнивания, является подбор математической функции, по которой рассчитываются теоретические уровни тренда. От правильности решения этой проблемы зависят выводы о закономерностях тренда изучаемых явлений. Если выбранный тип математической функции адекватен основной тенденции развития изучаемого явления во времени, то синтезированная на этой основе трендовая модель может иметь полезное применение при изучении сезонных колебаний, прогнозировании и других практических целях.
Основная тенденция развития в рядах динамики со стабильными абсолютными приростами отображается уравнением прямолинейной функции:
, (1)
где и параметры уравнения: – обозначение времени.
Параметр является коэффициентом регрессии, определяющим направление развития. Если , то уровни ряда динамики равномерно возрастают, а при происходит их равномерное снижение;
Пример. По данным о розничном товарообороте региона в 1980 – 1985 гг. нужно произвести анализ основной тенденции развития товарооборота:
Год |
Объем розничного товарооборота, млрд. руб. |
||||
1980 |
10 |
1 |
1 |
10 |
9,810 |
1981 |
12 |
2 |
4 |
24 |
11,552 |
1982 |
13 |
3 |
9 |
39 |
13,295 |
1983 |
14 |
4 |
16 |
56 |
15,038 |
1984 |
17 |
5 |
25 |
85 |
16,781 |
1985 |
19 |
6 |
36 |
114 |
18,524 |
Сумма |
85 |
21 |
91 |
328 |
85 |
Для аналитического выравнивания применяется функция (1) .
Для вычисления параметров функции (1) на основе требований метода наименьших квадратов составляется система нормальных уравнений:
.
Решением системы является:
, .
Используя вычисленные суммы, получаем:
млрд. руб.,
млрд. руб.
По вычисленным параметрам производим синтезирование трендовой модели функции . На основе модели определяются теоретические уровни тренда для каждого года анализируемого ряда динамики (графа 8 в табл.).
Правильность расчетов проверяется по равенству: . Несовпадение в равенстве объясняется округлениями в расчетах.
Параметр трендовой модели показывает, что объем розничного товарооборота региона возрастал в среднем на 1,74 млрд. руб. в год.
Для определения параметров математических функций при анализе тренда в рядах динамики используется способ отсчета времени от условного начала. Он основан на обозначении показаний времени в ряду динамики таким образом, чтобы. При этом в ряду динамики с нечетным числом уровней порядковый номер уровня, находящегося в середине ряда, обозначают через нулевое значение и принимают его за условное начало отсчета времени с интервалом +1 всех последующих уровней и –1 всех предыдущих уровней. Например, при обозначения времени будут -2, -1, 0, +1, +2. При четном числе уровней, например , порядковые номера верхней половины ряда (от середины) обозначаются числами: -1, -3, -5, а нижней половины ряда обозначаются: +1, +3, +5.
При использовании способа условного обозначения времени, когда , параметры математических функций определяются по формулам:
для прямолинейной функции , ;
Рассмотрим на примере:
Год |
Объем розничного товарооборота, млрд. руб. |
|||||||
1980 |
11 |
-2 |
-22 |
4 |
||||
1981 |
13 |
-1 |
-13 |
1 |
||||
1982 |
14 |
0 |
0 |
0 |
||||
1983 |
16 |
1 |
16 |
1 |
||||
1984 |
19 |
2 |
38 |
4 |
||||
Сумма |
73 |
0 |
19 |
10 |
Тогда , .
Тогда .
Например, если надо спрогнозировать объем товарооборота на 1986 год, то в уравнение необходимо подставить (+2 периода к последнему 1984г., которому соответствует), тогда получится млрд. руб.