мат.анализ_23пс / ОКИШЕВ МатАн ТПС / СЕМЕСТР3 группа 22т / Справочник ФРЯ студ / Справочник задачи / Справочник задачи ФУ
.doc
5. РАЗЛОЖЕНИЕ -ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ФУРЬЕ.
ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Все рассматриваемые в методическом издании образцы решения задач соответствуют предлагаемому студентам типовому расчету.
З а д а ч а 1. (Графическое задание функции.)
Разложить в ряд Фурье -периодическую функцию , заданную графически на отрезке (см. рис. 6). Построить график функции и проверить условия Дирихле.
Рис. 6 Основной период функции
Решение. Получим аналитический вид функции на отрезке , необходимый для вычисления коэффициентов Фурье. На промежутке = 0, а на интервале задается как прямая . Если уравнение прямой неочевидно из графика, то находим его параметры, подставляя в
уравнение прямой с угловым коэффициентом
(5)
две конкретные точки, лежащие на этой прямой: и . Получаем систему уравнений из которой . В итоге аналитическое задание исходной функции на отрезке выглядит так:
Построим график -периодической функции , добавив к основному периоду по одному периоду слева и справа (рис. 7).
Рис. 7 Три периода функции
По графику проверим условия Дирихле. Период функции , а ее полупериод l = . Функция имеет на отрезке два участка монотонности, и поэтому является кусочно-монотонной на этом отрезке. Функция является ограниченной, ибо все ее значения находятся в горизонтальной полосе . Таким образом, условия Дирихле выполняются, и по теореме 2 ряд Фурье функции сходится к ней во всех точках непрерывности. В точках скачков функции , задаваемых общей формулой , значение суммы ряда Фурье будет отлично от .
Функция не обладает свойством четности-нечетности, поэтому коэффициенты Фурье будем находить по общим формулам:
;
;
=.
Коэффициенты Фурье найдены: ; ; . Запишем итоговое разложение функции .
Ответ:
при .
З а д а ч а 2. (Аналитическое задание функции.)
Разложить в ряд Фурье -периодическую функцию у = , которая задана на отрезке формулой: = х, . Построить график функции и проверить условия Дирихле.
В ходе решения этой задачи будет сделана дополнительная графическая иллюстрация, не являющаяся обязательной при решении задач типового расчета. Это график суммы ряда Фурье .
Решение. Построим график функции (рис. 8а). Становится ясным, почему при задании формулы не были задействованы граничные точки отрезка . В этом случае мы получили бы неоднозначное в точках отображение, что противоречит определению функции.
а) График исходной функции б) График суммы ряда Фурье
Рис. 8
Для сравнения на рис. 8б изображен график суммы ряда Фурье, порожденного функцией . Отличие двух графиков состоит в том, что функция в точках вообще не определена, а сумма ряда принимает в этих точках среднее значение, равное нулю.
Проверяем условия Дирихле. Период функции , а полупериод l = . Функция монотонна (возрастает) на отрезке , что является частным случаем кусочной монотонности. Для функции выполняется неравенство , т. е. она ограничена. Таким образом, условия Дирихле выполнены. Ряд Фурье сходится к во всех точках ее непрерывности (в точках скачков он сходится к нулю).
Важным фактом, упрощающим решение задачи, является нечетность функции . Коэффициенты Фурье вычисляются по соотв. формулам и
имеют вид: ; , ;
Запишем итоговое разложение функции по синусам.
Ответ: при .
6. РАЗЛОЖЕНИЕ -ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В РЯД ФУРЬЕ.
ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
З а д а ч а 3.
Разложить в ряд Фурье функцию с периодом Т = 2, которая на отрезке [– 1; 1] задается формулой . Воспользоваться четностью функции.
Решение. График функции на отрезке [– 1; 1] «склеивается» из участков графиков экспонент и и представлен на рис. 9а. Общий вид графика периодической функции изображен на рис. 9б, причем очевидны четность функции (симметричность графика относительно оси Оу) и непрерывность .
Проверяем условия Дирихле А 1 – А 3. Период функции Т = 2, а ее полупериод l = 1. Функция имеет на отрезке [– 1; 1] два участка монотонности и следовательно, кусочно-монотонна. Для функции выполняется неравенство , поэтому она является ограниченной. Значит, ряд Фурье, соответствующий функции , сходится к ней во всех точках непрерывности, т. е. для всех R.
Пользуясь четностью функции , найдем коэффициенты Фурье по соответствующим формулам. Имеем: . Для вычисления остальных коэффициентов ak, k=1,2,… дважды применим интегрирование по частям:
а) Основной период б) График периодической
функции функции
Рис. 9
.
Здесь при подстановке единицы и нуля синусы занулились, а интеграл заменен на свое исходное обозначение . Таким образом, , откуда находим: , . Все коэффициенты равны нулю по формуле для четных функций.
Ответ: Разложение функции в ряд Фурье имеет вид
при R.
7. РАЗЛОЖЕНИЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В РЯДЫ ФУРЬЕ.
ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ ПРОДОЛЖЕНИЙ
З а д а ч а 4. (Продолжения)
Функция задана графически на отрезке (см. рис. 10). Выполнить четное и нечетное продолжения функции с периодом на всю числовую прямую (построить графики продолжений). Разложить в ряд Фурье: – по косинусам, – по синусам. Использовать полученные разложения для записи .
Решение. Функция задана на отрезке графически. Ее аналитическое задание имеет вид: Эти формулы потребуются нам при вычислении коэффициентов Фурье.
Разложение по косинусам.
Построим график четного продолжения функции (рис. 11).
Рис. 11
Проверим условия Дирихле для периодической функции . Ее период , а полупериод . Функция имеет на отрезке четыре участка монотонности, и поэтому она кусочно-монотонна на этом отрезке. Все значения функции находятся в горизонтальной полосе , следовательно ограничена. Таким образом, ряд Фурье, соответствующий функции , сходится к ней во всех точках R (функция непрерывна).
При нахождении коэффициентов Фурье воспользуемся четностью функции . Кроме того, , поэтому используем более простые формулы. Получаем:
;
;
, .
Значит, функции соответствует ряд Фурье:
. На отрезке этот ряд будет разложением по косинусам исходной функции .
Разложение по синусам.
График нечетного продолжения функции изображен на рис. 12. Условия Дирихле для периодической функции выполняются, а именно: , , на отрезке имеется три участка монотонности, . Поэтому ряд Фурье сходится к порождающей его функции во всех точках, кроме точек (это точки разрыва периодической функции).
Рис. 12
При нахождении коэффициентов Фурье воспользуемся нечетностью функции , причем условие позволяет применить более простые формулы. Получаем: ; , ;
.
Значит, функции соответствует ряд Фурье:
. На промежутке этот ряд будет разложением по синусам исходной функции . (Обратите внимание, что в точке значение получить с помощью этого разложения не удается).
Ответ: при ;
при .