мат.анализ_23пс / ОКИШЕВ МатАн ТПС / СЕМЕСТР3 группа 22т / Справочник ФРЯ студ / Справочник алгоритмы / Справочник ряд Фурье
.docТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
Если является функцией периодической, то естественно раскладывать ее в функциональный ряд также по периодическим функциям, например, по косинусам и синусам.
О п р е д е л е н и е 8.
Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида:
(8)
или, в более общем виде, ряд:
, (9)
где – постоянное число, а постоянные числа называются коэффициентами тригонометрического ряда.
КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ ФУНКЦИИ
На основе условий ортогональности Фурье получил формулы коэффициентов тригонометрического ряда (8), соответствующего функции :
; (10)
, ; (11)
, . (12)
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ
( УСЛОВИЯ ДИРИХЛЕ )
Пусть функция :
Д 1. Имеет период ;
Д 2. Кусочно-монотонна на отрезке ;
Д 3. Ограничена на отрезке .
Если функция удовлетворяет условиям Дирихле, то в точках непрерывности на отрезке имеет место разложение:
, (13)
причем коэффициенты вычисляются по формулам (10) – (12).
РАЗЛОЖЕНИЕ -ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ФУРЬЕ
Алгоритм Разложение функции в ряд Фурье.
( краткий вариант )
1) построить график периодической функции ;
2) проверить условия Дирихле Д 1 – Д 3, чтобы гарантировать сходимость ряда Фурье к функции в точках непрерывности. При невыполнении этих условий завершить решение задачи;
3) вычислить коэффициенты Фурье функции ;
4) составить разложение вида (13), указав подмножество числовой прямой, на котором это разложение справедливо.
Ряды для четных и нечетных функций
Если функция – четная, а –нечетная, то
; (14)
. (15)
Графики четной и нечетной -периодических функций изображены на рис. 3.
а) Четная периодическая функция б) Нечетная периодическая функция
Рис. 3
В случае четной периодической функции (рис. 3а) имеем:
; (16)
, ; (17)
, . (18)
Таким образом, четная функция раскладывается в ряд Фурье только по косинусам, а коэффициент «регулирует» сдвиг графика функции по оси ординат.
В случае нечетной периодической функции (рис. 3б) имеем:
; (19)
, ; (20)
, . (21)
Нечетная функция раскладывается в ряд Фурье только по синусам, а сдвиг графика функции по оси ординат отсутствует .
РАЗЛОЖЕНИЕ -ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ФУРЬЕ
Так как число – произвольное , то в данном разделе рассматриваются функции с произвольным периодом Т = .
Разложение по основной тригонометрической системе функций
-периодической функции соответствует ряд Фурье вида:
, (22)
т. е. раскладывается в ряд по основной тригонометрической системе .
Все изложенное выше для рядов Фурье вида (13) можно перенести на ряды вида (22).
Условия Дирихле и Формулы коэффициентов Фурье
Д 1. Функция имеет период ;
Д 2. Кусочно-монотонна на отрезке ;
Д 3. Ограничена на отрезке .
Общие формулы коэффициентов Фурье -периодической функции :
; (23)
, ; (24)
, . (25)
Для четной -периодической функции выполняется:
; (26)
, ; (27)
, , (28)
Для нечетной -периодической функции справедливо:
; (29)
, ; (30)
, . (31)