Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
13
Добавлен:
10.04.2015
Размер:
97.28 Кб
Скачать

ПРИЛОЖЕНИЕ ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Достаточные признаки сходимости числовых рядов

В формулируемых ниже теоремах , – знакоположительные числовые ряды, – знакочередующийся числовой ряд (ЗЧР).

Т е о р е м а 1. Признак сравнения.

Сходимость или расходимость ряда следует из сходимости или расходимости эталонного ряда . Если сходится и , то сходится. Если расходится и , то расходится.

Т е о р е м а 2. Предельный признак сравнения.

Наблюдается одновременная сходимость или расходимость рядов , , если общие члены рядов ведут себя на бесконечности «одинаково»:

– конечное число ).

Т е о р е м а 3. Признак Даламбера.

Оценивается предельное соотношение между последовательными членами ряда : . Ряд сходится, если , и расходится, если . При вопрос о сходимости остается открытым.

____________________________________________________________________

Т е о р е м а 4. Признак Коши с радикалом.

Оценивается предельное поведение корня -й степени из общего члена ряда : . Ряд сходится, если , и расходится, если . При вопрос о сходимости остается открытым.

Т е о р е м а 5. Интегральный признак Коши.

Наблюдается одновременная сходимость или расходимость ряда и соответствующего ему несобственного интеграла , где . Признак верен, если , а функция непрерывна.

Т е о р е м а 6. Признак Лейбница для ЗЧР.

Если члены ЗЧР монотонно убывают по абсолютной величине () и , то ряд сходится, причем для суммы ряда верна оценка: .

____________________________________________________________________

К о м м е н т а р и й. Подавляющее преобладание достаточных признаков сходимости для знакоположительных числовых рядов над прочими признаками показывает, что на самом деле в математике обычно доказывается абсолютная сходимость функциональных рядов , т. е. сходимость рядов вида . Исследование же граничных точек , где возможна, например, условная сходимость, является дополнительной и не всегда реализуемой процедурой.