мат.анализ_23пс / ОКИШЕВ МатАн ТПС / СЕМЕСТР3 группа 22п / Справочник ФРЯ студ / Справочник задачи / Справочник задачи ФУ

5. РАЗЛОЖЕНИЕ -ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ФУРЬЕ.

ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Все рассматриваемые в методическом издании образцы решения задач соответствуют предлагаемому студентам типовому расчету.

З а д а ч а 1. (Графическое задание функции.)

Разложить в ряд Фурье -периодическую функцию , заданную графически на отрезке (см. рис. 6). Построить график функции и проверить условия Дирихле.

Рис. 6 Основной период функции

Решение. Получим аналитический вид функции на отрезке , необходимый для вычисления коэффициентов Фурье. На промежутке = 0, а на интервале задается как прямая . Если уравнение прямой неочевидно из графика, то находим его параметры, подставляя в

уравнение прямой с угловым коэффициентом

(5)

две конкретные точки, лежащие на этой прямой: и . Получаем систему уравнений из которой . В итоге аналитическое задание исходной функции на отрезке выглядит так:

Построим график -периодической функции , добавив к основному периоду по одному периоду слева и справа (рис. 7).

Рис. 7 Три периода функции

По графику проверим условия Дирихле. Период функции , а ее полупериод l = . Функция имеет на отрезке два участка монотонности, и поэтому является кусочно-монотонной на этом отрезке. Функция является ограниченной, ибо все ее значения находятся в горизонтальной полосе . Таким образом, условия Дирихле выполняются, и по теореме 2 ряд Фурье функции сходится к ней во всех точках непрерывности. В точках скачков функции , задаваемых общей формулой , значение суммы ряда Фурье будет отлично от .

Функция не обладает свойством четности-нечетности, поэтому коэффициенты Фурье будем находить по общим формулам:

;

;

=.

Коэффициенты Фурье найдены: ; ; . Запишем итоговое разложение функции .

Ответ:

при .

З а д а ч а 2. (Аналитическое задание функции.)

Разложить в ряд Фурье -периодическую функцию у = , которая задана на отрезке формулой: = х, . Построить график функции и проверить условия Дирихле.

В ходе решения этой задачи будет сделана дополнительная графическая иллюстрация, не являющаяся обязательной при решении задач типового расчета. Это график суммы ряда Фурье .

Решение. Построим график функции (рис. 8а). Становится ясным, почему при задании формулы не были задействованы граничные точки отрезка . В этом случае мы получили бы неоднозначное в точках отображение, что противоречит определению функции.

а) График исходной функции б) График суммы ряда Фурье

Рис. 8

Для сравнения на рис. 8б изображен график суммы ряда Фурье, порожденного функцией . Отличие двух графиков состоит в том, что функция в точках вообще не определена, а сумма ряда принимает в этих точках среднее значение, равное нулю.

Проверяем условия Дирихле. Период функции , а полупериод l = . Функция монотонна (возрастает) на отрезке , что является частным случаем кусочной монотонности. Для функции выполняется неравенство , т. е. она ограничена. Таким образом, условия Дирихле выполнены. Ряд Фурье сходится к во всех точках ее непрерывности (в точках скачков он сходится к нулю).

Важным фактом, упрощающим решение задачи, является нечетность функции . Коэффициенты Фурье вычисляются по соотв. формулам и

имеют вид: ; , ;

Запишем итоговое разложение функции по синусам.

Ответ: при .

6. РАЗЛОЖЕНИЕ -ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В РЯД ФУРЬЕ.

ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

З а д а ч а 3.

Разложить в ряд Фурье функцию с периодом Т = 2, которая на отрезке [– 1; 1] задается формулой . Воспользоваться четностью функции.

Решение. График функции на отрезке [– 1; 1] «склеивается» из участков графиков экспонент и и представлен на рис. 9а. Общий вид графика периодической функции изображен на рис. 9б, причем очевидны четность функции (симметричность графика относительно оси Оу) и непрерывность .

Проверяем условия Дирихле А 1 – А 3. Период функции Т = 2, а ее полупериод l = 1. Функция имеет на отрезке [– 1; 1] два участка монотонности и следовательно, кусочно-монотонна. Для функции выполняется неравенство , поэтому она является ограниченной. Значит, ряд Фурье, соответствующий функции , сходится к ней во всех точках непрерывности, т. е. для всех R.

Пользуясь четностью функции , найдем коэффициенты Фурье по соответствующим формулам. Имеем: . Для вычисления остальных коэффициентов a_k, k=1,2,… дважды применим интегрирование по частям:

а) Основной период б) График периодической

функции функции

Рис. 9

.

Здесь при подстановке единицы и нуля синусы занулились, а интеграл заменен на свое исходное обозначение . Таким образом, , откуда находим: , . Все коэффициенты равны нулю по формуле для четных функций.

Ответ: Разложение функции в ряд Фурье имеет вид

при R.

7. РАЗЛОЖЕНИЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В РЯДЫ ФУРЬЕ.

ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ ПРОДОЛЖЕНИЙ

З а д а ч а 4. (Продолжения)

Функция задана графически на отрезке (см. рис. 10). Выполнить четное и нечетное продолжения функции с периодом на всю числовую прямую (построить графики продолжений). Разложить в ряд Фурье: – по косинусам, – по синусам. Использовать полученные разложения для записи .

Решение. Функция задана на отрезке графически. Ее аналитическое задание имеет вид: Эти формулы потребуются нам при вычислении коэффициентов Фурье.

Разложение по косинусам.

Построим график четного продолжения функции (рис. 11).

Рис. 11

Проверим условия Дирихле для периодической функции . Ее период , а полупериод . Функция имеет на отрезке четыре участка монотонности, и поэтому она кусочно-монотонна на этом отрезке. Все значения функции находятся в горизонтальной полосе , следовательно ограничена. Таким образом, ряд Фурье, соответствующий функции , сходится к ней во всех точках R (функция непрерывна).

При нахождении коэффициентов Фурье воспользуемся четностью функции . Кроме того, , поэтому используем более простые формулы. Получаем:

;

;

, .

Значит, функции соответствует ряд Фурье:

. На отрезке этот ряд будет разложением по косинусам исходной функции .

Разложение по синусам.

График нечетного продолжения функции изображен на рис. 12. Условия Дирихле для периодической функции выполняются, а именно: , , на отрезке имеется три участка монотонности, . Поэтому ряд Фурье сходится к порождающей его функции во всех точках, кроме точек (это точки разрыва периодической функции).

Рис. 12

При нахождении коэффициентов Фурье воспользуемся нечетностью функции , причем условие позволяет применить более простые формулы. Получаем: ; , ;

.

Значит, функции соответствует ряд Фурье:

. На промежутке этот ряд будет разложением по синусам исходной функции . (Обратите внимание, что в точке значение получить с помощью этого разложения не удается).

Ответ: при ;

при .

31