мат.анализ_23пс / ОКИШЕВ МатАн ТПС / СЕМЕСТР3 группа 22п / Справочник ФРЯ студ / Справочник алгоритмы / Справочник Асходимости
.docФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. ОБЛАСТИ СХОДИМОСТИ
Функциональный ряд
О п р е д е л е н и е 1. Ряд
(1)
составленный из функций переменой R, называется функциональным, а сами функции называются членами ряда.
О п р е д е л е н и е 2. Областью определения функционального ряда называется такое подмножество множества действительных чисел R, на котором определены все члены этого ряда. Обозначим область определения ф. р. . Тогда (2)
Область сходимости функционального ряда
При различных значениях аргумента из функционального ряда получаются различные числовые ряды вида , которые могут сходиться или расходиться.
О п р е д е л е н и е 3. Совокупность значений R, при которых имеет место сходимость числовых рядов , называется областью сходимости функционального ряда .
Теперь о главном. Бесконечное суммирование функций можно считать корректным только в области сходимости соответствующего функционального ряда. Числа можно при этом считать значениями некоторой новой функции R R . За пределами использование ф. р. (1) в прикладных расчетах лишено смысла.
Алгоритм. Поиск области сходимости ф. р.
Дан ф. р. вида (1).
Для нахождения его требуется:
0) Найти область определения ф. р. .
1) Найти вспомогательную функцию
; (3)
2) Провести анализ :
в каждой точке R , где , ф. р. (1) сходится абсолютно;
в каждой точке R , где , ф. р. (1) расходится;
в каждой точке R , где , сходимость ф. р. (1) неизвестна.
3) За берем те . , где .
Точки R , где , являются всего лишь граничными точками интервалов области сходимости. Считая исследование сходимости в граничных точках второстепенной задачей, отбросим эти точки, считая их точками расходимости ф. р. (1).
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ И ИХ СХОДИМОСТЬ
Из функциональных рядов простейшими и наиболее часто используемыми являются ряды из степенных функций.
О п р е д е л е н и е 4. Степенным рядом называется функциональный ряд вида:
(С2)
где R – постоянные числа, которые называются коэффициентами ряда, R.
Наиболее часто рассматривается случай , дающий ряд:
(С1)
Областью сходимости всякого степенного ряда является один интервал числовой оси, симметричный относительно точки для ряда (С2) или точки для ряда (С1).
О п р е д е л е н и е 5. Интервалом сходимости степенного ряда (С2) называется интервал , такой, что для всех ряд сходится абсолютно, а для и для ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда. Для степенного ряда (С1) интервалом сходимости является промежуток .
На концах интервала сходимости (при ) вопрос о сходимости или расходимости решается для каждого степенного ряда по-своему с помощью числовых рядов. У некоторых степенных рядов интервал сходимости вырождается в точку (), у других – охватывает всю числовую прямую ().
Рис. 1
Схематическое изображение интервала сходимости ряда (С2) приведено на рис. 1. В граничных точках сходимость заранее не известна.
Хотя степенного ряда можно находить по общему алгоритму через функцию , обычно применяют более простой способ нахождения радиуса сходимости – по готовым формулам.
Формула Даламбера имеет вид:
. (RD)
Формула Коши содержит корень -й степени:
. (RK)
Обращаем внимание читателей на то, что правые части формул (RD), (RK) не содержат функций переменной , а величины – это лишь числовые коэффициенты степенного ряда, а вовсе не сами степенные функции.
Формула Даламбера является основной формулой исследования степенных рядов на сходимость, а формула Коши применяется обычно в специальных случаях, когда содержит выражение от , возведенное в -ю степень, т. е. выражение вида В этом случае нахождение предела в формуле (RK) значительно проще, чем в формуле (RD).
Степенные ряды (C2), (C1) называют полными степенными рядами, если степени следуют в них одна за другой с шагом единица без пропусков: , , , , . Однако при решении задач часто встречаются неполные степенные ряды, например, ряд
состоящий только из четных степеней . Оказывается, что для неполных степенных рядов формулы (RD), (RK) не применимы и требуют внесения небольшого изменения.
О п р е д е л е н и е 6. Неполным степенным рядом назовем ряд
, (C3)
где N , Z – постоянные числа.
Для неполных степенных рядов вида (C3) радиусы сходимости определяются из соотношений, учитывающих величину . Формула Даламбера и формула Коши принимают вид:
; (RDN)
. (RKN)