мат.анализ_23пс / ОКИШЕВ МатАн ТПС / СЕМЕСТР3 группа 22п / Справочник ФРЯ студ / Справочник приложения / Справочник Признаки
.doc
ПРИЛОЖЕНИЕ ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Достаточные признаки сходимости числовых рядов
В формулируемых ниже теоремах , – знакоположительные числовые ряды, – знакочередующийся числовой ряд (ЗЧР).
Т е о р е м а 1. Признак сравнения.
Сходимость или расходимость ряда следует из сходимости или расходимости эталонного ряда . Если сходится и , то сходится. Если расходится и , то расходится.
Т е о р е м а 2. Предельный признак сравнения.
Наблюдается одновременная сходимость или расходимость рядов , , если общие члены рядов ведут себя на бесконечности «одинаково»:
– конечное число ).
Т е о р е м а 3. Признак Даламбера.
Оценивается предельное соотношение между последовательными членами ряда : . Ряд сходится, если , и расходится, если . При вопрос о сходимости остается открытым.
Т е о р е м а 4. Признак Коши с радикалом.
Оценивается предельное поведение корня -й степени из общего члена ряда : . Ряд сходится, если , и расходится, если . При вопрос о сходимости остается открытым.
Т е о р е м а 5. Интегральный признак Коши.
Наблюдается одновременная сходимость или расходимость ряда и соответствующего ему несобственного интеграла , где . Признак верен, если , а функция непрерывна.
Т е о р е м а 6. Признак Лейбница для ЗЧР.
Если члены ЗЧР монотонно убывают по абсолютной величине () и , то ряд сходится, причем для суммы ряда верна оценка: .
К о м м е н т а р и й. Подавляющее преобладание достаточных признаков сходимости для знакоположительных числовых рядов над прочими признаками показывает, что на самом деле в математике обычно доказывается абсолютная сходимость функциональных рядов , т. е. сходимость рядов вида . Исследование же граничных точек , где возможна, например, условная сходимость, является дополнительной и не всегда реализуемой процедурой.
Достаточные признаки сходимости функциональных рядов часто формулируются и доказываются отдельно для конкретных видов ф. р. (степенных, тригонометрических и т. д.), а не для общего вида функционального ряда.