мат.анализ_23пс / ОКИШЕВ МатАн ТПС / СЕМЕСТР3 группа 22п / Справочник ФРЯ студ / Справочник приложения / Справочник ряды Фурье
.docП Р И Л О Ж Е Н И Е ФУРЬЕ-1
СВОЙСТВА ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Функция , определенная на множестве D, называется периодической с периодом T > 0, если при каждом значение и выполняется равенство .
Очевидно, что, если число Т является периодом функции , то числа вида тТ, где N, также являются ее периодами. Например, . Поэтому обычно рассматривают наименьший период функции.
Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические. Функции и имеют наименьший период , и – наименьший период . Для рассматриваемых в данной работе функций из ПТС , наименьший период , а для функций из ОТС , , где N.
Для построения графика периодической функции периода Т достаточно построить его на любом отрезке длины Т и периодически продолжить его во всю область определения.
Основные свойства периодических функций
1) Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих один и тот же период Т, есть периодическая функция с периодом Т.
2) Если функция имеет период Т, то функция имеет период : действительно, .
3) Если функция имеет период Т и интегрируема, то при любых R.
П Р И Л О Ж Е Н И Е ФУРЬЕ-2
ВАЖНЕЙШИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
Название ОС |
Обозначение и вид функции |
Промежуток ортогональности |
Весовая функция |
Полиномы Чебышева
|
|
|
|
Полиномы Лежандра
|
|
|
1 |
Полиномы Лагерра
|
|
|
|
Полиномы Эрмита |
|
|
|
Основная тригонометрическая система |
|
|
1 |
Простейшая тригонометрическая система |
|
|
1 |
Простейшая система косинусов
|
|
|
1 |
Простейшая система синусов
|
|
|
1 |
П Р И Л О Ж Е Н И Е ФУРЬЕ-3
ПОЛЕЗНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ
1) Интегралы произведений степенной и тригонометрической функций:
(п. 3.1)
(п. 3.2)
(п. 3.3)
(п. 3.4)
2) Интегралы произведений синусов и косинусов:
(п. 3.5)
(п. 3.6)
(п. 3.7)
3) Значения синусов и косинусов:
(п. 3.8)
(п. 3.9)
(п. 3.10)
(п. 3.11)
(п. 3.12)
(п. 3.13)
(п. 3.14)
П Р И Л О Ж Е Н И Е ФУРЬЕ-4
РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ГАРМОНИКАМ
Пусть функции поставлен в соответствие ее ряд Фурье:
.
Для любого натурального k имеет место тождество:
, где , а , – величина, однозначно определяемая из уравнений:
, .
Следовательно, ряд Фурье можно записать также в виде функционального ряда:
,
члены которого называют гармоническими колебаниями (или гармониками). При этом Ak называют амплитудой колебания, к – циклической (круговой) частотой, а – начальной фазой колебания. Равенство
,
если оно имеет место, называют разложением функции в сумму гармонических колебаний (гармоник). При использовании функций времени в прикладных задачах циклическую частоту обозначают , причем называют основной частотой. Тогда
.
П Р И Л О Ж Е Н И Е ФУРЬЕ-5
АППРОКСИМАЦИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ
Выражение вида , обычно называют тригонометрическим полиномом (тригонометрическим многочленом), а параметр п – порядком тригонометрического многочлена. Как видим, есть не что иное, как «кусок тригонометрического ряда» до п – го члена включительно.
Т е о р е м а В е й е р ш т р а с с а.
Если функция непрерывна на отрезке и удовлетворяет условию , то эту функцию можно равномерно на отрезке приблизить тригонометрическими полиномами, т. е. существует бесконечная последовательность, такая что I на .
Итак, среди тригонометрических полиномов есть «хорошо аппроксимирующие» непрерывную периодическую функцию . Выбор наилучшей аппроксимации для функции на отрезке зависит от способа измерения расстояния между и .
Если за меру погрешности взять так называемое среднее квадратическое отклонение , которое определяется равенством:
то окажется, что наименьшую величину среди всех тригонометрических многочленов порядка п дает многочлен, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье функции . Итак, частичные суммы ряда Фурье являются наилучшими аппроксимациями порождающей функции . Доказательство этого факта изложено, например, в учебнике [1].
П Р И Л О Ж Е Н И Е ФУРЬЕ-6
СХОДИМОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ К НУЛЮ
При аппроксимации функций тригонометрическими полиномами требуется, чтобы остаток ряда Фурье стремился к нулю при , что достигается, если коэффициенты и стремятся к нулю. Важна также скорость сходимости коэффициентов Фурье к нулю, чтобы оценить, сколько членов ряда следует сохранить в аппроксимирующем полиноме .
Если ряд Фурье функции сходится, то и исходя из необходимого признака сходимости функционального ряда (). Стремление коэффициентов Фурье к нулю может следовать из свойств порождающей функции .
У т в е р ж д е н и е. Если функция – кусочно непрерывна и ограничена на отрезке , то ее коэффициенты Фурье стремятся к нулю при , т. е. .
Скорость сходимости коэффициентов Фурье к нулю (порядок их малости) зависит от степени гладкости (дифференцируемости) раскладываемой в тригонометрический ряд функции.
Т е о р е м а. Пусть функция имеет на отрезке непрерывные производные до порядка т включительно и кусочно непрерывную производную порядка т + 1, причем выполняются условия:
, , …, .
Тогда ее коэффициенты Фурье удовлетворяют соотношениям:
, , .
Подробное доказательство приведенных теорем изложено в работах [1], [2]. Таким образом, по свойствам исходной функции можно подобрать требуемый порядок аппроксимирующего тригонометрического многочлена .
П Р И Л О Ж Е Н И Е ФУРЬЕ-7
КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ
Любой тригонометрический ряд может быть записан в комплексной форме. Для этого используются формулы Эйлера, выражающие косинус и синус через показательную функцию:
(п. 7.1)
Согласно курсу лекций [3], ряд Фурье функции преобразуется тогда к новому виду:
, (п. 7.2)
где , , . (п. 7.3)
Обычно формула (п. 7.2) записывается в более кратком виде:
. (п. 7.4)
Коэффициенты этого ряда вычисляются по формуле:
. (п. 7.5)
Равенство (п. 7.4) называется комплексной формой ряда Фурье функции , а числа , найденные по формуле (п. 7.5) – комплексными коэффициентами ряда Фурье.
Если функция задается на отрезке , то комплексная форма ее ряда Фурье имеет вид:
, (п. 7.6)
а коэффициенты Фурье вычисляются по формуле:
. (п. 7.7)
В электротехнике и радиотехнике члены ряда называются гармониками, коэффициенты сk – комплексными амплитудами гармоник, а числа – волновыми числами функции .
Совокупность величин называется амплитудным спектром. Спектр периодической функции , будучи гармоническим (частоты кратны одному и тому же числу ), является дискретным или линейчатым. Графически амплитудный спектр можно изобразить в виде вертикальных отрезков с длинами , расположенных в точках числовой оси.
Обратите внимание, что линейчатый спектр симметричен относительно начала координат, так как числа и являются комплексно сопряженными и их модули равны: .
П Р И Л О Ж Е Н И Е ФУРЬЕ-8
ПРОДОЛЖЕНИЕ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ НА ПРОИЗВОЛЬНОМ ОТРЕЗКЕ
В разделе 6 рассмотрены три основных периодических продолжения функции , заданной на отрезке . В случае задания на произвольном отрезке разложение в ряд Фурье несколько усложняется (см. рисунок).
Сначала перенесем начало системы координат в середину отрезка , а именно в точку , заменой переменных . Далее продолжим функцию периодическим образом на всю числовую прямую, т. е. рассмотрим новую функцию . Полупериодом этой функции будет половина длины отрезка , т. е. величина . Сопоставим функции ряд Фурье, имеем:
.
Последняя формула цепочки преобразований является разложением исходной функции в ряд Фурье на отрезке . При этом ортогональная система косинусов и синусов отлична от ПТС и ОТС.