мат.анализ_23пс / ОКИШЕВ МатАн ТПС / СЕМЕСТР2 / КР-ФНП материалы / Пробные Варианты
.doc
СЕРГЕЙ ОКИШЕВ
МЕТОДИЧЕСКИЕ
МАТЕРИАЛЫ
МАТАНАЛИЗА
ИАТИТ 2012
Задания и указания
к контрольной работе КР-ФНП
«Исследование функций нескольких переменных»
ЗАДАНИЯ:
1. Найти и изобразить
область определения функции
.
2. Построить на плоскости заданные линии уровня и градиенты
функции
.
3. Исследовать на
локальные экстремумы функцию
(алгоритм LOC).
4. Найти глобальные
экстремумы функции
в области
(алгоритм GLOB).
5. Решить графически задачу ЛП на плоскости.
6. Решить графически нелинейную задачу оптимизации
(с помощью линий
уровня целевой функции
).
Указания
1.
В задаче
1)
следует сначала выписать систему
неравенств, описывающую область
.
Это и означает «найти область определения».
Границы, не принадлежащие области
,
рисовать пунктиром, а выпавшие из области
точки – маленьким кружочком. Указать,
является ли область открытой или
замкнутой, ограниченной или неограниченной.
2.
Во
всех задачах
начинать решение нужно с
области определения
исследуемой функции!
Характер
может сильно повлиять на результат в
задачах 2) и 4), а в задаче 3) учитывается
при нахождении критических точек.
3. В задаче 2) результатом являются изображения, выполняемые на общей картинке. Ясно, что необходимо записать также ход решения задачи. Это формулы частных производных, значения градиентов в заданных точках, канонические уравнения линий уровня функции. Количество вычисляемых градиентов не должно совпадать, вообще говоря, с количеством определяемых линий уровня. Более того, есть варианты, в которых надо построить только градиенты!
4.
Выполнение алгоритма
в задаче
4)
следует производить по шагам, аккуратно
оформляя каждый шаг.
Не забудьте про ТЕОРЕМУ ВЕЙЕРШТРАССА.
Отдельную часть тетрадного листа следует
выделить под список
точек-кандидатов.
Для каждой такой точки рядом должно
быть подписано значение функции в ней.
Все точки, попавшие в список, должны
быть изображены на рисунке области
с подписанными их обозначениями. Каждый
участок
границы
области получает своё обозначение и
исследуется отдельно. Итоговый ответ
задачи лучше выписать в стандартных
математических обозначениях.
5.
При выполнении алгоритма
в задаче
3)
обратите внимание, что может получиться
несколько
критических точек.
Сначала
находятся общий вид Гессиана
и его элемента
,
то есть строится математический
аппарат для исследования точек.
Затем
каждая критическая точка проверяется
на наличие в ней локального экстремума
и его характер. Если
ни одного локального экстремума не
обнаружено, то
в ответе следует указать: «нет локальных
экстремумов». Такие задачи в контрольной
попадаются довольно часто.
6. В задачах 5) и 6) не следует получать неизвестные координаты оптимальных точек «приближенно с картинки»! Во всех неочевидных ситуациях для нахождения координат следует решать систему уравнений пересекающихся границ или других линий, связанных с точками.
7. В задаче 6) используются в основном линии уровня целевой функции. Обязательно проверить направление возрастания функции! Градиенты могут оказаться направленными не «наружу», а «внутрь» семейства кривых! Возможны и другие «тонкости»…
8. В задачах возможны ловушки! Градиент функции в указанной точке может быть не определен. Может не существовать предлагаемая линия уровня. Могут не выполняться условия ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА. Провести исследование и указать на некорректность.
Вариант № ▲
ПРОБНЫЙ ВАРИАНТ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ
ЗАДАЧА 1. Найти и изобразить область определения функции:
ЗАДАЧА 2. Найти и построить линии уровня и градиенты:
ЗАДАЧА 3. Исследовать на локальные экстремумы (алгоритм LOC):
ЗАДАЧА 4. Найти глоб. экстремумы в области D (алгоритм GLOB):
ЗАДАЧА 5. ЗАДАЧА 6.
Решить графически задачу ЛП: Решить графически задачу НП:
Вариант № ▲▲
ПРОБНЫЙ ВАРИАНТ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ
ЗАДАЧА 1. Найти и изобразить область определения функции:
ЗАДАЧА 2. Найти и построить линии уровня и градиенты:
ЗАДАЧА 3. Исследовать на локальные экстремумы (алгоритм LOC):
ЗАДАЧА 4. Найти глоб. экстремумы в области D (алгоритм GLOB):
ЗАДАЧА 5. ЗАДАЧА 6.
Решить графически задачу ЛП: Решить графически задачу НП:
Вариант № ▲▲▲
ПРОБНЫЙ ВАРИАНТ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ
ЗАДАЧА 1. Найти и изобразить область определения функции:
ЗАДАЧА 2. Найти и построить линии уровня и градиенты:
ЗАДАЧА 3. Исследовать на локальные экстремумы (алгоритм LOC):
ЗАДАЧА 4. Найти глоб. экстремумы в области D (алгоритм GLOB):
ЗАДАЧА 5. ЗАДАЧА 6.
Решить графически задачу ЛП: Решить графически задачу НП:
ОТВЕТЫ: Вариант ▲
ЗАДАЧА 1.
D(z):
ЗАДАЧА 2. Общая формула градиента:
Линии уровня
функции:
ЗАДАЧА 3. Частные производные:
Гессиан:
Критическая
точка
.
– неизвестно.
Дополнительное
исследование:
Исходя из формулы
,
в точке
– максимум (даже
глобальный для всей плоскости!),
.
ЗАДАЧА 4.
в точке
.
в точке
.
ЗАДАЧА 5.
ЗАДАЧА 6.
ОТВЕТЫ:
Вариант ▲▲
ЗАДАЧА 1.
D(z):
эллипс
ЗАДАЧА 2. Общая формула градиента:
Линии уровня
функции:
ЗАДАЧА 3. Частные производные:
Гессиан:
Критические точки:
:
– нет экстремума.
:
– есть экстремум.
– лок. минимум.
.
ЗАДАЧА 4.
в точке
.
в точке
.
ЗАДАЧА 5.
ЗАДАЧА 6.
ОТВЕТЫ: Вариант ▲▲▲
ЗАДАЧА 1.
D(z):
ЗАДАЧА 2. Общая формула градиента:
Линии уровня
функции:
ЗАДАЧА 3. Частные производные:
Гессиан:
Критические точки:
:
– неизвестно.
:
– нет экстремума.
ЗАДАЧА 4.
в точке
.
в точке
.
ЗАДАЧА 5.
ЗАДАЧА 6.
======================== END =========================