мат.анализ_23пс / ОКИШЕВ МатАн ТПС / СЕМЕСТР2 / ТР-SS материалы / Задания и указания
.docОмский государственный университет путей сообщения
С.В.Окишев
Математический анализ
Задания и указания
к типовому
расчету ТР-
«Кратные интегралы»
(расширенная версия)
ЗАДАНИЯ:
1. Составить
двукратный интеграл по области
от функции
двумя способами:
в
и в
.
2. Изменить порядок интегрирования в заданном двукратном
интеграле функции
.
Область
изобразить.
3.,4. Сделать чертеж
области
на плоскости, ограниченной
данными линиями.
Вычислить площадь области
с помощью
двойного интеграла.
5.,6. Выполнить
чертеж тела
в пространстве, ограниченного
данными
поверхностями. Вычислить объем тела
с помощью
тройного интеграла.
7. Изобразить
область
на плоскости. Вычислить двойной
интеграл по
области
,
перейдя к ПСК.
8. Изобразить тело
в пространстве. Вычислить тройной
интеграл по телу
,
перейдя к ЦСК относительно оси
вращения описанного вокруг тела цилиндра.
Указания
1.
В задачах
1) и 2)
следует сначала построить область
,
описываемую системой неравенств либо
данным двукратным интегралом. Для
составления двукратных интегралов
необходимы правильность
области
в заданном направлении и однозначность
линии входа и линии выхода. Это выполняется
не всегда, поэтому приходится разбивать
заданную область на подобласти и
записывать в ответе сумму нескольких
двукратных интегралов. Подынтегральная
функция записывается в общем виде как
.
2.
В задачах
3) и 4)
следует выбрать часть плоскости,
ограниченную заданными линиями. При
этом все ограничения задачи (все заданные
линии) должны быть участками границы
,
а сама область должна быть ограниченной
и замкнутой. Подынтегральная функция
.
3.
В задачах
5) и 6)
иногда выгодно развернуть систему
координат в пространстве для лучшего
обзора получающегося тела
.
Подынтегральная функция
.
4.
В задаче
7) следует
перейти к полярной системе координат.
Полюс новой СК можно выбрать по-разному.
Если окружности имеют общим центром
начало ДСК (точку
)
или общего центра нет, то полюс помещается
в точку
.
Если же общим центром окружностей
является некоторая другая точка, то она
и будет полюсом, а начало ДСК следует
предварительно перенести (сдвинуть) в
эту точку.
5. В задаче 8) следует перейти к цилиндрической системе координат в пространстве. За ось вращения выбирается координатная ось, перпендикулярная плоскости, в которой расположена округлая проекция тела. Координата, соответствующая оси вращения, сохраняется неизменной. На перпендикулярной ей плоскости вводится ПСК.