мат.анализ_23пс / ОКИШЕВ МатАн ТПС / СЕМЕСТР2 / ТР-SS материалы / Пробные Варианты
.doc
СЕРГЕЙ ОКИШЕВ
МЕТОДИЧЕСКИЕ
МАТЕРИАЛЫ
МАТАНАЛИЗА
ИАТИТ 2013
Задания и указания
к типовому
расчету ТР-
«Кратные интегралы»
(расширенная версия)
ЗАДАНИЯ:
1. Составить
двукратный интеграл по области
от функции
двумя способами:
в
и в
.
2. Изменить порядок интегрирования в заданном двукратном
интеграле функции
.
Область
изобразить.
3.,4. Сделать чертеж
области
на плоскости, ограниченной
данными линиями.
Вычислить площадь области
с помощью
двойного интеграла.
5.,6. Выполнить
чертеж тела
в пространстве, ограниченного
данными
поверхностями. Вычислить объем тела
с помощью
тройного интеграла.
7. Изобразить
область
на плоскости. Вычислить двойной
интеграл по
области
,
перейдя к ПСК.
8. Изобразить тело
в пространстве. Вычислить тройной
интеграл по телу
,
перейдя к ЦСК относительно оси
вращения описанного вокруг тела цилиндра.
Указания
1.
В задаче
1)
следует сначала построить область
,
описываемую системой неравенств. Для
составления двукратных интегралов
необходимы правильность
области
в заданном направлении и однозначность
линии входа и линии выхода. Это выполняется
не всегда, поэтому приходится разбивать
заданную область на подобласти и
записывать в ответе сумму нескольких
двукратных интегралов. Подынтегральная
функция записывается в общем виде как
.
2.
В задаче
2)
по заданному двукратному интегралу
определяется и изображается на плоскости
область интегрирования
.
Затем по найденной области составляется
двукратный интеграл в другом направлении
(
меняется на
,
а
– на
).
В результате может получиться сумма
нескольких двукратных интегралов по
той же причине, что и в задаче 1).
Подынтегральная
функция записывается в общем виде как
.
3.
При выполнении алгоритмов СДИ
и ВДИ в задачах
3)
и 4)
обратите внимание, что задана конкретная
подынтегральная функция
.
Поэтому результат должен быть доведён
до конкретного числа. Это значение
двойного интеграла (площадь
области
) должно быть найдено точно, например в
виде:
.
Приближённое значение интеграла,
вычисленное на калькуляторе, засчитано
не будет.
3.
В задачах
5) и 6)
иногда выгодно развернуть систему
координат в пространстве для лучшего
обзора получающегося тела
.
Подынтегральная функция
,
так как вычисляется объем
тела.
4.
В задаче
7) следует
перейти к полярной системе координат,
так как область представляет собой
кольцевую
часть, сектор, круг или часть круга.
Полюс новой СК можно выбрать по-разному.
Если центр
соответствующей округлой области
лежит в начале
ДСК ( в
точке
),
то можно сразу переходить к полярным
координатам
по формуле ФПК. Если же центр находится
в другой
точке, то
сначала нужно выполнить перенос
ДСК в эту
точку заменой координат (по формуле
ФПК). Переход к ПСК будет для такой части
области интегрирования уже вторым
преобразованием СК.
5. В задаче 8) следует перейти к цилиндрической системе координат в пространстве. За ось вращения выбирается координатная ось, перпендикулярная плоскости, в которой расположена округлая проекция тела. Координата, соответствующая оси вращения, сохраняется неизменной. На перпендикулярной ей плоскости вводится ПСК.
Желаю удачи!
Вариант А
ПРОБНЫЙ ВАРИАНТ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ
ЗАДАЧА 1. Составить двукратный интеграл двумя способами:
ЗАДАЧА 2. Изменить порядок интегрирования:
ЗАДАЧА 3.
Найти
площадь области
с помощью
двойного интеграла:
ЗАДАЧА 4.
Найти
площадь области
с помощью
двойного интеграла:
ЗАДАЧА 5.
Найти
объем тела
с помощью тройного интеграла:
.
ЗАДАЧА 6.
Найти
объем тела
с помощью тройного интеграла:
ЗАДАЧА 7.
Вычислить
двойной интеграл по области
,
перейдя в полярную систему координат:
,
где
ЗАДАЧА 8.
Вычислить
тройной интеграл по телу
,
перейдя в цилиндрическую систему координат:
,
где
.
==========================================================
Вариант Б
ПРОБНЫЙ ВАРИАНТ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ
ЗАДАЧА 1. Составить двукратный интеграл двумя способами:
ЗАДАЧА 2. Изменить порядок интегрирования:
ЗАДАЧА 3.
Найти
площадь области
с помощью
двойного интеграла:
ЗАДАЧА 4.
Найти
площадь области
с помощью
двойного интеграла:
ЗАДАЧА 5.
Найти
объем тела
с помощью тройного интеграла:
.
ЗАДАЧА 6.
Найти
объем тела
с помощью тройного интеграла:
ЗАДАЧА 7.
Вычислить
двойной интеграл по области
,
перейдя в полярную систему координат:
,
где
ЗАДАЧА 8.
Вычислить
тройной интеграл по телу
,
перейдя в цилиндрическую систему координат:
,
где
.
==========================================================
ОТВЕТЫ: Вариант А
____________________________________________________________________
ЗАДАЧА 1. СДИ
|
|
|
|
|
ЗАДАЧА 2. ИПИ
|
|
|
ЗАДАЧА 3. Площадь S(D)
|
|
|
|
Внутренний интеграл:
ОТВЕТ:
|
ЗАДАЧА 4. Площадь S(D)
|
|
|
|
Интеграл:
ОТВЕТ:
|
ЗАДАЧА 5. Объем V(T)
|
|
|
|
ОТВЕТ:
|
ЗАДАЧА 6. Объем V(T)
|
|
|
|
Интеграл:
ОТВЕТ:
|
берется
заменой:
ЗАДАЧА 7. Двойной интеграл в ПСК
|
|
|
|
ОТВЕТ:
|
.
ЗАДАЧА 8. Тройной интеграл в ЦСК
|
|
|
|
ОТВЕТ:
|
.
____________________________________________________________________
ОТВЕТЫ: Вариант Б
____________________________________________________________________
ЗАДАЧА 1. СДИ
|
|
|
|
|
ЗАДАЧА 2. ИПИ
|
|
|
ЗАДАЧА 3. Площадь S(D)
|
|
|
|
Внутренний
интеграл:
ОТВЕТ:
|
ЗАДАЧА 4. Площадь S(D)
|
|
|
|
ОТВЕТ:
|
ЗАДАЧА 5. Объем V(T)
|
|
|
|
ОТВЕТ:
|
.
ЗАДАЧА 6. Объем V(T)
|
|
|
|
ОТВЕТ:
|
.
ЗАДАЧА 7. Двойной интеграл в ПСК
|
|
|
|
ОТВЕТ:
|
.
ЗАДАЧА 8. Тройной интеграл в ЦСК
|
|
|
|
ОТВЕТ:
|
.
======================== END =========================